2.5.1--平面向量在平面几何及物理中的应用解析

2.5平面向量应用举例2.5.1平面几何中的向量方法2222222,4,24,24,1.2abababaabbaabbab由得=4即（）:2,1,-2,?1abababAC探长度问题利用如何求究等于多少？22222||()226.ACababaabbaabb例1.平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型，如图2.5-1，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系吗？ABCDACABAD,DBABAD,,,.ABaADbACabDBab设，则图2.5-1222()()2(1)ACACACababaaabbabbaabb2222(2)DBaabb同理222222(1)(2)2()2().得ACDBabABAD注意这种求模的方法平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长的平方和的两倍.如果不用向量方法，你能证明上述结论吗？（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何元素.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：提升总结几何问题向量化向量运算关系化向量关系几何化例2.如图2.5-2，□ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？ABDEFRTC猜想：AR=RT=TC图2.5-2ABa,ADb,ARr,ACab.解设：则由于与共线，故设因为ARACrn(ab),nR，又因为共线，所以设EREB与1ERmEBm(ab).2因为所以ARAEER，11rbm(ab).221122()()因此，nabbmab1EBABAEab,2m1(nm)a(n)b0.2即a,b向量不共线,nm0m1n0.2，nm.1解得：=3111ARAC,TCAC,RTAC.333ATRTTC.所以同理于是故利用待定系数法，结合向量共线定理和平面向量基本定理，将问题转化为求m、n的值，是处理线段长度关系的一种常用手段.提升总结例3.若正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB、BC的中点，试求cosDOE.ABCOxy解：以O为坐标原点，以OA、OC所在的直线为坐标轴建立如图所示的直角坐标系，分析：建立坐标系，利用向量的坐标运算求夹角.探究二（角度问题）ED11(1),(,1)2211(1),(,1)22DEODOE则，，，，cos1111422.55522ODOEDOEODOE建立适当的坐标系，利用向量运算的坐标形式，可使解题思路明确，过程简洁.提升总结例4.两个人共提一个旅行包，或在单杠上做引体向上运动，根据生活经验，两只手臂的夹角大小与所耗力气的大小有什么关系？夹角越大越费力.利用向量解决力（速度、位移）的合成与分解思考1:若两只手臂的拉力为物体的重力为那么三个力之间具有什么关系？12FF、，G,12FFG、、12 FFG0.＋＋思考2:假设两只手臂的拉力大小相等，夹角为θ，那么||、||、θ之间的关系如何？1||||2cos2GF，θ01801F2FGFG1F思考3:上述结论表明，若重力一定，则拉力的大小是关于夹角θ的函数.在物理学背景下，这个函数的定义域是什么？单调性如何？1||||,2cos2GF0180G增函数思考4:||有最小值吗？||与||可能相等吗？为什么？110,2120.时，最小，最小值为时，GFFG1F1FG用向量解力学问题对物体进行受力分析画出受力分析图转化为向量问题1.问题的转化,即把物理问题转化为数学问题.2.模型的建立,即建立以向量为主题的数学模型.3.参数的获得,即求出数学模型的有关解----理论参数值.4.问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.提升总结125.d=500mA.v=10km/hv=2km/h(0.1min)例如图2.5-4，一条河的两岸平行，河的宽度，一艘船从处出发到河对岸已知船的速度，水流速度，问行驶航程最短时，所用的时间是多少精确到？A·CBD图2.5-41212210/,2/.vvvvkmhvkmhvvt如图，已知，，：，求分析A2v1vv·CBD20.vv由已知条件解得：2212||||||96(/),vvvkmh0.5603.1(min).||96所以dtv答：行驶航程最短时，所用时间是3.1min例3.一个物体受到同一平面内三个力的作用，沿北偏东45°方向移动了8m，已知||=2N，方向为北偏东30°，||=4N，方向为东偏北30°,||=6N，方向为北偏西30°，求这三个力的合力所做的功.利用向量研究力的做功问题分析：用几何法求三个力的合力不方便，建立直角坐标系，先写出三个力的坐标，再求合力的坐标，以及位移的坐标，利用数量积的坐标运算.123FFF、、1F2F3F南东北西30456030解：建立如图所示的直角坐标系，123F(13),F(232),F(333).则，，，123FFFF(232432),s(42,42),，位移Fs(232)42(432)42246(J).6(J).故这三个力的合力做的功是241F2F3FsO用几何法求合力，一般要通过解三角形求边长和夹角，如果在适当的坐标系中，能写出各分力的坐标，则用坐标法求合力，利用坐标运算求数量积也非常简单.提升总结1.ABCDABBC=0AB=DCABCD.A.B.C.D.在四边形中，且，则四边形是（）平行四边形矩形菱形正方形BAB=DCABCDABBC=0ABBCABC=90.ABCD.由可知，四边形为平行四边形，又，，即°四边形解：为矩形析OBOC)OBOC-2OA)=0(OBOAOC-OA)0CB(ABAC)0CB(2AM)0(MBCCBAMABC.((，CB，解，为的中点)，，△为等腰：三角形析222OABC(OBOC)(OBOC2OA)0ABCA.B.C.D..(01济南高一检测)是三角形内一点，且则三角形的形状为（）等腰三角形等边三角形直角三角形以上皆错A3.一架飞机从A地向北偏西60°方向飞行1000km到达B地，然后向C地飞行，若C地在A地的南偏西60°方向，并且A、C两地相距2000km，求飞机从B地到C地的位移.位移的方向是南偏西30°，大小是km.10003D东CBA西南北6060如图，作BD垂直于东西基线，BAD60ABDBDCD1000km,CBDBCD30.ABC90.BCACsin6010003(km).，△为等边三角形，4.已知力与水平方向的夹角为（斜向上），大小为50,一个质量为8的木块受力的作用在动摩擦系数的水平平面上运动了20m，问力和摩擦力所做的功分别是多少？Ff0.02kgNF30301F2FFfGFFSFscos30350205003(J).2解：1f(GF)(8025)0.021.1(Nfsfscos1801.120122(J).摩擦力的大小为）.（）1.用向量方法证明几何问题时,首先选取恰当的基底,用来表示待研究的向量,在此基础上进行运算,进而解决问题.2.要掌握向量的常用知识①共线；②垂直；③模；④夹角；⑤向量相等.3.利用向量解决物理问题的基本步骤：①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.4.用向量知识解决物理问题时，要注意数形结合.一般先要作出向量示意图，必要时可建立直角坐标系，再通过解三角形或坐标运算，求有关量的值.一年之计，莫如树谷：十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。长才靡入用，大厦失巨楹。——邵谒