第八章_第二节_直线与直线的位置关系

数学课程知识点65直线与直线的位置关系第八章直线和圆的方程§8.2.4直线与直线的位置关系1．回答下列问题（1）直线y＝2x＋1的斜率是，在y轴上的截距是;（2）直线y＝2的斜率是，在y轴上的截距是;（3）直线x＝2的斜率是，在y轴上的截距．在平面内，两条直线要么平行，要么相交，要么重合．那么，给定平面直角坐标系中的两条直线，能否借助于方程来判断它们的位置关系？2．问题复习与问题情景创设（1）给定平面直角坐标系中的两条直线l1：y＝k1x＋b1；l2：y＝k2x＋b2．如果一个点是l1与l2的交点，那么它的坐标必满足2211bxkybxky①两条直线的交点（2）方程组①有无数组解两直线有无数公共点直线l1与l2重合；方程组①无解两直线没有公共点直线l1与l2平行．方程组①有一组解两直线有一个公共点直线l1与l2相交；2211bxkybxky①两条直线的交点因此，l1与l2相交，且交点为（1，－4）．例1判断下列各对直线的位置关系（相交、平行或重合），如果相交，求出交点：（1）l1：x－1＝0，l2：y＋4＝0；（2）l1：x－y－3＝0，l2：x＋y＋1＝0；（3）l1：x－2y＋3＝0，l2：2x－4y＋6＝0．解：（1）联立得方程组0401yx解得：41yx因此，l1与l2相交，且交点为（1，－2）．（2）联立得方程组0103yxyx解得：21yx案例讲解解：第二式减第一式的2倍得0＝0，所以上述方程组有无穷多组解，即l1与l2有无穷多个交点．因此，l1与l2重合．（3）联立得方程组0642032yxyx例1判断下列各对直线的位置关系（相交、平行或重合），如果相交，求出交点：（1）l1：x－1＝0，l2：y＋4＝0；（2）l1：x－y－3＝0，l2：x＋y＋1＝0；（3）l1：x－2y＋3＝0，l2：2x－4y＋6＝0．案例讲解(k1－k2)x＝－(b1－b2)．②（1）当k1≠k2时，则方程组①有多少解？l1与l2有几个交点？l1与l2是什么位置关系？2211bxkybxky①用斜率判断直线的位置关系将方程组①中两式相减，整理得用斜率判断直线的位置关系(k1－k2)x＝－(b1－b2)．②（2）当k1＝k2且b1≠b2时，则方程组①有多少解？l1与l2有几个交点？l1与l2是什么位置关系？（3）当k1＝k2且b1＝b2时，则方程组①有多少解？l1与l2有几个交点？l1与l2是什么位置关系？用斜率判断直线的位置关系2211bxkybxky①将方程组①中两式相减，整理得用斜率判断直线的位置关系l1与l2重合k1＝k2且b1＝b2．结论：如果l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1与l2相交k1≠k2；l1与l2平行k1＝k2且b1≠b2；用斜率判断直线的位置关系例2判断下列各对直线的位置关系（相交、平行或重合），如果相交，求出交点．（1）l1：y＝3x＋4，l2：y＝3x－4；（2）l1：y＝－3，l2：y＝1；（3）l1：y＝－3x＋4，l2：y＝x－8．解：（1）因为两直线斜率都为3，而截距不相等，所以l1与l2平行．（2）因为两直线的斜率都为0，而截距不相等，所以l1与l2平行．案例讲解例2判断下列各对直线的位置关系（相交、平行或重合），如果相交，求出交点．（1）l1：y＝3x＋4，l2：y＝3x－4；（2）l1：y＝－3，l2：y＝1；（3）l1：y＝－3x＋4，l2：y＝x－8．解：因此，l1与l2的交点为（3，－5）．（3）因为两直线斜率不相等，所以l1与l2相交．联立得方程组843xyxy解得：53yx案例讲解判断下列各对直线的位置关系（相交、平行或重合），如果相交，求出交点：（1）y＝2x＋3，y＝－2x＋1；（2）3x－4＝0，x＝2；（3）2x－y＋1＝0，x－2y＋1＝0．.课堂练习2,21平行重合2．直线l：Ax＋By＋C＝0的一个法向量是多少？（1）若＝(a1，a2)，＝(b1，b2)，则的充要条件是；abab（2）若直线的斜率为k，则直线的方向向量等于．1．回答下列问题问题情景创设已知直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2．（1）直线l1的斜率是多少？它的一个方向向量是多少？直线l2的呢？（2）当直线l1与l2垂直时，则l1与l2的方向向量有什么关系？探究一已知直线l1：y＝k1x＋b1；l2：y＝k2x＋b2．直线l1的方向向量＝(1，k1)；1a直线l2的方向向量＝(1，k2)；2a1a2al1l21a2a(1，k1)(1，k2)＝0k1k2＝－1．l1l2xyO探究一（2）l1：y＝3x＋1，l2：y＝x－4．31解：（1）因为－2＝－1，所以l1l2．21（2）因为3≠－1，所以l1与l2不垂直．31案例讲解（1）l1：y＝－2x＋1，l2：；112yx例3判断下列各对直线是否垂直：已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0．（1）分别写出直线l1，l2的一个法向量．（2）当直线l1与l2垂直时，两条直线的法向量有什么关系？探究二直线l1的法向量＝(A1，B1)；1n直线l2的法向量＝(A2，B2)；2n(A1，B1)(A2，B2)＝0A1A2＋B1B2＝0l1l2xyO1n2nl1l21n2n已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0．探究二例4判断下列各对直线是否垂直：（1）l1：2x－3y＋4＝0，l2：x－y＋6＝0．（2）l1：3x－4y－11＝0，l2：8x＋6y＋3＝0．（1）因为2×1＋(－3)×(－1)≠0，所以l1与l2不垂直．（2）因为3×8＋(－4)×6＝0，所以l1l2．解：案例讲解判断下列各对直线是否垂直：（1）x＋2＝0，y－4＝0；（2）2x＋y－3＝0，3x－6＝0．答案:(1)垂直;(2)不垂直.课堂练习1．方程组的解与两条直线的位置的对应关系．2211bxkybxkyl1与l2重合k1＝k2且b1＝b22．如果l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1与l2相交k1≠k2l1与l2平行k1＝k2且b1≠b2归纳小结整体建构3．已知直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2．则有：l1l2k1k2＝－1．4．已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0．则有：l1l2A1A2＋B1B2＝0．归纳小结整体建构P86练习A组题第1题（2）（4），第2题（2）．P86练习B组题第1题．P88练习A组题．P88练习B组题第2题．作业布置