石墨烯理论(上)

1石墨烯理论（上）Author：二维石墨烯石墨烯是由碳原子排列成六边形结构而形成，可以看作每个晶胞中有一个以两个原子为基础的三角结构。晶格向量可以写成*石墨烯晶体简化结构，石墨烯一个原胞中包含两个不等价的碳原子,。其中为原胞基矢；是晶格常数。下边给出晶格的倒格矢石墨烯特别重要的物理性质是,两个点在石墨烯Brillouin区（）顶点处。这些点之所以会被命名为Dirac点的原因，后面将会给予解释。它们在动量空间中位置（倒格矢）为石墨烯第一Brillouin区示意图，其中为倒格矢量，,和是高对称点。实空间中三个最邻近矢量2六个次邻近点距离矢量为对石墨烯的周期六角格点系统采用电子紧束缚模型，只考虑到最近邻原子之间的相互作用，电子可以跳到的最邻近原子。在二次量子化的哈密顿量，有如下形式这里我们以最低准粒子激发能量为能量参照点扣除掉它归入本底，即选取。此外我们假定近邻原子轨道波函数之间不存在重叠，也就是说（紧束缚近似）。格点模型哈密顿量便写为Nambu表象下可写出BdG矩阵：在晶格A上处有自旋，（）将会湮灭（产生）一个电子（对于点B处等价定义也适用），是最邻近跃迁能量（不同晶格之间的跃迁），表示只对邻近格点原子求和。实际上哈密顿量中，根据上图所示近邻原子之间的相对坐标，计算相邻两个原子的波函数对哈密顿量的重叠积分可得到：则动量表象中哈密顿量为由此可以算出色散关系为：3加号对应较高频能谱()，减号对应较低频能谱()。从能谱可以明确看到石墨烯沿着高对称点的色散关系。我们可以看到导带和价带是对称的并且导带和价带在布里渊区的顶角处是简并的。由于每一个晶胞中有两个碳原子，每一个碳原子都贡献一个电子，因此石墨烯的价带刚好填满同时导带全空，也就是说Fermi面刚好要处在导带和价带之间，由于导带底和价带顶刚好交于点，Fermi面应穿过点，因此我们可以认为石墨烯是一个零带隙的半导体。这主要是对称性的要求，因为晶格格点处和都占据着碳原子，有相同的轨道能级。如果零温，在零能周围能谱是对称的；对于有限温度，电子-空穴对称性被破坏，和带变得不对称。要了解这个高度对称的附近电子行为，我们不妨靠近一个Dirac点去观察能带结构（在Brillouin区,点）。也就是说将色散关系围绕点展开：在和附近，且其中是相对于Dirac点的动量，是Fermi速度，。这与通常情况，的区别在于（m是电子质量）石墨烯中的Fermi速度不取决于能量或动量；而通常情况下我们有，即速度的变化取决于能量。这些特点与介质中的光子或者是声子类似，在这些高度对称的点处附近载流子的有效静质量为零，Fermi速度可以和光速相比较，呈现出相对论特性，需要通过Dirac方程来处理（此内容作为重点稍后介绍）。因此我们把这些高度对称的点称之为Dirac点。同理，假如要考虑次近邻原子的相互作用，定义以原子为中心的六个最近邻的原子的坐标为，通过上述类似方法计入次邻近跃迁代入的能量本征方程，我们可以得到能带色散关系4我们发现次近邻原子的引入，破坏了能带结构的对称，此时导带和价带不再对称，主要是因为次近邻原子的引入相当于引入了晶格格点轨道能级，因此近邻格点的引入使得Dirac点发生移动。从色散关系我们能够看到次近邻原子的引入改变了Dirac点位置，破坏了电子空穴对称。另外我们发现，能量简并度与动量在动量空间的夹角有关（注意，展开直到阶，色散关系都取决于动量空间的方向），引入次近邻格点后，Dirac点附近形成三重简并，这就是所谓电子光谱的三角形变。从图中可以看到，次近邻格点的引入并没有破坏Dirac点，也就是说在这些Dirac点处导带低和价带顶仍然简并。很明显考虑次近邻原子相互作用之后Dirac点有向下移动的趋势，即Dirac点处存在能量上的转移，这是因为我们认为次近邻原子之间电子的跃迁能量是负的原因。一如前面的条件，将方程绕着Dirac点展开，精确到二级项，Dirac点K附近处能带色散关系为其中是动量分量间夹角。5无质量Dirac费米子时电子算符作Fourier级数展开如下：其中是单元晶格的数量。我们把由和点电子算符Fourier级数线性组合表示。这产生了一个的近似表示，写作：6这些新的区域是在假设晶胞绝热变化的情况下，其中指标是指和点。简明起见，我们先根据之前在动量表象下的哈密顿量来推导，在点附近小动量展开去除一个无关紧要的相位因子即可得到Dirac电子的有效哈密顿量。在紧束缚时，有效哈密顿量为：二维Pauli矩阵向量，同样抹除无关相位因子就得到标准形式：有效哈密顿量由两个无质量Dirac粒子（一个在附近带动量，另一个则是附近动量）的哈密顿量组成。二分量旋量电子波函数在点附近，遵守二维Dirac方程在动量空间中，附近的动量的波函数具有如下形式，表示对应的本征能量，分别为和带。7附近动量波函数则有如下形式，和点处波函数与时间反演对称性有关：如果我们把坐标原点定在的点处，时间反演变为一个沿着轴的反射，就是。还需要注意的是，如果相位的旋转周期是(Berry相位)。相在下的旋转是旋量的特性，事实上，波函数是二分量自旋波函数。一个用来描述本征函数的相关量是他们沿旋转方向的螺旋度，定义为动量算符的投影。量子力学的螺旋度算符有如下形式：现在对于的定义很明确了，因为也是的本征态，；的本征方程也类似。双层石墨烯由紧束缚近似方法可将单层石墨烯推广到多层石墨烯系统，乃至叠堆成三维石墨结构。最简单的是双层石墨烯结构，这种结构可以在导带和价带间打开一个能隙。紧束缚近似哈密顿量写为表示在平面层晶格（）中处消灭一个自旋为的电子。跃迁参数为：是面内跃迁能量，是原子间的跃8迁能量，是原子间的跃迁能量，连接。在扩大Brillouin区中考察动量接近点，并忽略，获得有效哈密顿量。其中；这里引入外场，大小是两层间化学势位移的一半（相当于在两层之间加一个偏置势场），Nambu四分量旋量为求解可得到对称能谱图若，，则可以消除高能微扰得到有效哈密顿量哈密顿量中时，有与处比较，为两个抛物线能带，能谱是电子-空穴对称的。有两个额外的能带在处。此处态密度近似恒定，双层石墨烯表现出金属性。由于引入了三角失真，能谱在低能处发生质的变化（注意这个三角失真并不像前面介绍的产生在低能处的较大的动量）。电子-空穴的对称性是保留的，但是我们获得了三条类似Dirac线性能带（并非是处两个交叉的能带）。一个Dirac点在和处，其他三个点也在处，以有限的动量排列在三个等价点。在稳定点处，用拓扑数来看，能带交叉是可以理解的。在一个平面上，一个点周围的封闭曲线的圈数是一个整数，代表总的次数，曲线围绕着这个点逆时针旋转，所以波函数保持不变。在两个抛物线能带接近处（），这个点的缠绕数为；在，缠绕数为9处和三个Dirac点在，缠绕数为处，三角扭曲量分割成一个Dirac点。一个平面内的旋转或者单层内与其他有关的小旋转，当缠绕数为时，分割了并且简并入两个Dirac点。外场打破了双层的等价、反演对称。这种情形下，色散关系变为所引起的色散关系如前面的能谱图，和打开的能隙接近，但是并不直接在点。对于较小的动量，，导带可以扩大将换成可以获得价带色散，双层的在处有能隙。量子Hall效应1.石墨烯中的整数量子Hall效应人们最开始着研究的量子Hall效应有效能带理论，是从石墨烯晶格开始。对于IQHE，Haldane于1988年发表的PRL中构造的模型是石墨烯晶格加上均匀磁场。石墨烯是个二维晶格，经过上面的介绍，我们知道了石墨烯能带是Dirac锥，可以产生无能隙激发——无质量Dirac费米子。在低能有效理论中，哈密顿量是Dirac形的，解出两条能带：价带和导带，它在Dirac点接触，能谱是线性的。我们在这里对Dirac哈密顿量用另一种形式重新表述——Bloch矢量；因为我们知道对于二能级系统，其Bloch矢可以画出一个Bloch球面（类比于自旋系统，这种矢量可以称为“赝自旋”）。这里Dirac点附近二能带模型的Bloch也可以类似地用这种办法写出来：其中Pauli矩阵，Bloch矢，由于不加外场时石墨烯具有时间反演对称性:以及结构反演对称性:，因此。我们熟悉这个情况下的准粒子激发态是无能隙的，也就是有效质量为零。而在加入磁场项时候，时间反演对称破坏，,产生非零的质量项。10哈密顿量为有效质量项使得能谱打开能隙：这时候无限大晶格系统从导体变成绝缘体，这是参数引起的相变。当进一步考虑有限晶格系统时候，我们会计算得到边缘态（表面态）。为此我们考察半无限晶格系统，在方向上半有界（晶格），使得边缘或表面为了反映晶格系统内部与真空的势能差异，我们简单地设定质量项为的函数从Dirac方程可以得到波函数旋量解：方向的能谱，易见此态几乎限制在边界附近，在边界左右两边都呈指数衰减，因此是边缘态。而且此边缘态具有手征性，这一点可以计算其沿着边界上的群速度知道边缘态模是单向（右手）运动。还发现它是无能隙模，过Fermi面，也就是在Dirac点处。11根据TKNN四人的工作，量子Hall电导可以通过计算第一陈类得到，拓扑能带理论的核心在于Brillouin区上的Berry相位。Bloch态在规范变换下不变，Berry相来源于波函数内禀的相位任意性，是反映系统拓扑性质的一种几何相位。类比于电磁场规范变换理论，可以定义Berry联络：我们需要对动量空间的几何性质进行考察，二维方形晶格晶格系统，周期性边界条件为：；所以二维Brillouin区可以同胚映射成环面，这是一种拓扑紧致化手段。这样，Brillouin区亏格为1。Berry相位就是Berry联络在动量空间上作闭回路的积分；由Stokes定理，它又是Berry曲率对整个Brillouin区作积分：那么Berry曲率为，这一套联络都和电磁场理论相似。现在来对这个二维Brillouin区(为了简便设晶格常数为一)的Berry相位（第一陈数）：12周期性晶格势场中Bloch态在一个倒格矢周期上最多只差一个相因子,因此边界关系为：，石墨烯Brillouin区是六边形，或以倒格子原胞看是菱形四边形，情况类似。13联络分量为Berry相位为由Brillouin区边界上波函数的相位关系：可最终得到：由波函数的单值性，则相位差取值只能是的整数倍，此即Berry相位取值，这就解释了能带填满时候Hall电导出现整数量子化现象。在无磁场时候没有Hall效应，相因子相同，故;加入磁场后相当于Brillouin区环面的洞中有磁通形成“环形电流”，由此跨过一个Brillouin区将得到规范相位（Peierlssubstraction），当穿过每个Brillouin区的磁通为一个磁通量子大小时，陈数。14前面提过由于Bloch态具有规范，因而Berry相位在作规范变换时候不变，因此也是个规范不变量。以微分几何语言描述就是一个以流形的Brillouin区为底空间的U(1)丛的第一陈数，是个具有拓扑不变性的整数。此时其规范相因子相当于纤维的坐标。在有磁场时形成的量子Hall相之后，多出了一条无能隙边缘态连接导带和价带使得Brillouin流形重构。15这时候Brillouin区的几何流形是Möbius带，陈数就从原来普通环面的零变成了一，这也就是量子Hall电导的填充数。用陈类对量子Hall态分类的思想对应于数学上用Euler示性类对二维紧致定向流形分类：Berry曲率对应于Gauss曲率，第一陈类对应于Euler示性类，那么流形上的积分就对应于Gauss-Bonnet定理这里是无边界二维流形的Gauss曲率，就是Euler示性数，是亏格。现在我们用另一个角度描述Berry相位。我们记得这节开头之所以用Bloch矢量来表示哈密顿量，其实就是作铺垫为了现在来以更几何、物理的角度看待描述Berry相位这个拓16扑不变量。我们需要从动量空间的Brillouin区映射到赝自旋Bloch球面生成的参数空间（又称为靶空间）。这时我们从上面讨论能带计算的结果知道石墨烯系统哈密顿量特征值是，Bloch矢就是刻画的靶空间里面从单位球中心指向球面的单位矢量，而靶空间就是所谓底空间。而Berry相位则是这个单位矢量在球面上所画的闭路