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数学实验报告学院：班级：学号：姓名：完成日期：实验六矩阵的特征值与特征向量问题一一．实验目的1.掌握特征值、特征向量、特征方程、矩阵的对角化等概念和理论；2.掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法；3.理解由差分方程xk+1=Axk所描述的动力系统的长期行为或演化；4.提高对离散动力系统的理解与分析能力.二．问题描述当捕食者-被捕食者问题中的捕食参数p是0.125时，是确定该动态系统的演化（给出Xk的计算公式）。猫头鹰和森林树的数量随着时间如何变化?该系统去向一种被称为不稳定平衡的状态。如果该系统的某个方面（例如出生率或者捕食率）有轻微变动，系统会如何变化？三．问题分析将线性变换xAxk的作用分解为易于理解的成分，其中特征值与特征向量是分析离散动态系统的关键。根据已知信息，找到系统对应的差分方程xk+1=Axk，求出A的特征值和对应的特征向量，再根据不同特征值的个数、绝对值大于1还是小于1、是实特征值还是复数特征值等情形，分析出系统的演化过程。四．实验过程问题对应的差分方程为xk+1=Axk，其中A=0.50.4-0.1251.1，演化过程求解如下：第一步：求A的特征值和对应的特征向量。利用如下的代码即可获得：A=[0.50.4;-0.1251.1];[pc,lambda]=eig(A);[Y,I]=sort(diag(abs(lambda)),'descend');temp=diag(lambda);lambda=temp(I)pc=pc(:,I)运行程序可得A的特征值为lambda=1.00000.6000A的特征向量pc=-0.6247-0.9701-0.7809-0.2425显然，这两个特征向量（即pc的第一列和第二列）是线性无关的，它们构成R2的一组基，为消除小数，选取V1=4V2=4P=44P﹣1AP=1.000515100.60第二步：V1用和V2表示x0和xK,k=1,2….因为{V1，V2}是R2的一组基，所以存在系数c1和c2,使得x0=c1V1+c2V2.因为V1，V2为矩阵A对应于λ=1.0，u=0.6的特征向量，所以AV1=λV1，AV2=λV2，于是X1=Ax0=A(c1V1+c2V2)=c1λV1+c2uV2.X2=Ax1=A(c1λV1+c2λV2)=c1λ2V1+c2u2V2.一般地，Xk=c1λkV1+c2ukV2.=c1(1.0)k4+c2(0.6)k4k=0,1,2,3….51当k趋近于无穷大时，0.6^k趋近于0，假定c10,则对于所有足够大的k，xk近似地等于c1(1.0)kV1，写为Xk≈c1(1.0)k45K越大，近似程度越高，所以对于足够大的k，Xk+1≈c1(1.0)k+145=Xk可知猫头鹰和老鼠的数量几乎每月都相当,而且Xk约为45的倍数，所以每4只猫头鹰对应着5000只老鼠。第三步：解的图像表示，见图8-1，其中绿色圆圈代表初始点x0，红色圆点代表迭代序列，箭头代表迭代方向，蓝色直线代表特征向量V1，V2所在的直线。在图8-1中，圆点为鞍点，排斥最快的方向为过圆点和特征向量V1的直线方向。其中V1对应的特征值得绝对值为1.如果x0在这条直线上，则表示c2等于0，且Xk始终在原点。吸引最快的方向由特征向量V2决定，其对应的特征值的绝对值大于1.相应的代码如下：%P8_1.m%捕食者-被捕食者解的图像表示clear,clca=-20*100;b=-a;c=a;d=b;p=0.1;n=100;xlabel('|\lambda|=1,|u|1')axis([abcd]),gridon,holdonx=linspace(a,b,30);A=[0.50.4;-0.1251.1];[pc,lambda]=eig(A);[Y,I]=sort(diag(abs(lambda)),'descend');temp=diag(lambda);lambda=temp(I)pc=pc(:,I)pc=-pc;z1=pc(2,1)/pc(1,1)*x;z2=pc(2,2)/pc(1,2)*x;h=plot(x,z1),set(h,'linewidth',2),text(x(7),z1(7)-100,'v1')h=plot(x,z2),set(h,'linewidth',2),text(x(20),z2(20)-100,'v2')button=1;whilebutton==1[xi,yi,button]=ginput(1);plot(xi,yi,'go'),holdonX0=[xi;yi];X=X0;fori=1:nX=[A*X,X0];h=plot(X(1,1),X(2,1),'R',X(1,1:2),X(2,1:2),'r-');holdontext(X0(1,1),X0(2,1),'X0')quiver([X(1,2),1]',[X(2,2),1]',[X(1,1)-X(1,2),0]',[X(2,1)-X(2,2),0]',p)set(h,'MarkerSize',6),grid,endend五．结论与分析因为当k趋近于无穷大时，0.6^k趋近于0，所以取1.可知猫头鹰和老鼠的数量几乎每月都相当。系统趋向于不稳定平衡的状态。当出生率下降或者捕食率增大，或者相反的情况，该平衡状态就会被打破。直到重新平衡或者系统完全崩溃。问题二一．实验目的1.掌握特征值、特征向量、特征方程、矩阵的对角化等概念和理论；2.掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法；3.理解由差分方程xk+1=Axk所描述的动力系统的长期行为或演化；4.提高对离散动力系统的理解与分析能力.二．问题描述在美国的黄杉森林中，班头猫头鹰主要以鼹鼠为食。假设这两个种群的捕食率-被捕食率矩阵为A=[0.40.3;-p1.2]（1）证明：如果捕食参数p=0.325，则两个种群都会增长。估计长期的增长率及猫头鹰与鼹鼠的最终比值。（2）证明：如果捕食率p=0.5，则猫头鹰和鼹鼠都将灭绝。（3）试求一个P值，使得猫头鹰和鼹鼠的数量趋于稳定。此时，对应的种群数量是多少？三．问题分析将线性变换xAxk的作用分解为易于理解的成分，其中特征值与特征向量是分析离散动态系统的关键。根据已知信息，找到系统对应的差分方程xk+1=Axk，求出A的特征值和对应的特征向量，再根据不同特征值的个数、绝对值大于1还是小于1、是实特征值还是复数特征值等情形，分析出系统的演化过程。四．实验过程问题对应的差分方程为xk+1=Axk，其中A=0.40.3-P1.2，演化过程求解如下：(1)当P=0.325时，类似问题一的结决方案，可求出A的特征向量与特征值，代码如下：A=[0.40.3;-0.3251.2];[pc,lambda]=eig(A);[Y,I]=sort(diag(abs(lambda)),'descend');temp=diag(lambda);lambda=temp(I)pc=pc(:,I)运行程序可得A的特征值为lambda=1.05000.5500A的特征向量pc=-0.4191-0.8944-0.9080-0.4472将小数乘以相应倍数变成整数V1=5V2=2P=52P﹣1AP=1.05011111100.55由此可知，当k趋近于无穷大时，0.55^k趋近于0.所以A的特征值取1.05.即猫头鹰和老鼠的数量几乎每个月都近似增加到原来的1.05倍，即有5%的增长率.所以Xk约为（511），即每5只猫头鹰对应着6500只老鼠。最终比值为1300.（2）当P=0.5时，类似问题一的解决方案，可求出A的特征向量与特征值，代码如下：A=[0.40.3;-0.51.2];[pc,lambda]=eig(A);[Y,I]=sort(diag(abs(lambda)),'descend');temp=diag(lambda);lambda=temp(I)pc=pc(:,I)运行程序可得A的特征值为lambda=0.90000.7000A的特征向量pc=-0.5145-0.7071-0.8575-0.7071将小数乘以相应倍数变成整数V1=5V2=1P=53P﹣1AP=0.90311100.7因为所有的特征值得绝对值都小于1，所以当k趋近于无穷大时，xk趋近于零。所以这个模型预示着斑点猫头鹰最终将会灭绝。（3）采用试值法取p=0.4.可求出A的特征向量与特征值如下：A=[0.40.3;-0.41.2];[pc,lambda]=eig(A);[Y,I]=sort(diag(abs(lambda)),'descend');temp=diag(lambda);lambda=temp(I)pc=pc(:,I)运行程序可得A的特征值为lambda=1.00000.6000A的特征向量pc=-0.4472-0.8321-0.8944-0.5547因为当k趋近于无穷大时，0.6^k趋近于0.所以取1.可知猫头鹰和老鼠的数量几乎每月都相当。系统趋向于不稳定平衡的状态。五．实验结论捕食者-被捕食者问题说明了动态系统Xk+1=AXk的几个基本事实:1.若它的特征值|λ|≥1，|λj|≤1,对于j=1,2,3,…,并且vi为λi的特征向量。如果初始向量x0=c1v1+c2v2+…+cnvn,其中c1≠0，则对于充分大的k，有Xk+1≈λ1Xk且Xk+1≈c1λ1kv12.若它的特征值|λi|＜1,对于i=1,2,3,…,并且vi为λi的特征向量。如果初始向量x0=c1v1+c2v2+…+cnvn,则对于充分大的k，有Xk+1≈03.用Matlab软件可以方便的计算出矩阵的特征值和其对应的特征向量，从而能更好地帮助我们去分析动态系统Xk+1=AXk的演化过程。