量纲分析法

第一讲关于量纲分析法量纲分析法是二十世纪初，一些物理学家提出的一种在物理领域建立数学模型的办法。所谓量纲分析法，即在经验和实验的基础上，利用物理量的量纲所提供的信息，根据量纲齐次原则来确定物理量之间的关系。量纲，即物理量的单位，如速度的量纲就是m/s一、量纲齐次原则物理量的量纲物理量的量纲长度l的量纲记L=[l]质量m的量纲记M=[m]时间t的量纲记T=[t]动力学中基本量纲L,M,T速度v的量纲[v]=LT-1导出量纲加速度a的量纲[a]=LT-2力f的量纲[f]=LMT-2国际单位制SI制的基本量•长度l米L•质量m公斤M•时间t秒T•电流强度I安培A•温度开尔文K•光强J堪德拉cd•物质的量摩尔N其他所有物理量的单位都由这7个基本量复合得到。量纲齐次原则引力常数k的量纲[k]=[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2对无量纲量，[]=1(=L0M0T0)量纲齐次原则等式两端的量纲一致量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系单摆运动示例假设：1、不考虑空气阻力；2、忽略地球自转对单摆运动的影响；3、摆线是刚体，在摆动中无形变；4、摆轴部分没有摩擦。在这样的假设条件下，与单摆运动有关的物理量分别有：t、m、l、g、单摆运动的规律由公式F(t,l,m,g,)=0给出。例:单摆运动求摆动周期t的表达式lmgmlmglmgm)1(321glmt321][][][][glmt假设物理量t,m,l,g之间有关系式1,2,3为待定系数，为无量纲量(1)的量纲表达式33212TLMT2/12/10321gltglt2对比12003321对比这里计算出的公式和实际公式参数通过测量和最小二乘法计算可以得到。原理分析对x,y,z的两组测量值x1,y1,z1和x2,y2,z2，p1=f(x1,y1,z1),p2=f(x2,y2,z2)2121pppp为什么假设这种形式？321glmt设p=f(x,y,z)),,(),,(),,(),,(222111222111czbyaxfczbyaxfzyxfzyxfx,y,z的量纲单位缩小a,b,c倍zyxzyxf),,(p=f(x,y,z)的形式为),,(),,,(22221111czbyaxfpczbyaxfp0002010010101004321)()()()(TMLTMLTMLTMLTMLyyyy000241243TMLTMLyyyyy201001010100][][][][TMLgTMLlTMLmTMLt单摆运动中t,m,l,g的一般表达式0),,,(glmtf020041243yyyyyglt12)/(gltTTyyyyy)1,1,0,2(),,,(4321基本解4321yyyyglmty1~y4为待定常数,Δ为无量纲量0)(F设f(q1,q2,,qm)=0mjXqniaijij,,2,1,][1ys=(ys1,ys2,…,ysm)T,s=1,2,…,m-rF(1,2,…,m-r)=0与f(q1,q2,,qm)=0等价,F未定Pi定理(Buckingham)是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2,,Xn是基本量纲,nm,q1,q2,,qm的量纲可表为,}{mnijaA量纲矩阵记作rArank若即线性齐次方程组0Ay有m-r个基本解，记作mjyjssjq1为m-r个相互独立的无量纲量,且则Pi定理的意义Pi定理实际上给出了一个量纲分析法建模的方法和理论支持，即这个定理证明了：量纲分析法是可行的，没有任何理论上的疑点。下面就利用Pi定理中给出的步骤和方法来解决一个新的建模问题。)()()()()()()(201002)(100100)(121311fsvlgTMLA[g]=LT-2,[l]=L,[]=L-3M,[v]=LT-1,,[s]=L2,[f]=LMT-2航船阻力fmjXqniaijij,,2,1,][1航船速度v,船体尺寸l,浸没面积s,海水密度,重力加速度g。mnijaA}{m=6,n=30),,,,,(fsvlg0),,,(21mqqqf二、波浪对航船的阻力与航船阻力有关的物理量：TTTyyy)1,0,0()0,1,0()0,0,1(321flgslvlg13132221211,1,3,1,0,2,0,0,2/1,2/1Ay=0有m-r=3个基本解rankA=3rankA=rAy=0有m-r个基本解ys=(ys1,ys2,…,ysm)Ts=1,2,…,m-rmjyjssjq1m-r个无量纲量0),,,(21mqqqf0),,,,,(fsvlg而且存在一个未定的函数关系：0),,(321航船阻力模型注意3中含有f，为了得到f的关系式，不妨设2213则至此我们已经建立了阻力f与其他各物理量之间的关系式。仍是未知的函数关系，看起来似乎没什么用，其实不然。0),,(321由得),(213及flgslvlg13132221211航船阻力模型的意义以我们上面得出的最后模型为例：在设计制造舰船、飞机、汽车等产品时，研究人员需要先制作出非常逼真的仿真实物模型，然后对实物模型进行阻力、运动特征实验，以此来验证设计是否合理。),(),(212212实实实模模模实模vsvsff如果我们能使模型船的中两个数据与真实船相同，则得到：实实实模模模实模22vsvsff这就为我们根据模型船评估实体船的阻力提供了有效途径，至于究竟是什么已经不重要了。量纲分析法的评注•物理量的选取•基本量纲的选取•基本解的构造•结果的局限性(…)=0中包括哪些物理量是至关重要的基本量纲个数n;选哪些基本量纲有目的地构造Ay=0的基本解•方法的普适性函数F和无量纲量未定不需要特定的专业知识对量纲分析法的评价•正确确定物理量（根据经验和概念，宁多勿缺）•恰当确定基本量纲•构造基本解（如果构造得当，可以直接得到期望的结果）•结果的效用和局限性量纲分析法能在建立物理问题的数学模型中得到一些重要、有用的结果，但也存在局限性，应用时应注意以下几点：1、从未知定律到用量纲分析法得到的等价形式不仅物理量减少了r个，降低了问题复杂性，同时也得到了一些关键的无量纲量i。2、当然，这种建模方法也是有局限性的，它始终是初等建模方法，一些物理公式中常见的三角函数和指数函数都得不到。另外，在航船阻力模型中也能看到，还有未定函数和一些常量无法得到，因此模型的实用价值有限。