数学模型作业：人口模型

数学模型报告2邓曌100244105作业1用1900年至2000年的数据拟合指数增长模型，计算并作图，观察结果。年份19001910192019301940195019601970198019902000实际人口7692106.5123.2131.7150.7179.3204226.5251.4281.4表1模型建立：记时刻t的人口为x(t)，当考察一个国家或一个较大地区的人口时，x(t)是一个很大的整数。为了讨论方便，我们将x(t)视为连续、可微函数。记初始时刻的人口为x0.基本假设:人口(相对)增长率r是常数x(t)：时刻t的人口trtxtxttx)()()(（1）0)0(,xxrxdtdx（2）rtextx0)(，ttrrxextx)1()()(00（3）rtextx0)(的参数r和x0可以用表1的数据估计。为了利用简单的线性最小二乘法，将（3）式取对数，可得：0ln,ln,xaxyarty（4）模型求解：以1900年至2000年的数据拟合（4）MATLAB编程代码：t=1900:10:2000;x=[76.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5251.4281.4];y=log(x);p=polyfit(t,y,1);x0=exp(p(2));r=p(1);plot(t,x,'r:o');holdon;x1=x0*exp(r*t);plot(t,x1);disp(['x0=',num2str(x0),',r=',num2str(r)]);结果得：x0=1.9618e-09,r=0.0128611900191019201930194019501960197019801990200050100150200250300图1由图1可以看出，蓝色拟合曲线表示曲线拟合的很好，用这个模型基本上能够描述十九世纪以前美国人口的增长。作业2根据图2dx/dt与x的关系，分析x随t的变化情况：t较小（从而x较小）时和t较大（从而x较大）时x增长速度有何不同，x多大时人口增长最快，t时?x等，由此你能大致画出x(t)的图形吗？图2问题分析由图：dtdx为x的增长速率当2mx时，dtdx随x的增加而增加，即x的增长速率随x的增大而增加；当2mx时，dtdx达到最大值，即x的增长速率最快；当2mx时，dtdx随x的增大而减小，但dtdx0，说明x的增长速率随x的增大而缓慢增加。模型建立当mxx时，x达到最大值，t时mxx假设xm=350,x0=6.054,r=0.202)1(mxrxdtdx（5）xmxm/2dx/dtx0用分离变量方法求解（5）得:rtmmexxxtx)1(1)(0（6）MATLAB编程代码：t=0:0.1:35;x=350./(1+(350/6.054-1)*exp(-1*t.*0.202));plot(t,x)05101520253050100150200250300350图3由图3可以看出：当t时，350mxx当增长速率最大时，1752mxx