线性代数考研习题归类汇总--二次型

考研数学基础知识复习——线性代数第六章二次型一、二次型的基本内容含有n个变量nxxx,,,21的二次齐次多项式：jiijnjninxxaxxf111),,(，其中),,1,(njiaajiij称为n个变量nxxx,,,21的二次型.1、二次型及其矩阵表示),,(1nxxf的矩阵形式为：AxxxxfTn),,(1，式中AAaAxxxTnnijTn,)(,),,(1.一、二次型的基本内容对称阵A称为二次型)(xf的矩阵，二次型)(xf称为对称阵A的二次型.1、二次型及其矩阵表示)(Ar称为二次型)(xf的秩.ija是实数时，)(xf是实二次型，A为实对称阵.一、二次型的基本内容（1）合同变换：设Tnxxxx),,,(21，Tnyyyy),,,(21为n维向量，nnijcC)(为n阶矩阵，则为Cyx线性变换；2、化二次型为标准形nnijcC)(可逆时，)0||(CCyx称为可逆线性变换，也称为合同变换.一、二次型的基本内容设A、B均为n阶实对称矩阵，C为n阶可逆（满秩）矩阵，若：BACCT，2、化二次型为标准形称矩阵A与B合同.从A到ACCT称为对A进行合同变换，C为合同变换矩阵.一、二次型的基本内容合同变换的性质：①合同的矩阵秩相等，但行列式不一定相等；②两方阵相似不一定合同，合同也不一定相似；2、化二次型为标准形③两实对称矩阵相似必合同，合同必等价；一、二次型的基本内容（2）二次型的标准形：二次型AxxxxfTn),,(1经过合同变换Cyx化为：yACCyCyACyAxxfTTTT)()()(，2、化二次型为标准形若ACCT为对角阵，则称为是f的标准形.此时;riiiydf12))((nArr.一、二次型的基本内容二次型的标准形是不唯一的，与所作的合同变换有关，但系数不为零的平方项的项数为)(Arr个，即：平方项的项数由)(Arr唯一确定.2、化二次型为标准形化二次型为标准形的方法有：配方法、正交变换法.一、二次型的基本内容（3）惯性定理：任一实二次型f都可经过合同变换化为下面规范形：22122221qpppzzzzzf.2、化二次型为标准形其中)(Arrqp，p为正惯性指数，q为负惯性指数，且规范形唯一.一、二次型的基本内容相关结论：①任一实对称矩阵合同于一个对角阵.2、化二次型为标准形②实对称矩阵A、B合同的充分必要条件是二次型AxxT和BxxT有相同的正、负惯性指数.一、二次型的基本内容二次型AxxxxfTn),,(1经过正交变换Pyx（P为正交阵）化为：21)(iiriTTTydyAPPyAxxf，称为化二次型为标准形的正交变换法.3、用正交变换法化二次型为标准形正交变换矩阵P的求法（设A为n阶实对称矩阵，要求P满足：APP1）：（1）求出A的全部特征值t,,,21（i为in重特征值，nnnt1）；3、用正交变换法化二次型为标准形（2）对每个),,2,1(tii，求出0)(xAEi的一个基础解系：iinii,,,21；（3）将iinii,,,21正交化、单位化得：iiniippp,,,21，它们是单位正交向量组，且是A的属于特征值i的特征向量，ikiikpAp.3、用正交变换法化二次型为标准形即：iiniippp,,,21是A的属于特征值i的单位正交特征向量；（4）以t,,,21的单位正交特征向量为列向量，可构造出正交矩阵P，),,,,,(11211ttntppppP，3、用正交变换法化二次型为标准形P就是所求的正交变换矩阵，使：APPAPPT1为对角阵，其中：},,,,,{21tdiag.中有in个i，为n阶对角阵；对二次型AxxfT，令：Pyx，则AxxfT可化为标准形：3、用正交变换法化二次型为标准形yyyAPPyfTTT)(.（1）定义：如果实二次型AxxxxfTn),,(1，对于任意一组不全为零的实数Tnxxx),,(1，都有0),,(1AxxxxfTn)0(，4、二次型和矩阵的正定性及其判别则称该二次型为正（负）定二次型，正（负）定二次型的矩阵A称为正（负）定矩阵.如果实二次型AxxxxfTn),,(1，对于任意一组不全为零的实数Tnxxx),,(1，都有0),,(1AxxxxfTn)0(，4、二次型和矩阵的正定性及其判别则称该二次型为半正（负）定二次型，半正（负）定二次型的矩阵A称为半正（负）定矩阵.合同变换不改变二次型的正定性.因为：对于可逆矩阵C，0y，由Cyx，有0x，故：0)()()(AxxyACCyCyACyfTTTT.4、二次型和矩阵的正定性及其判别即：若A为正定矩阵，C为可逆矩阵，则ACCT也为正定矩阵.（2）实二次型AxxxxfTn),,(1正（负）定的充分必要条件：①AxxfT正定（A正定）正惯性指数为np；4、二次型和矩阵的正定性及其判别AxxfT负定（A负定）负惯性指数为nq；②A正定；特征值全正；一切主子式全0；一切顺序主子式全0；A与E合同1A正定；存在可逆矩阵C，使CCAT；4、二次型和矩阵的正定性及其判别APPAPPT1},,,{21ndiag，其中：),2,1(0nii.4、二次型和矩阵的正定性及其判别A正定；存在正交阵P，使A合同、相似于对角阵，即：③A负定；特征值全负；一切奇数阶主子式全0，且一切偶数阶主子式全0；一切奇数阶顺序主子式全0，且一切偶数阶顺序主子式全0；4、二次型和矩阵的正定性及其判别A与E合同1A负定；A正定；（3）结论：①若A正定，则：)0(kkA，1A，*A也是正定的；②若A正定，则0||A，即：A可逆；4、二次型和矩阵的正定性及其判别③若A是正定矩阵，则A的主对角线上的元素为正数.二、典型题型分析及举例•题型I：基本概念题二、典型题型分析及举例——题型I：基本概念题二次型323121321224),,(xxxxxxxxxf的矩阵为：，二次型的秩为：.例6.1二、典型题型分析及举例——题型I：基本概念题二次型：322123222132122),,(xtxxxxxxxxxf是正定的，那么t应满足不等式：.例6.2二、典型题型分析及举例——题型I：基本概念题二次型：31212322213212224),,(xxxtxxxxxxxf是正定的，那么t应满足不等式：.例6.3二、典型题型分析及举例——题型I：基本概念题二次型23222132132),,(xxxxxxf的秩为：，正惯性指数为：，负惯性指数为：.例6.4二、典型题型分析及举例——题型I：基本概念题设A是三阶实矩阵，若对任意三维列向量x，都有0AxxT，则（）.（A）0||A；（B）0||A；（C）0||A；（D）以上都不对.例6.5二、典型题型分析及举例——题型I：基本概念题设A、B都是n阶实对称阵，且都正定，那么AB是（）.（A）实对称阵；（B）正定矩阵；（C）可逆矩阵；（D）正交矩阵.例6.6二、典型题型分析及举例——题型I：基本概念题设1111111111111111A，0000000000000004B，则A与B（）.（A）合同且相似；（B）合同但不相似；（C）不合同但相似；（D）不合同且不相似.例6.7二、典型题型分析及举例——题型I：基本概念题已知二次型),,(321xxxf32312123222166255xxxxxxcxxx的秩为2，（1）求参数c及二次型矩阵的特征值.（2）指出方程1),,(321xxxf表示何种二次曲面？例6.8二、典型题型分析及举例•题型II：化二次型为标准形二、典型题型分析及举例——题型II：化二次型为标准形用配方法将下列二次型化为标准形，写出相应的合同变换（1）),,(321xxxf32312122216223xxxxxxxx；例6.9二、典型题型分析及举例——题型II：化二次型为标准形用配方法将下列二次型化为标准形，写出相应的合同变换（2）),,(321xxxf323121224xxxxxx；例6.9二、典型题型分析及举例——题型II：化二次型为标准形已知323121232232184434),,(xxxxxxxxxxxf，（1）写出二次型f的矩阵表达式；（2）用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交阵.例6.10二、典型题型分析及举例——题型II：化二次型为标准形求一个正交变换，化二次型32312123222132184444),,(xxxxxxxxxxxxf为标准形.例6.11二、典型题型分析及举例——题型II：化二次型为标准形设矩阵210010000010010yA，（1）已知A的一个特征值为3，试求y；（2）求矩阵P，使)()(APAPT为对角阵.例6.12二、典型题型分析及举例——题型II：化二次型为标准形设矩阵111111aaaA，211，已知线性方程组Ax有解，但不唯一，试求：（1）a的值；（2）求正交矩阵Q，使AQQT为对角阵.例6.13二、典型题型分析及举例——题型II：化二次型为标准形已知二次曲面方程4222222yzxzbxyzayx可经过正交变换Pzyx化为椭圆柱面方程4422，求ba,的值和正交矩阵P.例6.14二、典型题型分析及举例——题型II：化二次型为标准形设二次型323121232221222xxxxxxxxxf，经正交变换Qyx化成23222yyf，其中Txxxx),,(321，Tyyyy),,(321，Q为正交阵，试求参数,.例6.15二、典型题型分析及举例——题型II：化二次型为标准形已知二次型)0(2332),,(32232221321axaxxxxxxxf，通过正交变换可化成标准形：23222152yyyf，求参数a及所用正交变换矩阵.例6.16二、典型题型分析及举例•题型III：有关二次型及其矩阵正定性的判定与证明——题型III：有关正定性的判定与证明判定二次型的正定性：jinjiniixxxf112.例6.17——题型III：有关正定性的判定与证明证明下列结论（1）若A正定，则1A也正定；（2）若A正定，则*A也正定；（3）若A，B都是n阶正定阵，则BA也是正定阵；例6.18——题型III：有关正定性的判定与证明设naaa,,,21均为实数，二次型23222211)()(xaxxaxf21211)()(xaxxaxnnnnn，求f为正定二次型的条件.例6.19——题型III：有关正定性的判定与证明设A为m阶实对称矩阵且正定，B为nm实矩阵，TB为B的转置矩阵，证明：ABBT为正定矩阵的充分必要条件是：B的秩nBr)(.例6.20——题型III：有关正定性的判定与证明设A为m阶实对称矩阵且正定，B为nm实矩阵，TB为B的转置矩阵，证明：ABBT为正定矩阵的充分必要条件是：B的秩nBr)(.例6.20——题型III：有关正定性的判定与证明A为nm实矩阵，E为n阶单位矩阵，已知AAEBT，试证明：当0时，B为正定阵.例6.21——题型III：有关正定性的判定与证明设A为n阶正定矩阵，E为n阶单位矩阵，试证明：1||AE.例6.22——题型III：有关正定性的判定与证明设矩阵1010