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2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：B我们的参赛报名号为（模拟赛时填写队伍编号）：B27001024所属学校（请填写完整的全名）：西安交通大学参赛队员(打印并签名)：1.刘鹤欣2.罗锐3.冉小鹏指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：李换琴日期：2014年9月3日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：1艺术展馆监控摄像机设置问题摘要随着社会经济的发展，人们对于安全问题日益重视，安防监控摄像头得到越来越广泛的应用。由于当前工程人员多以经验配置摄像机位置，这可能导致监控系统的建设成本及后期维护费用过大的问题。本文研究某平面布局复杂艺术展馆的监控摄像机设置问题。针对问题一，先研究简单区域单个、双个固定摄像头及旋转摄像头设置规律，在对展馆区域按照25050mm规格进行网格化处理后，建立以摄像头监控网格点数最多、摄像头数目最少并尽量位于角落为目标函数，以固定摄像头的位置、数目和安装方向以及旋转摄像头位置、数目为决策变量，以单个网格点只能设置一种摄像头以及网格点受监控判别条件为约束条件的多目标优化模型。通过将摄像头监控网格点数最多转化为监控所有网格点加入约束条件中，将原模型简化为单目标优化模型。在将展馆3大展区划分成多个小分区后，提出分区求解思想，针对每个小分区采用Lingo软件求解得到各个小分区的摄像头设置结果，综合小分区结果并依据简单区域摄像头设置规律及摄像头位于角落的要求对结果进行修正，最终得到需要30个摄像头才能覆盖整个展馆，其中永久分区18个，现代艺术互动画廊10个，南北画廊2个。针对问题二，定义重要度概念并采用开口朝下的二次函数的递减部分反映重要度与网格点到墙壁或隔板最小距离的关系，建立以被监控点重要度之和最大为目标函数，以固定摄像头的位置、数目和安装方向以及旋转摄像头位置、数目为决策变量，以单个网格点只能设置一种摄像头、网格点受监控判别条件以及摄像头数目不超过限值为约束条件的单目标优化模型。依据分区求解思想，针对每个小分区摄像头数目相对问题一方案减少1个的情况，采用Lingo软件求解得到各个小分区的摄像头设置结果，综合小分区结果并依据摄像头尽量位于角落的要求修正，得到总共需要22个摄像头，其中永久分区13个，现代艺术互动画廊7个，南北画廊2个。引入监控覆盖率和监控强度作为衡量监控方案安全性的指标，将问题一方案与问题二方案进行比较得到在摄像头数目相同时，问题二方案安全性优于问题一方案。关键词：监控摄像头多目标优化分区求解思想2一、问题重述1.1.问题背景校园、图书博物馆、办公楼群、酒店等功能相对统一的单位集中地称为园区，其人员的复杂性、设备的重要性对安防监控系统提出了越来越高的要求。当前工程人员多以经验来设置监控摄像头，难以保证以最少监控点覆盖所要求的监控区域，这将导致监控系统建设成本及后期维护费用过大。本问题中保安公司与某艺术展馆签订了一项安保合同，为他们安装摄像监视装置。由于这些摄像装置较大，会对展馆参观者视线形成干扰，所以展馆方希望这些装置安装得越少越好，并且希望摄像机尽可能装在角落处。现有的摄像机当固定摄像时能清晰分辨的距离为7.5米，当水平旋转摄像时能清晰分辨的距离为2.5米，摄像头视角大约为50度。1.2.目标任务问题一：为固定或可转动摄像机设计安装位置，以期在夜晚能够提供尽可能多的覆盖面积（包括地面与墙壁展示区域），同时应使摄像机数目尽可能少并且尽可能装在角落处。问题二：由于预算资金不足，不能在全馆安装足够数量的监视摄像机来覆盖展馆所有区域，试讨论这种情形下的最优安装策略，并给出相应的安全性评价。二、模型的假设1.摄像监控装置安装点位置同时也是被监控区域；2.摄像机监控范围不能跨越题目图形中障碍区域；3.摄像监控装置在清晰分辨距离和视角以内平面区域的监控画面清晰可见；4.所有的墙壁、隔板以及障碍物都是平的，不会形成竖直方向上的盲区；5.不考虑摄像机安装高度以及所形成的空间立体结构；6.不考虑摄像机的自然损坏或人为破坏等失效因素。三、符号说明R摄像机清晰分辨距离摄像机监控视角S摄像机监控区域面积3A原始图像像素矩阵B二值化图像像素矩阵jm第j个坐标点位置是否安装固定摄像机jn第j个坐标点位置是否安装旋转摄像机,iixy第i个网格点的横纵坐标ij监控点与网格点连线与x轴正方向逆时针夹角j监控点安装方向与x轴夹角N网格点总数iI第i个网格点对应的重要度P允许安装摄像机的最大数目四、模型建立与求解4.1.问题一4.1.1.问题一的分析问题一是研究如何设置监控摄像机，以期在夜晚能够提供尽可能多的覆盖面积，同时使得监控摄像机数目尽可能少并尽可能位于角落。由于该展馆平面布局较为复杂，直接考虑其监控摄像机的设置较为困难。因此首先从最简单的情况开始研究，依次研究单个固定摄像机，单个旋转摄像机，两个固定摄像机等等情况所能监测区域的特点，这将为后面整个展区监控摄像机的设置打下基础。然后考虑到对摄像机监控的面区域描述时较为困难，可以将展馆区域网格化，将网格上的点是否受监控来作为该点附近小范围区域是否受到监控的判断依据，这样原目标之一覆盖面积尽可能多就转化成了覆盖的网格点尽可能多。进一步，以各网格点是否设置固定摄像机、是否设置旋转摄像机以及固定摄像机的角度作为决策变量，以各网格点只能为被监测点或固定摄像点或旋转摄像点为约束条件，建立以覆盖网格点尽可能多、摄像机数目尽可能少、摄像机尽可能位于角落的三目标优化模型。上一步所建立的优化模型有3个决策变量和3个目标函数，求解起来较为困难。为了方便求解并从实际意义出发，覆盖网格点尽可能多实际上可转化为覆盖所有网格点加入约束条件中。这样原模型就转化为双目标优化模型。对于双目标4优化模型可以考虑采用加权求和等方法进一步化成单目标优化模型求解。考虑到展馆区域的复杂性，而不同展区内的小分区空间上相对独立，因此将展馆划分成不同区域求解。在求解时采用Lingo软件，但由于该模型是非线性整数优化模型，因此不一定能获得全局最优解，并且根据简单区域摄像头设置研究的结论对求解结果进行进一步修正。4.1.2.简单区域监控摄像机监测区域研究当前市场所销售的摄像头视角范围为5~90度，一般摄像头视角范围随着镜头焦距的增大而逐渐减小，同时旋转式和固定式摄像头由于运动特征的不同将导致清晰分辨距离的不同。本问题中摄像头的视角为50度，固定摄像机清晰分辨距离为7.5米，360度旋转摄像头清晰分辨距离为2.5米。固定摄像机由于视角和清晰分辨距离的限制，由于摄像机数目的不同，固定摄像装置的监控区域可分为以下两类：(1)单固定摄像机图1单个固定摄像头监测区域图1中，OM与ON的夹角即为摄像头的视角。单个固定摄像头监控区域为一扇形。对于半径为R、圆心角为20,的扇形所覆盖的矩形区域可能出现如图1所示（甲）（乙）两种情况，所对应对应最大面积为：2max1tan22甲SR,(1)其中R为固定摄像机分辨距离，即扇形半径；为摄像机的视角，即扇形对应圆心角。甲图反映了在存在3块挡板BC,CD,OD时单个固定摄像头的安装方式。2maxtan4乙SR.(2)其中R为固定摄像机分辨距离，即扇形半径；为摄像机的视角，即扇形对应圆心角。乙图反映了在存在4块挡板AB,BC,CD,DA时固定摄像机的安装方式。根据以上推导过程和图1中甲乙两种情况的比较，可以得到清晰分辨距离为7.5米、视角范围为50度的固定单摄像机最大理论监控矩形区域为4138mm3170mm。(2)双固定摄像机上文分析了单一固定摄像机所能监控的区域情况，下面分析采用两个固定摄NMxyOBACDANMxyOBCD(甲)(乙)5像机监控使所能监测的区域际情况。这里以清晰分辨距离为7.5米、视角范围为50度的摄像机为例进行分析。双摄像头监控时的区域特点如图2所示：图2固定双摄像头监测区域双固定摄像机的位置安排存在图2中甲乙两种情况，甲中两摄像机反向设置，乙中两摄像机同向设置。当两摄像机同向设置时（甲），其中坐标10,0,0O，24821,5745,πO，可完全实现的最大监控矩形区域为5745mm4821mm；当两摄像机反向设置时（乙），其中坐标10,0,0O，20,0,5/18O，可完全实现的最大实际监控矩形区域为5303mm5303mm。根据以上分析，双固定摄像机监控时能形成互补效应，在不重叠的情况下双固定摄像机相配合能监控较大面积的矩形区域。(3)单旋转摄像机旋转摄像机通常与固定摄像机的支撑设备即云台结合使用，在水平平面内最大可实现360度旋转。旋转摄像头的监测区域较为固定，如图3所示。由于监测区域较为固定并且监控区域范围较小，因而一般情况下旋转摄像机不采用两个或两个以上配合使用的方式。旋转摄像头清晰分辨距离限制为2.5米，所以能够实现的最大实际监控区域为3536mm3536mm。图3旋转摄像头监测区域(4)固定与旋转摄像监控的比较固定摄像机的视角有限，而旋转摄像机的清晰分辨距离有限，两种摄像装置的搭配使用对于发挥各自的优点有重要作用。下面首先对两种摄像监控方式在分辨距离、视角等方面进行比较，比较结果如表1所示。O2(D)O1(B)xyACBADO1(O2)yxC(甲)(乙)AxyOBCD6表1摄像机固定与旋转监控方式比较监控方式清晰分辨距离视角单摄像机监控最大面积双摄像机监控最大矩形面积有无时间盲区固定监控7.5米50度24.54平方米28.13平方米无旋转监控2.5米360度19.63平方米25.00平方米有图4摄像机固定与旋转监控方式区域比较如图4所示将两种摄像机方式的监控区域进行重叠比较，采用画图软件粗略估算得到固定监控方式能覆盖旋转监控方式监控区域的90%以上，同时固定监控方式能覆盖旋转监控最大矩形区域的95%以上。根据表1中的结果同样可以直观定性判断得出就覆盖面积而言固定监控方式较优于旋转监控方式。但是，值得注意的是挡板的存在往往会使固定摄像机的监控范围大大减少。综上所述粗略得出针对复杂区域监控的摄像机选择结论如下：采用固定摄像机监控有助于增加监控覆盖面积，采用旋转监控方式有助于减少摄像机的使用数目。4.1.3.覆盖面积最大的摄像机设置优化模型的建立上文对简单区域的监控摄像机选择进行了研究。而本问题中的艺术展馆一共包含3个展区，展区内可能设有挡板，展区布局复杂。为了尽可能多的增大监控覆盖面积，所需要的两种监控摄像机数目较多，这时对于摄像机位置的合理设置应建立一个优化模型来描述。下面将对优化模型的目标函数、决策变量、约束条件等组成部分进行说明。(1)展馆区域网格化处理对于问题一，两种摄像机优化设置的目标之一是使监控覆盖面积尽可能大。由于直接从“面”的角度描述摄像机监控范围较为复杂，为了简化问题，这里将展馆进行网格化处理，通过摄像机所能监控到的点数目来反映其监控范围的大小。通过Matlab编程得到永久展区(PermanentExhibitionArea)处理图（图5）、现代艺术互动画廊(ChallengeofModernArtInteractiveGallery)处理图（见附录1）和南北画廊(SouthGallery&NorthGallery)处理图（见附录1）。同时为了接