一阶线性微分方程组

第4章一阶线性微分方程组一内容提要1．基本概念一阶微分方程组：形如),,,,(),,,,(),,,,(2121222111nnnnnyyyxfdxdyyyyxfdxdyyyyxfdxdy（3.1）的方程组，（其中nyyy,,,21是关于x的未知函数）叫做一阶微分方程组。若存在一组函数)(,),(),(21xyxyxyn使得在[a,b]上有恒等式),,2,1))((,),(),(,()(21nixyxyxyxfdxxdynii成立，则)(,),(),(21xyxyxyn称为一阶微分方程组(3.1)的一个解含有n任意常数nCCC,,,21的解),,,,(),,,,(),,,,(21321222111nnnnCCCxyCCCxyCCCxy称为(3.1)通解。如果通解满方程组0),,,,,,,,(0),,,,,,,,(0),,,,,,,,(21212121221211nnnnnnnCCCyyyxCCCyyyxCCCyyyx则称这个方程组为（3.1）的通积分。满足初始条件,)(,,)(,)(0020021001nnyxyyxyyxy的解，叫做初值问题的解。令n维向量函数Y)(x=)()()(21xyxyxyn，F（x，Y）=),,,,(),,,,(),,,,(21212211nnnnyyyxfyyyxfyyyxfdxdydxdydxdydxxdYn)(21，xxxxnxxxxdxxfdxxfdxxfxF0000)()()()(21则（3.1）可记成向量形式),,(YxFdxdY(3.2)初始条件可记为Y(0x)=0Y,其中noyyyY20100则初值问题为:00)(),(YxYYxFdxdY(3.3)一阶线性微分方程组:形如)()()()()()()()()()()()(21211222221212112121111xfxayxayxadxdyxfxayxayxadxdyxfxayxayxadxdynnnnnnnn(3.4)的一阶微分方程组,叫做一阶线性微分方程组.令A(x)=)(a)(a)(a)(nnn11n11xxxxa及F()x=)()()(21xfxfxfn则(3.4)的向量形式:)()(xFYxAdxdY(3.5)F(0)x时YxAdxdY)((3.6)称为一阶线性齐次方程组,(3.5)式称为一阶线性非齐次方程组。在（3．5）式A(，的每一个元素都为常数)x即A(nnn2n12n22211n1211aaaaaaaa)aAx)(xFAYdxdY(3.7)叫做常系数线性非齐次微分方程组.AYdxdY(3.8)叫做常系数线性齐次微分方程组.2．一阶线性微分方程组的通解结构.定理1（一阶线性微分方程组解存在唯一性定理）：如果线性微分方程组)()(xFYxAdxdY中的A)(x及F)(x在区间I=ba,上连续，则对于ba,上任一点0x以及任意给定的Y0，方程组)()(xFYxAdxdY的满足初始条件的解在ba,上存在且唯一。1)向量函数线性相关性及其判别法则定义：设)(),(),(21xYxYxYm是m个定义在区间I上的n维向量函数。如果存在m个不全为零的常数,,,,21mCCC使得0)()()(2211xYCxYCxYCmm恒成立，则称这m个向量函数在区间I上线性相关；否则它们在区间I上线性无关。判别法则：①定义法②朗斯基（Wronski）行列式判别法：对于列向量组成的行列式)()()()()(1111xyxyxyxyxWnnnn通常把它称为n个n维向量函数组)(),(),(21xYxYxYn的朗斯基（Wronski）行列式。定理1如果n个n维向量函数组)(),(),(21xYxYxYn在区间I线性相关，则们的朗斯基（Wronski）行列式)(xW在I上恒等于零。逆定理未必成立。如：0)(Y02)(221xxxxY朗斯基行列式)(xW在I上恒等于零，但它们却是线性无关。定理2如果n个n维向量函数组)(),(),(21xYxYxYn的朗斯基（Wronski）行列式)(xW在区间I上某一点0x处不等于零，即,0)(0xW则向量函数组)(),(),(21xYxYxYn在区间I线性无关。逆定理未必成立。同前例。但如果)(),(),(21xYxYxYn是一阶线性齐次微分方程组YxAdxdY)(的解，则上述两定理及其逆定理均成立。即定理3一阶线性齐次微分方程组YxAdxdY)(的解)(),(),(21xYxYxYn是线性无关的充要条件是它们的朗斯基（Wronski）行列式)(xW在区间I上任一点0x处不等于零；解)(),(),(21xYxYxYn是线性相关的充要条件是它们的朗斯基（Wronski）行列式)(xW在区间I上任一点0x处恒等于零2).基本解组及其有关结论定义：一阶线性齐次微分方程组YxAdxdY)(的n个线性无关解称为它的基本解组判别：一阶线性齐次微分方程组YxAdxdY)(的解)(),(),(21xYxYxYn是一个基本解组的充要条件是它们的朗斯基（Wronski）行列式)(xW在区间I上任一点0x处不等于零。结论：①一阶线性齐次微分方程组YxAdxdY)(必存在基本解组。②基本解组有无穷多个。3）一阶线性齐次微分方程组YxAdxdY)(通解的结构定理：如果)(),(),(21xYxYxYn是线性齐次微分方程组YxAdxdY)(的基本解组，则其线性组合Y)(x)()()(2211xYCxYCxYCnn是线性齐次微分方程组YxAdxdY)(的通解。结论：线性齐次微分方程组YxAdxdY)(的解的全体构成一n维线性空间。4）解与系数的关系，即刘维尔公式定理：如果)(),(),(21xYxYxYn是线性齐次微分方程组YxAdxdY)(的解，则这n个解的朗斯基行列式与线性齐次微分方程组YxAdxdY)(的系数的关系是：xxnndttatataexWxW02211)()()(0)()(此式称为刘维尔（Liouville）公式.由此公式可以看出n个解的朗斯基行列式)(xW或者恒为零，或者恒不为零nkkkxa1)(称为矩阵A)(x的迹。记作)(xtrA。一阶线性非齐次方程组的通解结构定理（通解结构定理）：线性非齐次方程组)()(xFYxAdxdY的通解等于对应的齐次微分方程组YxAdxdY)(的通解与)()(xFYxAdxdY的一个特解之和。即)(xFAYdxdY的通解为Y)(x)()()(2211xYCxYCxYCnn)(~xY其中)()()(2211xYCxYCxYCnn为对应的齐次微分方程组YxAdxdY)(的通解，)(~xY是)()(xFYxAdxdY的一个特解。求通解的方法——拉格朗日常数变易法：对应的齐次微分方程组YxAdxdY)(的一个基本解组)(),(),(21xYxYxYn构成基本解矩阵)(y)(y)((x))(nnn1111xxxyyxn齐次微分方程组YxAdxdY)(的通解为CXxY)()(其中n21CCCC线性非齐次方程组)(xFAYdxdY的通解为xxdttFtxCxxY0)()()()()(1。结论：线性非齐次方程组)()(xFYxAdxdY解的全体并不构成n+1维线性空间。3．常系数线性微分方程组的解法常系数线性齐次微分方程组的解法：若当标准型方法（基本解组的求解方法）①求特征根：即特征方程式det(A-0)21222211n1211nnnnnaaaaaaaaaE的解。②根据特征根的情况分别求解：特征根都是单根时，求出每一个根所对应的特征向量，即可求出基本解组；单复根时，要把复值解实值化；有重根时，用待定系数法求出相应的解。（详略）常系数线性非齐次微分方程组的解法：①求相应的齐次微分方程组的基本解组；②用待定系数法求特解。（详略）二．典型例题及解题方法简介（1）化一阶线性微分方程组:有些高阶线性微分方程或高阶线性微分方程组，可以通过合理的函数代换，化为一阶线性微分方程组。例1化如下微分方程为一阶线性微分方程组：0)()(2yxqdxdyxpdxyd解：令21dxdy,yyy则0)()(dxdy,d,122221221yxqyxpdxdydxyydxdy∴原微分方程化为等价的一阶线性微分方程组：12221)()(yxqyxpdxdyydxdy例2化如下微分方程组为一阶线性微分方程组：020322xdtdytydtxd解：令,,dtdx,321xyxxx则有dtdxxdtdx321dtdy,∴原微分方程组化为等价的一阶线性微分方程组：31332212txdtdxxdtdxxdtdx（一）一般线性微分方程组的求解问题对于一般线性齐次微分方程组YxAdxdY)(，如何求出基本解组，至今尚无一般方法。一些简单的线性微分方程组可以化为前面两章学过的微分方程来求解。消元法（化方程组为单个方程的方法）例3求解方程组ytxdtdytytxdtdxt2解：有前一个方程解出y并求导，有dtdxtxy2221dtxddtdxttxdtdy代入后一方程化简得0222dtxdt假定,0t则有022dtxd，积分得tCCCttCCdtdxtxytCCx12221212原方程组的通解为)0(2,2121tCtCytCCx常系数线性微分方程组在教材中介绍了若当标准型方法，其实两个方程构成的简单常系数线性微分方程组我们还可以用消元法求解。例4解方程组11xdtdyydtdx解：由前一方程得xyxy1代入后一方程，得常系数二阶线性方程01xx其通解为121tteCeCx从而1121tteCeCxy所以通解为112121tttteCeCyeCeCx例5解方程组2y(0),6)0(383xyxyyxx解：由第二式得yyx3yyx3代入第一式得0yy从而可求得tteCeCy21代入yyx3得tteCeCx2124将0t代入上述两式得21212246CCCC解得121CC所以原方程组的解为tttteeyeex24（三）常系数线性齐次微分方程组AYdxdY的通解问题虽然一般线性齐次微分方程组YxAdxdY)(，如何求出基本解组，至今尚无一般方法，但是常系数线性齐次微分方程组AYdxdY通过若当标准型方法，从理论上已经完全解决，根据特征根情形分别采取不同的求解方法，教材上都一一作了详细的讲解，在此不再多讲。在此我们介绍一种通用的方法——待定系数法步骤：①解特征方程式det(A-0)21222211n1211nnnnnaaaaaaaaaE，得特征根；②根据根的重数，求出对应于每一个根的解式设λ是线性齐次微分方程组AYdxdY是k重根（单根为k=1），则线性齐次微分方