B-Spline(B-样条线)

1第4章自由曲线曲面4.1概述4.2参数曲线基础4.3曲线曲面拟合方法4.4参数多项式曲线4.5三次Hermite曲线4.6Bezier曲线4.7B样条曲线24.1概述曲线的分类规则曲线自由曲线随机曲线34.1概述研究分支计算几何1969Minsky,Papert提出1972A.R.Forrest给出正式定义CAGD(ComputerAidedGeometricalDesign)1974Barnhill,Riesenfeld,美国Utah大学的一次国际会议上提出44.1概述研究内容对几何外形信息的计算机表示对几何外形信息的分析与综合对几何外形信息的控制与显示54.1概述对形状数学描述的要求？从计算机对形状处理的角度来看（1）唯一性（2）几何不变性对在不同测量坐标系测得的同一组数据点进行拟合，用同样的数学方法得到的拟合曲线形状不变。64.1概述（3）易于定界（4）统一性：统一的数学表示，便于建立统一的数据库标量函数：平面曲线y=f(x)空间曲线y=f(x)z=g(x)矢量函数：平面曲线P(t)=[x(t)y(t)]空间曲线P(t)=[x(t)y(t)z(t)]],[)()()(battzztyytxx74.1概述从形状表示与设计的角度来看（1）丰富的表达能力：表达两类曲线曲面（2）易于实现光滑连接（3）形状易于预测、控制和修改（4）几何意义直观，设计不必考虑其数学表达8自由曲线曲面的发展过程目标：美观，且物理性能最佳1963年，美国波音飞机公司，Ferguson双三次曲面片1964~1967年，美国MIT，Coons双三次曲面片1971年，法国雷诺汽车公司，Bezier曲线曲面1974年，美国通用汽车公司，Cordon和Riesenfeld,Forrest,B样条曲线曲面1975年，美国Syracuse大学，Versprille有理B样条80年代，Piegl和Tiller,NURBS方法9第4章自由曲线曲面4.1概述4.2参数曲线基础4.3曲线曲面拟合方法4.4参数多项式曲线4.5三次Hermite曲线4.6Bezier曲线4.7B样条曲线104.2参数曲线基础曲线的表示形式非参数表示显式表示隐式表示)()(xgzxfy0),,(0),,(zyxgzyxf11显式或隐式表示存在下述问题：1）与坐标轴相关；2）会出现斜率为无穷大的情形(如垂线)；3)不便于计算机编程。4.2参数曲线基础124.2参数曲线基础参数表示:曲线上任一点的坐标均表示成给定参数的函数。假定用t表示参数，平面曲线上任一点P可表示为参数的含义时间，距离，角度，比例等等规范参数区间[0，1]],[)()()(battzztyytxx134.2参数曲线基础参数矢量表示形式直线段的参数表示圆的参数表示]1,0[,)()(121ttPPPtP]1,0[12,11)(222ttttttP14参数表示的优点：1）以满足几何不变性的要求。2）有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状3）对曲线、曲面进行变换，可对其参数方程直接进行几何变换。4）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算。4.2参数曲线基础15（5）便于用户把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间去。（6）规格化的参数变量t∈[0,1]，使其相应的几何分量是有界的，而不必用另外的参数去定义边界。（7）易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。4.2参数曲线基础16曲线间连接的光滑度的度量有两种：参数连续性：几何连续性：4.2参数曲线基础174.2参数曲线基础参数连续性传统的、严格的连续性称曲线P=P(t)在处n阶参数连续，如果它在处n阶左右导数存在，并且满足记号0tt0tnkdttPddttPdttkkttkk,1,0,)()(00nC184.2参数曲线基础几何连续性直观的、易于交互控制的连续性0阶几何连续称曲线P=P(t)在处0阶几何连续，如果它在处位置连续，即记为1阶几何连续称曲线P=P(t)在处1阶几何连续，如果它在该处,并且切矢量方向连续记为0tt0t)()(00tPtP0GC0tt0GC为任一常数0)()(00tPtP1GC194.2参数曲线基础2阶几何连续称曲线P=P(t)在处2阶几何连续，如果它在处（1）（2）副法矢量方向连续（3）曲率相等0tt0t1GC)()(00tktk)()(00tBtB密切面从切面法平面TBN主法线)()(00tBtB20我们已经看到，连续保证连续，连续能保证连续，但反过来不行。也就是说连续的条件比连续的条件要苛刻。1GC1C2GC2CnCnGC4.2参数曲线基础21第4章自由曲线曲面4.1概述4.2参数曲线基础4.3曲线曲面拟合方法4.4参数多项式曲线4.5三次Hermite曲线4.6Bezier曲线4.7B样条曲线224.3曲线曲面拟合方法已知条件一系列有序的离散数据点型值点控制点边界条件连续性要求234.3曲线曲面拟合方法生成方法插值点点通过型值点插值算法：线性插值、抛物样条插值、Hermite插值逼近提供的是存在误差的实验数据最小二乘法、回归分析拟合提供的是构造曲线的轮廓线用的控制点Bezier曲线、B样条曲线等24第4章自由曲线曲面4.1概述4.2参数曲线基础4.3曲线曲面拟合方法4.4参数多项式曲线4.5三次Hermite曲线4.6Bezier曲线4.7B样条曲线254.4参数多项式曲线为什么采用参数多项式曲线表示最简单理论和应用最成熟定义--n次多项式曲线zzzzyyyyxxxxatatatatztatatatatyatatatatx012233012233012233)(]1,0[)()(264.4参数多项式曲线矢量表示形式加权和形式缺点没有明显的几何意义与曲线的关系不明确，导致曲线的形状控制困难]1,0[1)()()()(321032103210tTCttaaaaaaaaaaaatztytxtPnzzzzyyyyxxxx记为]1,0[)(332210tatatataTCtPiaia274.4参数多项式曲线矩阵表示矩阵分解几何矩阵控制顶点基矩阵M确定了一组基函数MGC]1,0[)(tTMGTCtPnGGGG10iGTM284.4参数多项式曲线例子—直线段的矩阵表示]1,0[11011)()1()(10010010ttPPPtPPtPtPPtPP0P1P0+P1几何矩阵G基矩阵MT29第4章自由曲线曲面4.1概述4.2参数曲线基础4.3曲线曲面拟合方法4.4参数多项式曲线4.5三次Hermite曲线4.6Bezier曲线4.7B样条曲线304.5三次Hermite曲线定义给定4个矢量，称满足条件的三次多项式曲线P(t)为Hermite曲线',',,1010PPPP1010)1(,)0()1(,)0(PPPPPPPPP0P1P0'P1'314.5三次Hermite曲线矩阵表示条件'3210|)1(''0010|)0('1111|)1(0001|)0(11001100PMGTMGPPMGTMGPPMGTMGPPMGTMGPHHtHHHHtHHHHtHHHHtHH324.5三次Hermite曲线合并解HHHGPPPPMG取为''30102010111000111010110012102300230130102010111000111HM334.5三次Hermite曲线基矩阵与基函数（调和函数）)()()()(223231111001210230023013210323232332tHtHtHtHttttttttttttTMH]1,0[)('13'021100tPHPHPHPHTMGtP132)(230tttH23132)(tttHttttH2322)(233)(tttH曲线可将简化为：称为调和函数34]1,0[''00010100123311221)(101023tPPPPttttP4.5三次Hermite曲线其矩阵表示形式为：354.5三次Hermite曲线形状控制改变端点位置矢量调节切矢量的方向调节切矢量的长度','10PP10,PP','10PP364.5三次Hermite曲线优点：简单，易于理解缺点：难于给出两个端点处的切线矢量作为初始条件不方便所有参数插值曲线的缺点：只限于作一条点点通过给定数据点的曲线只适用于插值场合，如外形的数学放样不适合于外形设计