44课题：圆的定义及方程

2015-2016溆浦一中高三数学（文）一轮复习导学案主备人：邹伟备课日期：2015/11/22课题：圆的定义及方程一、考点梳理：1．圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)圆心：(a，b)，半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)圆心：－D2，－E2，半径：12D2＋E2－4F2．点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2r2.3.方法技巧（1）．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法：是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数a，b，r或D、E、F．（2）．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线（直径）上．(2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．二、基础自测：1.判断(1)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.()(2)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF0.()(3)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．()(4)圆x2＋2x＋y2＋y＝0的圆心是1，12.()2.x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是()A．(2,3)B．(－2,3)C．(－2，－3)D．(2，－3)3.方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是()A.14＜m＜1B．m＜14或m＞1C．m＜14D．m＞14．圆心在y轴上且通过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是()A．x2＋y2＋10y＝0B．x2＋y2－10y＝0C．x2＋y2＋10x＝0D．x2＋y2－10x＝05．已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为______________．三、考点突破：2015-2016溆浦一中高三数学（文）一轮复习导学案主备人：邹伟备课日期：2015/11/22考点一、圆的方程【例1】据下列条件，求圆的方程．(1)经过P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6；(2)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)．(3)以直线3x－4y＋12＝0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆.[类题通法](1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值．考点二、与圆有关的最值问题【例2】1．已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：(1)yx的最大值和最小值；(2)y－x的最小值；(3)x2＋y2的最大值和最小值．变式训练1已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A．52－4B.17－1C．6－22D.172015-2016溆浦一中高三数学（文）一轮复习导学案主备人：邹伟备课日期：2015/11/22[类题通法]数形结合法求解与圆有关的最值问题(1)与圆相关的最值，若几何意义明显时，可充分利用几何性质，借助几何直观求解．否则可转化为函数求最值．(2)①形如u＝y－bx－a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．考点三、与圆有关的轨迹问题【例3】已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．求M的轨迹方程；[类题通法]求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下做法：(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．变式训练2设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹四、课堂检测：1．若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则a的取值范围是()A．－1＜a＜1B．0＜a＜1C．－1＜a＜15D．－15＜a＜12.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是()A．(x－2)2＋()y－12＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1D.()x－32＋(y－1)2＝13．圆(x＋2)2＋y2＝5关于直线y＝x对称的圆的方程为()A．(x－2)2＋y2＝5B．x2＋(y－2)2＝5C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5D．x2＋(y＋2)2＝54.已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是________．5.已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝410.(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程．2015-2016溆浦一中高三数学（文）一轮复习导学案主备人：邹伟备课日期：2015/11/22五、课后巩固：1.“a＝1”是“方程x2＋y2－2x＋2y＋a＝0表示圆”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2点P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25内弦AB的中点，则AB的方程为()A．x＋y－1＝0B．2x＋y－3＝0C．x－y－3＝0D．2x－y－5＝03.已知圆(x＋1)2＋(y－1)2＝1上一点P到直线3x－4y－3＝0距离为d，则d的最小值为()A．1B.45C.25D．24.点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝15.已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B为切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为()A．4B．3C．2D.26.已知圆C的半径为1，圆心在第一象限，与y轴相切，与x轴相交于点A、B，且AB＝3，则该圆的标准方程是________．7.已知圆C的圆心与点M(1，－1)关于直线x－y＋1＝0对称，并且圆C与x－y＋1＝0相切，则圆C的方程为____．8若直线ax＋2by－2＝0(a0，b0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则1a＋2b的最小值为9.（1）在直角坐标系xOy中，O为坐标原点，以O为圆心的圆与直线x－3y＝4相切，圆O的方程；（2）已知圆C和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9,6)，求圆C的方程．课题：圆的定义及方程2015-2016溆浦一中高三数学（文）一轮复习导学案主备人：邹伟备课日期：2015/11/22一、考点梳理：1．圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)圆心：(a，b)，半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)圆心：－D2，－E2，半径：12D2＋E2－4F2．点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2r2.1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法：是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数．2．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．二、基础自测：1.方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是()A.14＜m＜1B．m＜14或m＞1C．m＜14D．m＞1解析：选B由(4m)2＋4－4×5m＞0知m＜14或m＞1.2．圆心在y轴上且通过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是()A．x2＋y2＋10y＝0B．x2＋y2－10y＝0C．x2＋y2＋10x＝0D．x2＋y2－10x＝0解析：选B设圆心为(0，b)，半径为r，则r＝|b|，∴圆的方程为x2＋(y－b)2＝b2.∵点(3,1)在圆上，∴9＋(1－b)2＝b2，解得：b＝5.∴圆的方程为x2＋y2－10y＝0.3．以直线3x－4y＋12＝0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为______________．解析：法一直线3x－4y＋12＝0与两坐标轴的交点分别为A(－4,0)，B(0,3)，所以线段AB的中点为C－2，32，|AB|＝5.故所求圆的方程为(x＋2)2＋y－322＝522.法二易得圆的直径的两端点为A(－4,0)，B(0,3)，设P(x，y)为圆上任一点，则PA⊥PB.∴kPA·kPB＝－1得yx＋4·y－3x＝－1(x≠－4，x≠0)，即x(x＋4)＋y(y－3)＝0.化简得(x＋2)2＋y－322＝522.答案：(x＋2)2＋y－322＝2542015-2016溆浦一中高三数学（文）一轮复习导学案主备人：邹伟备课日期：2015/11/22三、考点突破：考点一、圆的方程【例1】1．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝1解：选A设圆心坐标为(0，b)，则由题意知0－12＋b－22＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.2．经过点(1,0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为()A．(x－1)2＋y2＝1B．(x－1)2＋(y－1)2＝1C．x2＋(y－1)2＝1D．(x－1)2＋(y－1)2＝2解：选B由x＝1，x＋y＝2得x＝1，y＝1，即所求圆的圆心坐标为(1,1)，又由该圆过点(1,0)，得其半径为1，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.[类题通法]1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a，b，r或D，E，F的方程组．2．利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．考点二、与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想.归纳起来常见的命题角度有：1斜率型最值问题；2截距型最值问题；3距离型最值问题；4利用对称性求最值等.【例2】角度一斜率型最值问题1．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求yx的最大值和最小值．解：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．yx的几何意义是圆上一