73例3 奥运会临时超市网点设计的数学模型2(聚类分析)

奥运会临时超市网点设计的数学模型电子科技大学指导老师：张勇参赛队员：傅翀郭守威刘传凯2004.9.20奥运会临时超市网点设计的数学模型摘要本文对观众在出行、餐饮和购物等方面的规律进行了分析研究，在观众平均出行两次的情况下，计算出了20个商区内的人流量分布，并设计给出了20个商区内MS网点的分布方案。首先，分别从观众的性别、年龄来考虑对出行、餐饮和购物的影响，即分成六方面影响，对每一方面影响统计出其数据，做相关性检验，并分析得出规律；再按年龄、性别、出行和餐饮几方面的不同将观众分为72类，引入购物欲望指数作为评价指标，运用聚类分析方法把观众归并为8类，得出不同性别、年龄的观众，其购物欲望与出行方式和用餐习惯关系的规律。然后，利用出行、餐饮方面的统计规律，根据比赛主场馆的观众容量和各个看台的人流方向，建立主场馆周边各个商区人流量分布的通用模型，以三个体育场的容量和人流方向计算得出20个商区的人流量分布。在设计MS方案时，以各个商业区的总利润最大为目标、以满足总购物需求和分布均衡为约束，建立模型。模型求解的关键是求每个商区的购物需求。利用聚类分析得出的规律，算出不同种类观众的人均日消费额，结合人流的分布和流动方向，得到各商区的购物需求，从而确定出各商区两种规模MS个数的分布方案。最后，我们从模型所用思想方法的科学性，以及结果的合理性两方面进行了讨论。一、问题重述2008年北京奥运会的建设工作已经进入全面设计和实施阶段。奥运会期间，在比赛主场馆的周边地区需要建设由小型商亭构建的临时商业网点，称为迷你超市（记做MS）网，主要经营食品、奥运纪念品、旅游用品、文体用品和小日用品等。这种MS网，在地点、大小类型和总量方面有三个基本要求：满足奥运会期间的购物需求、分布基本均衡和商业上赢利。我们要做的是对下图中的20个商区设计MS网点：作为真实地图的简化，图中仅保留了与本问题有关的地区及相关部分：道路（白色为人行道）、公交车站、地铁站、出租车站、私车停车场、餐饮部门等,其中标有A1-A10、B1-B6、C1-C4的黄色区域是规定的设计MS网点的20个商区。为了得到人流量的规律，一个可供选择的方法，是在已经建设好的某运动场通过对预演的运动会的问卷调查，了解观众（购物主体）的出行和用餐的需求方式和购物欲望。假设在某运动场举办了三次运动会，并通过对观众的问卷调查采集了相关数据。1．根据问卷调查数据，找出观众在出行、用餐和购物等方面所反映的规律。2．假定奥运会期间（指某一天）每位观众平均出行两次，一次为进出场馆，一次为餐饮，并且出行均采取最短路径。依据1的结果，测算图中20个商区的人流量分布（用百分比表示）。3．如果有两种大小不同规模的MS类型供选择，给出图中20个商区内MS网点的设计方案（即每个商区内不同类型MS的个数），以满足上述三个基本要求。4．阐明所采取方法的科学性，并说明结果是贴近实际的。二、问题分析本问题的关键是寻找观众在出行、餐饮和购物三方面的规律。先从问卷调查的主体观众考虑，观众的性别、年龄均对这三方面有一定的影响，通过数据的统计分析和相关性检验来得到其规律。再综合考虑性别、年龄、出行方式和餐饮方式几个方面对消费额的影响，将观众按这几个方面分类，运用聚类分析的方法来得到不同种类的观众在消费额上反映出的规律。在前面统计分析的基础上，得到出行方式和餐饮方式不同的观众在总人数中所占的比例，并根据假定出行路径最短的要求，给出具体的出行规则，建立计算某一比赛主场馆周围，各商区的人流量的一般模型，并求得通用计算公式。然后将各比赛主场馆周围商区及人流的相关数据代入，即可得到各个商区的人流量分布。本问题的难点是各商区MS的设置。根据聚类分析得到的，不同种类观众所具有的不同购物欲望，并结合各商区人流量的一般模型，得到各商区的预期销售额。再查出两种大小MS的具体规模，在满足MS三个基本条件的前提下，得出各个商区内两种MS的设置方案。最后，讨论所用方法的科学性和计算结果的合理性。三、变量说明n：某比赛主场馆周围商区的个数。()fi：第i个商区的人流量(1)in。：大小因子，即大型MS在占地面积、营业成本以及销售额上限等方面均为小型MS的倍。ix：第i个商区内小型MS的个数。iy：第i个商区内大型MS的个数。a：单个小型MS的销售额上限。c：单个小型MS的营业成本。j:某比赛主场馆周围，所有商区最大销售额的均方差上限。四、基本假设1．观众出行时只能经过其所在比赛场馆周边的商区，而不能穿越其它比赛场馆及其周围的商区。2．每一比赛主场馆的周边商区之外，设有南、北向大门各一道，供观众进出该区域。3．观众从某体育场馆出发前往其它场所时，均从体育场馆离该场所最近的大门进出。4．各类观众在整个比赛主场馆区域内均匀分布。5．问卷调查所得到的消费额（非餐饮）为某观众一天的消费额，即日消费额。6．奥运会期间，所有比赛主场馆每天均满座，即每天观众的数量为20万。五、建模前的准备二元数据的Pearson相关系数分析（见文献[1]P27）设TYX,是二元总体，从中取得观测数据.),(,,),(,),(2211TnnTTyxyxyx引进数据观测矩阵nnyxyyxxX2121记niixnx11，niiyny11则yxyxT,，称为二元观测数据的均值向量。记2111niixxxxns,1112niiyyyyns.111yyxxnsiniixy称xxs为变量X的观测数据的方差，yys为Y的观测数据的方差，xys为变量YX,的观测数据的协方差，而yyyxxyxxssssS，称为观测数据的协方差矩阵。由于总有yxxyss，所以协方差矩阵是对称矩阵。由Schwarz不等式yyxxxysss2，可知S总是非负定的，一般是正定的。观测数据的相关系数计算公式是yyxxxyxysssr.xyr称为Pearson相关系数，是反映观测数据相关性的一种最重要的相关系数。由Schwarz不等式,有1xyr.即总有11xyr.当0xyr(或0xyr)时，称变量YX,的观测数据是不相关的（或近似不相关）。当10xyr时，称变量YX,的观测数据是线性正相关的。当01xyr时，称变量YX,的观测数据是线性负相关的。当1xyr（即1xyr时），称YX,的观测数据完全线性相关。因此，xyr是二元总体TYX,的两个分量之间的线性联系密切程度的度量。六、模型的建立和求解(一)问题1为了找出观众在出行、用餐和购物等反面所反映的规律，我们先分别考虑观众的性别和年龄对出行、用餐和购物三方面的影响，得出一定的规律；再考虑性别、年龄、出行方式、用餐方式在购物方面反映的规律，将观众按照这四方面进行分类，引入购物欲望作为衡量指标，进行聚类分析，即可得到不同性别、不同的年龄的观众，其购物欲望与出行方式和用餐习惯的规律。1．统计得出性别和年龄对出行、用餐和购物三方面的影响具体到性别或年龄对某一方面的影响，先对三份问卷调查做统计，对其中任两份问卷的数据做相关性检验，如果相关系数接近1，就说明这两份问卷调查的结果线性相关，每一份问卷都能独立反映出观众在某方面的规律性。为了充分利用所有问卷调查的结果，以及使统计规律更接近实际，我们取三份问卷的平均结果，进行分析。（1）性别对出行方式的影响对于附录中给出的三份问卷调查数据，利用SPSS软件，对不同出行方式下男、女观众的人数进行统计，统计结果见表1.1-a。数据的相关性检验：结果如表1.1-b所示，可见三份问卷数据的两两相关系数均接近1，说明每份问卷调查的数据都显示了相同的规律。由总和数据可以得出规律：从各出行方式下男女的数量方面考虑，乘坐公交车、地铁的观众中男性居多，乘坐出租车和私车的则以女性为主。由标准化后的数据可以得出规律：在不考虑男女观众数量差异时，乘坐公交车的观众中男性倾向较大，乘坐出租车和私车的观众中女性倾向较大，而两者对地铁的需求倾向相差不大。表1.1-a各出行方式中男、女人数统计结果公交（南北）公交（东西）出租私车地铁（东）地铁（西）性别男女男女男女男女男女男女问卷一384228393205231449102206339306377280问卷二35518336219619839798196343262332278问卷三406218404268249486117239429327430327总和11456291159669678133231764111118951139885标准化0.210.120.210.130.120.260.060.130.20.180.210.18注：标准化即为某项数据与该性别总人数的比。另外，不同性别的观众对不同方向的公交车或地铁的需求几乎相同，即观众只会对不同的出行方式产生影响，而不会对同一出行方式的不同方向产生影响，故在下面的讨论中，不考虑公交或地铁的行驶方向，统一归为公交或地铁两类。总体来说，男性中大多数人乘坐公交和地铁，女性中乘坐私车的人较少。表1.1-b相关性检验（2）年龄对出行方式的影响对所给数据中不同出行方式下不同年龄观众的人数进行统计，统计结果如表1.2-a所示。问卷一问卷二问卷三问卷一10.98280.9707问卷二0.982810.9857问卷三0.97070.98571公交出租私车地铁年龄段1234123412341234问卷1526492321776040015367411846419129796162115表1.2-a各出行方式中各年龄段人数统计结果注：标准化即为某项数据与该年龄段总人数的比。表1.2-b相关性检验一问卷二1425792331426235012162361745628137718243117问卷三1527352551547443415473362107634153921290149总和44619637203731961184428302113568196814192435695381标准化0.380.320.350.330.170.190.210.270.090.090.10.070.350.40.340.34数据的相关性检验：结果如表1.2-b所示，可见三份问卷数据的两两相关系数均接近1，说明每份问卷调查的数据都显示了相同的规律。由总和数据可以得出规律：从各出行方式下各个年龄段观众的数量方面考虑，各出行方式下20~30岁的观众最多，30~50岁的观众次多。由标准化后的数据可以得出规律：在不考虑各年龄段观众数量差异时，对任一种出行方式而言，各年龄段观众的需求倾向相差都不大。只是对出租方面，50岁以上的观众的需求倾向稍高；对地铁方面，20～30岁观众的需求倾向略高。总体来说，各年龄段的人中大多数乘坐公交和地铁。（3）性别对餐饮方式的影响对所给数据中不同餐饮方式下男、女观众的人数进行统计，统计结果如表1.3-a所示。表1.3-a各餐饮方式中男、女人数统计结果中餐西餐商场餐饮性别男女男女男女问卷一412371982855432448问卷二379345856816453351问卷三4793961061997495472总和127011122899266813801271标准化0.230.220.530.530.250.25注：标准化即为某项数据与该性别总人数的比。表1.3-b相关性检验数据的相关性检验：结果如表1.3-b所示，可见三份问卷数据的两两相关系数均接近1，说明每份问卷调查的数据都显示了相同的规律。问卷一问卷二问卷三问卷一10.99110.9918问卷二0.991110.9986问卷三0.99180.99861问卷一问卷二问卷三问卷一10.98310.9946问卷二0.983110.9927问卷三0.99460.99271由总和数据可以得出规律：从各种餐饮方式下男女数量方面考虑，各种餐饮方式中男性观众稍微居多。由标准化后的数据可以得出规律：不考虑观众数量差异时，各种餐饮方式下男、女观众的倾向程度基本相等，相差不大。总体来说，男性或女性中大部分人都选