数值预报复习要点

1第一章大气运动方程大气运动方程应遵循牛顿第二定律（运动方程）、质量守恒定律（连续方程）、能量守恒定律（热力学或能量方程）、气体试验定律（状态方程）、水汽守恒定律（水汽方程）运动方程连续方程状态方程热力学方程水汽方程球坐标下的大气运动方程组球坐标经度λ、纬度φ，地心到空间点的距离r球坐标下δx是沿纬圈的微小位移、δy是沿经圈的微小位移、δz是垂直方向的微小位移δx=r*cosφ*δλδy=r*δφδz=δru是纬向速度u=r*cosφ*dλ/dtv是经向速度v=r*dφ/dtw是垂直速度w=dr/dt球坐标下加速度/dVdt的展开dVdudvdwdidjdkijkuvwdtdtdtdtdtdtdt2局地直角坐标系下坐标与球坐标的关系局地直角坐标系是球坐标系的简化形式，保留了球坐标的框架，忽略了球面曲率的影响。区分球坐标方程和局地直角指标方程P坐标系下大气运动方程组P坐标系通常应用于天气尺度的大气运动，具有准静力平衡的特点，满足方程P坐标系下的垂直速度ω=dp/dt区分P坐标方程与Z坐标方程σ坐标σ坐标系是与气压相联系的坐标系，具有下边界简单，便于引进地形的动力作用等特点。σ坐标的定义pT是模式层顶的气压，ps是地面气压3σ坐标的边界条件区分p坐标方程和σ坐标方程状态方程垂直运动方程数值模式的分类过滤模式只能模拟准地转演变过程，而原始方程模式既能模拟准地转演变过程又能模拟地转适应过程。原始方程模式分为正压原始方程模式（垂直方向一层）和斜压原始方程模式（垂直方向有多层）地图投影的概念地图投影是按照一定的数学条件，把球形的地球表面展绘于平面地图上。或者说把地球表面投影到一个简单的曲面上。能够识别出光源、目标物、投影面投影的误差距离误差、面积误差、角度（形状）误差投影类型4等角投影、等面积投影、任意投影等角投影中，经过投影后地球表面的任意两条交线的夹角保持不变，且在投影面任意一点的各个方向上长度放大或缩小的倍数相等，投影之后不产生角度或者形状的误差。按地图投影面的性质分类型方位投影或平面投影、圆锥投影、圆柱投影地图投影的基本概念及几个重要因子映像面：投影的投射面、投影面映像平面：映像面沿某一条经线切开所展成的平面地图：映像平面按地图比例尺缩小后的图切投影：映像面与地球表面相切于某一点的投影割投影：映像面与地球表面相割的投影标准纬度：映像面与地球表面相交的纬度（标准纬度上，映像面的距离等于地球表面上相应的距离）映像比例尺m：映像平面上的距离除以地球表面上相应的距离。又称地图放大因子。标准纬度上m=1缩小比例尺：地图上任意纬度上的距离除以映像平面上相应的距离实际比例尺：地图上任意纬度上的距离除以地球表面上相应的距离正形投影正形投影的光源位于球心，映像面为圆锥面，映像面圆锥角为α，标准纬度为φ0地图放大系数的计算其中k为单位经度所张的圆锥角，表示了圆锥的几何特征，成为圆锥常数；θ0是标准纬度的余角。极射赤面投影是一种正形割投影，其光源位于南极，映像面为一个与地球相割于北纬60度的平面，标准纬度为60°N。5根据网格坐标计算放大系数柯氏参数的计算兰伯托投影是一种正形投影，其光源位于地球球心，映像面为一个与地球表面相割与30°N和60°N的圆锥面，圆锥角为90°。麦卡托投影光源位于球心，映像面是与地球表面相割于南北纬22。5°的圆柱面，标准纬度为22.5°N和22.5°S6投影后，经线为等距平行的直线，纬线为与经线垂直的直线，正形圆锥投影的极限情形。k=0所以不能采用普遍的正形投影中的关系式来对之进行讨论。而是从地图放大系数入手求有关表达式Je为网格点相对于赤道的坐标。放大系数是关于赤道成纬向轴对称。普遍正交曲线坐标系中的方程组qj是正交曲线的坐标，dqj是相应的坐标变元，dlj是空间点沿坐标线所移动的距离，称为坐标线元dlj=Hj*dqj其中Hj成为拉密系数。坐标线元不等于坐标变元而是等于坐标变元与拉密系数的乘积正交曲线坐标下的常用关系式气压梯度力涡度7散度风速矢量平流绝对温度平流普遍地图投影坐标系中的方程组设X和Y轴地图投影放大系数为m和n，Z方向的地图投影放大系数为1拉密系数要求可以利用给出的关系式得到普遍地图投影坐标系中的大气方程组表达式例如根据连续方程表达式和散度在正交曲线坐标系下的表达式，得到地图投影坐标下的连续方程表达式，要求将求和符号展开成各项相加的形式第一步将H的表达式代入散度表达式，写出UVWVmnXnYmZmn第二步写出()UVWVmnXnYmZmn第三步写出8差分方法和差分格式离散化的概念u(x,t)是连续函数，u(i∆x,n∆t)是u(x,t)经离散化后的形式。所谓离散化，即把连续的x以i∆x代替，连续的t以n∆t代替，其中i和n为整数。均是以一维线性平流方程为例0uuctx差分格式基本都是通过泰勒展开式来构造的。前差格式：后差格式：中央差格式：二阶微分的差分格式拉普拉斯的差分格式9拉普拉斯的差分格式涉及到的格点截断误差上面差分格式中的R被成为截断误差。意思是用差商来近似代替偏微商时，将会因舍去R所代表的项而造成的误差。一般用R中最大的项来表示截断误差的大小。如果R中最大的项是∆x，则R=O（∆x）。如果是∆x2，则R=O（∆x2）。（注：所谓最大的项指的是偏导阶数最小的一项，一阶偏导项大于二阶偏导项）R反映了差分方程代替微分方程时的截断误差，它在一定程度上代表了差分格式的精度，R的阶次越高，则差分格式的精度越高，误差越小。这个的精度就是R=O（∆x2）相容性（一致性）当空间步长x和时间步长t很小时，差分方程是否逼近微分方程，这就是差分格式的相容性（一致性）问题。收敛性在一定的定解条件下，差分方程的解是否逼近微分方程的解的问题，称之为差分格式的收敛性问题。稳定性在时间积分过程中，由于舍入误差的影响，差分解的误差是否随时间增长的问题，即差分格式的计算稳定性问题。拉克斯（Lax）等价定理：如果差分方程逼近微分方程，即差分格式与微分方程是相容的，或者差分格式满足相容性条件，差分格式的稳定性，保证了其收敛性（计算稳定性是收敛性的充分必要条件）。用Von-Neumann稳定性判别方法来证明差分格式的计算稳定性时的主要步骤为：101设解的波动形式，代入差分方程。2得出其对应的增幅因子G。3讨论1G时的情况。4判断格式稳定性及满足格式稳定性的条件。CFL判据增幅因子G：其中An+1和An分别是n+1时刻和n时刻的振幅。微分方程波动形式解：差分方程形式解：各个差分格式稳定性时间前差，空间后差条件稳定时间前差，空间前差条件稳定时间前差，空间中央差任何情况下不成立，所以为绝对不稳定时间积分格式分类：1、二时间层的积分格式（非迭代格式）a、欧拉格式：，绝对不稳定b、后差格式（隐式格式），绝对稳定格式c、梯形格式（隐式格式），中性格式，振幅不变112、二时间层的积分格式（迭代格式）特点：先通过前差格式算一个n+1时刻的粗略预报值，然后在通过这个预报值用后差格式计算n+1时刻的准确预报值a、欧拉—后差格式（显式格式）：条件稳定格式b、赫恩格式：绝对不稳定格式3、三个时间层的积分格式中央差格式，又称跳背格式条件稳定这种格式，可以看出不仅需要一个具有物理意义的初值u0，同样还需要一个出于计算要求的初值u1，前者称为物理初值，后者称为计算初值。差分格式误差相关内容：实际工作中，不可能任意缩小步长（由于计算量过大等原因），实际计算是在有限的网格下进行的，一定程度的误差是不可避免的。中央差的计算解问题：使用中央差会产生两个波解，其中一个有物理意义，另一个不具有物理意义，是计算过程中产生的虚假波形，称之为计算解。中央差分格式的数值解为两个波动的叠加。实际工作中通常采用提高网格分辩能力来抑制和减小计算解带来的影响。时间的截断误差（频率误差）当使用中央差格式（显式）时，原频率ω=f由11sin()eftt替代当使用梯形格式时（隐式），原频率ω=f由2()2iftarctgt替代当∆t很小时，两种差分格式与ω=f差异很小当∆t增加时，差分格式解偏离原频率幅度增大f∆t1时显式格式会出现不稳定，隐式格式的频率解随f∆t增加而减小显式格式与隐式格式的频率解与真值的比值12空间的截断误差（波数误差）用中央差格式展开时，波数k的数值解为：sinkxkx差分近似精度随k或∆x的减小而增大，这也就是说对于波长较短的波，其产生的波数误差较大；而波长较长的波，则差分方程可以比较精确地表示其空间微商，波数误差很小，精度较高。相速度和群速度误差空间差分格式的波数误差和时间积分格式的频率误差会造成相速度和群速度的误差，从而引起计算频散。差分格式在波的移动和能量传播方面均可造成误差。而且：（1）由于相速度误差，减慢了平流过程；（2）造成虚假的计算频散，且对短波尤为明显。（1）波长越长，误差越小；波长减小，其误差也就更为严重；（2）提高网格分辩率，使∆x取得足够小，可以提高相速度的准确率。差分格式误差特征总结：1、三层时间积分格式存在计算解问题：计算解对差分解的影响依赖于网格分辨率和波长。2、时间积分格式引起频率误差：显式格式使其频率明显增加，振动加快；隐式格式使其频率明显减小，振动减慢。3、空间差分格式引起波数误差：高阶差分格式所引起的波数误差要比低阶格式小；波长较短的波，误差尤为严重。4、空间差分格式会引起计算频散：尤其对于短波，相速度和群速度均会产生很大的误差。通常可采用提高网格分辩率的方法减小各种误差。非线性不稳定对于非线性偏微分方程，线性偏微分方程的稳定性条件，只能给出其计算稳定性的必要条件，即使满足这一条件，也可能会因为差分方程的边界条件和非线性项的不正确表示而产生计算的不稳定现象，我们把这种由于非线性作用而产生的不稳定，称为非线性不稳定。混淆误差13差分方法是用有限的自由度系统来代替原来的连续介质系统的。而有限格点上的函数值只能分解有限的波数，其最短波长为2∆x，对于非线性作用产生的波长小于2∆x的波动，网格系统不能正确地将它表示出来，而把它错误地表示成为某种波长大于2∆x的波，从而产生了误差，我们把这种波的误差称之为混淆误差。对于网格数为I的网格，假设ui中包含两个波，波数分别为k1和k2，当这两个波发生非线性作用而产生k1+k2的波时，如果k1+k2I/2，则网格将把这个波的波数识别为S=I-（k1+k2）自激反馈假设k1和k2相互作用，能量反馈到上k1，则有：k1=I-（k1+k2），或2k1=I-k2。由于k2=I/2，所以k1=I/4。因此，发生能量反馈的波其波长必在2∆x和4∆x之间，也就是说只有对波长很短的波才发生能量反馈；非线性不稳定的产生主要是由于短波能量的虚假增长所造成的。抑制和克服非线性计算不稳定的做法通常有：空间和时间平滑，滤去短波分量（滤除波长小于4倍格距的波动）；在方程中加入扩散项；构造具有隐式平滑和某种选择性衰减作用的差分格式构造守衡的差分格式，使差分方程尽可能保持原来的物理规律和能量关系；采用谱变换方法（可避免非线性不稳定问题）。正压原始方程模式以下在3个假设的基础上导出正压原始方程模式的预报方程组第一、假设大气均匀不可压，密度ρ为一常数。第二、假设模式满足静力平衡。第三、假设模式大气是正压的，初始时刻水平风速不随气压变化正压原始方程模式的预报方程组注意区分正压原始方程和P系方程14正压原始方程重要积分性质：全球总质量、总能量、总绝对涡度、总涡度和总绝对角动量守恒等性质。正压原始方程线性稳定性判据注意这个判据，除了与相速度有关，还与最大风速有关。如果不采用附加的平滑运算，一次守恒差分格式的计算稳定性能较差，原因在于物理量F的平均值守恒并不能保证其绝对值不无限增长。为此，需要进一步来设计能使物理量F2守恒的所谓的二次守恒差分格式。空间平滑的意义在数值模式积分过程中，非线性相互作用会产生波长为2-4倍格距的短波扰动，