曲面积分

1对面积的曲面积分(P154)一、对面积的(第一类)曲面积分的概念与性质1.引例:设有空间曲面,面密度为(x,y,z),面积为s,计算曲面的质量M。将任意分为n小片:1,2,…,n,Δsi,则Mi(xi,yi,zi)si记=max{s1,s2,…,sn},(xi,yi,zi)si,ni1M=Mini1则:M=(xi,yi,zi)Δsini10lim在i中任取一点(xi,yi,zi)(i=1,2,…,n),i的面积为2对面积的曲面积分(P154)2.设是光滑曲面,f(x,y,z)在上有界,将任意分为n小片:1,2,…,n,f(x,y,z)ds。称f(x,y,z)为被积函数,称为积分曲面,曲面的质量:M=(x,y,z)ds则称此极限为函数f(x,y,z)若f(xi,yi,zi)si存在,ni10limi的面积为si(i=1,2,…,n),并记=max{s1,s2,…,sn},在i中任取一点(xi,yi,zi),在上对面积的曲面积分,或第一类曲面积分,记为:33.若f(x,y,z)在上连续,则f(x,y,z)ds一定存在。4.规定:若=1+2,则:f(x,y,z)ds=1f(x,y,z)ds+2f(x,y,z)ds;5.若f(x,y,z)1,则:f(x,y,z)ds=曲面的面积;对面积的曲面积分有与对弧长的曲线积分类似的性质;6.若为闭曲面,积分记为:f(x,y,z)ds。曲面的质量:M=(x,y,z)ds4曲面积分的计算(P155)二、对面积的曲面积分的计算法1.设:z=z(x,y)在xOy面上投影区域为Dxy,则:f(x,y,z)ds=在Dxy上偏导连续,f(x,y,z)在上连续,yxyxzyxzsyxdd),(),(1d22)),(,,(xyDyxzyxf对面积的曲面积分有与对弧长的曲线积分类似的性质;6.若为闭曲面,积分记为:f(x,y,z)ds。yxyxzyxzyxdd),(),(122z(x,y)由于5举例(P156)例1.计算I=ds,其中是x2+y2+z2=a2被z=h1——z截出的顶部,0ha。解::z=a2-x2-y2,Dxy:x2+y2a2-h2,,222yxaxzx,222yxayzy,ddd222yxyxaasDxyzxyohaf(x,y,z)ds=yxyxzyxzyxzyxfyxDxydd),(),(1)),(,,(22I=dxdyDxy2221yxa222yxaa6举例(P156)例1.计算I=ds,其中是x2+y2+z2=a2被z=h解::z=a2-x2-y2,1——z截出的顶部,0ha。Dxy:x2+y2a2-h2,,222yxaxzx,222yxayzy,ddd222yxyxaas=add22ha200—————a2-2=2=dxdyDxya————————a2-x2-y2I=dxdyDxy2221yxa222yxaaDxyzxyoha=2alna——h.1——2ln(a2-2)|22ha07=0;2=0;3举例(P157)例2.计算I=xyzds,其中是由x+y+z=1,x=0,y=0,z=0所围的立体的边界曲面。xzo11y1解:设1:x=0;2:y=0;3:z=0;Dxy:x+y=1,x=0,y=0所围,4:x+y+z=1的各相应部分,对1:x=0,0yzds1=0;4:z=1-x-y,ds=dxdy,3I=4=xy(1-x-y)dxdyDxy3=xdxy(1-x-y)dy31-x010.1203=add22ha200—————a2-2=2alna——h.=21——2ln(a2-2)|22ha08曲面积分的计算(P156)则:f(x,y,z)ds=yxyxzyxzyxzyxfyxDxydd),(),(1)),(,,(222.推广:设在xOz,yOz面上投影分别为Dxz,Dyz,则f(x,y,z)ds=zxzxyzxyzzxyxfzxDxzdd),(),(1)),,(,(22f(x,y,z)ds=zyzyxzyxzyzyxfzyDyzdd),(),(1),),,((22Dxy:x+y=1,x=0,y=0所围,4:z=1-x-y,ds=dxdy,3I=4=xy(1-x-y)dxdyDxy3=xdxy(1-x-y)dy31-x010.12039(补充)例3.计算I=ds,:x2+y2=R2被z=0,z=1所夹的第一卦限部分。Dyz:0yR,0z1,解::,22yRx1–––––––––x2+y2+z2;0zx;22yRyxyzyyRysdd01d222;dd22zyyRR;dd12222zyyRRzRIyzDyyRzzRRRd1d10221022xzo1RyRf(x,y,z)ds=zyzyxzyxzyzyxfzyDyzdd),(),(1),),,((2210(补充)例3.计算I=ds,:x2+y2=R2被z=0,z=1所夹的第一卦限部分。Dyz:0yR,0z1,解::,22yRx.1arctan2R1–––––––––x2+y2+z2;0zx;22yRyxyzyyRysdd01d222;dd22zyyRR;dd12222zyyRRzRIyzDxzo1RyRyyRzzRRRd1d10221022RRyRzRR010arcsinarctan111对坐标的曲面积分(P159)1.有向曲面:指定了侧的曲面叫有向曲面,一、对坐标的(第二类)曲面积分的概念与性质其方向可以通过曲面上的法向量的指向来指定。2.Δs在xOy面上的投影记为(Δs)xy,面积记为(Δ)xy,设Δs上各点处法向量n与z轴夹角的余弦cos不变号,规定:(Δs)xy=(Δ)xy,cos0-(Δ)xy,cos00,cos=00——2——2=——212对坐标的曲面积分(P161)3.设是光滑的有向曲面,R(x,y,z)在上有界,将任意分为n小片:s1,s2,…,sn,称R(x,y,z)为被积函数,称为积分曲面。则称若R(xi,yi,zi)(si)xy存在,ni10limsi在xOy面上的投影并记=max{s1,s2,…,sn},在si中面积分,或第二类曲面积分,记为:R(x,y,z)dxdy。为(si)xy(i=1,2,…,n),任取一点(xi,yi,zi),此极限为函数R(x,y,z)在有向曲面上对坐标x,y的曲即:R(x,y,z)dxdy=R(xi,yi,zi)(si)xy。ni10lim13类似可以定义:其中(si)yz,(si)xz分别为si在yOz面,xOz面上的投影。函数P(x,y,z)在曲面上对坐标y,z的曲面积分为:P(x,y,z)dydz=P(xi,yi,zi)(Δsi)yz。ni10limQ(x,y,z)dxdz=Q(xi,yi,zi)(Δsi)xz。ni10lim函数Q(x,y,z)在曲面上对坐标x,z的曲面积分为:R(x,y,z)dxdy=R(xi,yi,zi)(Δsi)xy。ni10lim函数Q(x,y,z)在曲面上对坐标x,y的曲面积分为:应用上常出现的形式为:Pdydz+Qdxdz+Rdxdy144.若P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在有向曲面上连续,5.对坐标的曲面积分有与对坐标的曲线积分类似的20设¯表示与为取反侧,则Pdydz+Qdxdz+Rdxdy存在。10若=1+2,则:=1+2;6.若为闭曲面,积分记为:性质,例如:则:¯=-;应用上常出现的形式为:Pdydz+Qdxdz+RdxdyPdydz+Qdxdz+Rdxdy.15曲面积分的计算(P163)二、对坐标的曲面积分的计算法1.设:z=z(x,y)在xOy面上投影区域为Dxy,在Dxy上偏导连续,R(x,y,z)在上连续,则如果曲面为上侧,则积分取正号;曲面为下侧,则R(x,y,z)dxdy积分取负号。=R[x,y,z(x,y)]dxdy。Dxyz(x,y)6.若为闭曲面,积分记为:应用上常出现的形式为:Pdydz+Qdxdz+RdxdyPdydz+Qdxdz+Rdxdy.16(P164)例4.计算I=xyzdxdy,:x2+y2+z2=1在x0,y0部分外侧。Dxy:x2+y21,x0,y0解:上侧；2211:yxz,1:222下侧yxzxyzdxdy1=xy1-x2-y2dxdyDxy=d3sincos1-2d010––2=sincosd31-2d010––2xzo11y121DxyR(x,y,z)dxdy=R[x,y,z(x,y)]dxdy。Dxy上正,下负.17(P164)例4.计算I=xyzdxdy,:x2+y2+z2=1在x0,y0部分外侧。Dxy:x2+y21,x0,y0解:上侧；2211:yxz,1:222下侧yxz=d3sincos1-2d010––2=sincosd31-2d010––231-2d=(3-+)1-2d=[1-2-1-23]d=-1-23+1——3+1-251——5111=——[——-——]2351=———15;xyzdxdy1=xy1-x2-y2dxdyDxy18(P164)例4.计算I=xyzdxdy,:x2+y2+z2=1在x0,y0部分外侧。Dxy:x2+y21,x0,y0解:上侧；2211:yxz,1:222下侧yxz1=xy1-x2-y2dxdyDxyxzo11y121Dxy1=———15;111=——[——-——]235=--xy1-x2-y2dxdyDxy1=———15;xyzdxdy2=xy1-x2-y2dxdyDxy2I=———15.191.设:z=z(x,y)在xOy面上投影区域为Dxy,则:2.类似设在xOz,yOz面上投影分别为Dxz,Dyz,则:R(x,y,z)dxdy=R[x,y,z(x,y)]dxdy。Dxy曲面为前侧,积分取正号,曲面为后侧,积分取负号;P(x,y,z)dydz=P[x(y,z),y,z]dydz。DyzQ(x,y,z)dxdz=Q[x,y(x,z),z]dxdz。Dxz曲面为右侧,积分取正号,曲面为左侧,积分取负号。由积分变元决定对谁积分,由的侧决定符号,写显函数,求投影区域;前正后负;右正左负;上正下负.20(补充)例5.计算I=xdxdy+dydz+ydxdz,:x+y+z=1位于第一卦限部分异于原点一侧。xzo11y1xdxdy解:Dxy:x+y=1,x=0,y=0所围,上取正;=xdxdyDxy=xdxdy101-x01=——6;dydzDyz:y+z=1,y=0,z=0所围,前取正;=dydzDyz=Dyz的面积1=——2;由积分变元决定对谁积分,写显函数,求投影区域;由的侧决