《水文统计学》(2012.9)

《水文统计学》河海大学黄振平2012.9绪论一、两种自然现象1.必然现象(确定性现象)在一定条件下,某种结果必然会发生的现象。2.偶然现象(随机现象)在一定条件下,有多种可能发生的结果,但究竟哪个结果发生,事先不能确定的现象。二、统计规律性对随机现象在相同条件下进行大量试验所显示出来的规律性。第1章事件与概率§1－1事件及其运算试验:对某种自然或社会现象进行的观测、调查或实验。一、随机试验①试验可以在相同条件下重复进行;②试验的所有可能结果预先是明确知道的;③每次试验出现一个结果,哪个结果出现,在试验之前是无法预先知道的。随机事件:随机试验中可能发生也可能不发生的事情称为随机事件。简称事件。两类特殊事件:必然事件:每次试验中,必然会发生的事情。不可能事件:每次试验中,一定不会发生的事情。注意:一般用大写英文字母A,B,C,…表示随机事件;Ω表示必然事件;φ表示不可能事件。随机事件、必然事件以及不可能事件都是相对于一定条件而言的。二、基本事件、复合事件、基本空间基本事件:随机试验中,每一个可能出现的结果(样本点)称为基本事件。基本事件特点:①任何两个基本事件不可能同时发生;②每次试验总有一个基本事件发生。复合事件:由若干个基本事件组成的事件称为复合事件。基本空间:基本事件的全体称为基本空间。AΩ三、事件之间的关系1.包含关系若事件A所包含的基本事件都属于B,则称事件B包含A。记为或。事件A发生必然导致事件B发生。例:设A表示“南京市一年中降水日超过100天”,B表示“南京市一年中降水日超过80天”,则B包含A,因为若一年降水日数超过100天,则必然超过80天。若且,则称事件A与事件B等价(或相等)。记作A=B。ΩBABAABBAAB2.互斥事件若事件A与B不含有相同的基本事件,则称事件A与事件B互不相容,或称A与B互斥。事件A与B不可能同时发生。例:设A表示“南京市一年中降水日超过80天”,B表示“南京市一年中降水日少于70天”,则事件A与B不可能同时发生,所以A与B互斥。若事件A与B能同时发生,则称A与B为相容事件。ABΩ3.对立事件由基本空间中所有不属于事件A的基本事件组成的事件,称为A的对立事件,记为。为A的对立事件。A亦为的对立事件。A与不能同时发生,但每次试验必有一个发生。例:设A表示“南京市一年中降水日大于等于80天”,B表示“南京市一年中降水日少于80天”,那么A与B互为对立事件。AAΩAAAA四、事件的运算1.事件之和(并)事件C包含而且只包含A、B所有的基本事件。记作:C=A+B或C=A∪B。C为事件A与B至少有一个发生的事件。例:高射炮向敌机连发2弹,以C表示事件“击中敌机”,A表示事件“第一弹命中”,B表示事件“第二弹命中”,则事件C为A与B的和。推广:事件之中,至少有一个发生的事件称为的和(并)事件,记为,而表示可列无无穷多个事件之中至少有一个发生的事件。ABΩC12,,,nAAA12,,,nAAA1niiA1iiA12,,AA2.事件之积(交)事件C包含而且只包含A、B共同的基本事件。C=AB或C=A∩BC为事件A与B同时发生的事件。例:从编号为1至15的15张考签中任抽一张,令A为事件“抽到偶数号考签”,B为事件“抽到的考签号数是3的倍数”,则C=A∩B就是“抽到的考签号数既是偶数又是3的倍数”这一事件,即C为“抽到6号或12号考签”。推广:事件同时发生的事件称为的积(交)事件,记为,而表示同时发生的事件。BAΩC12,,,nAAA1niiA1iiA12,,AA12,,,nAAA3.事件之差事件C包含而且只包含属于A但不属于B的基本事件。C=A-BC为事件A发生而B不发生的事件。实际上:例:掷一颗骰子,观察它出现的点数。设A表示事件“出现偶数点”,B表示事件“出现2点”,则事件A-B是一个事件C,它表示“出现4点或6点”。CABABΩC4.事件运算法则①交换律②结合律③分配律④德·摩根定律推广:例:设A,B,C是三个随机事件,试用A,B,C表示下列各事件:①只有A发生;②A和B都发生而C不发生;③A,B,C都发生;④A发生B不发生;⑤A,B,C至少有一个发生;⑥三个事件都不发生;⑦至少有两个事件发生。ABBAABBA()()ABCABC()()ABCABC()ABCACBC()()ABCACBCABABABAB11nniiiiAA11nniiiiAA11iiiiAA11iiiiAAABBAABBA()()ABCABCABBAABBA()ABCACBCABBAABBA()()ABCABC()ABCACBCABBAABBA()()ABCABC()()ABCABC()ABCACBCABBAABBA§1－2概率的定义与性质一、概率的定义1.概率的古典定义古典概型:①只有有限个可能结果(基本事件);②各个结果发生的可能性均相同。n:基本事件总数;m:A所包含的基本事件数。例:设有分别标有0,1,2,…,9十个数字的十张卡片,从中连续随机抽取5次,每次抽1张,抽后即放回,问抽到5个不同数字卡片的概率是多少?例:袋中装有n个白球和m个黑球,从中任取a+b个球,求所取的球恰含a个白球和b个黑球的概率。(a≤n,b≤m)()mPAn2.概率的几何定义例:(会面问题)设两人相约于某日下午1点到2点之间在某地会面,先到者等候另一人半小时,过时就离去。如果每人可在所指定的一小时内的任一时刻到达,并且两人到达的时刻是是彼此无关的,试求两人能会面的概率。解:以x,y分别表示两人各自到达约会地点的时刻，按题意有1≤x≤2，1≤y≤2，会面的充要条件为样本空间Ω的面积为1，区域g的面积为从而两人能会面的概率为12xy231124334()14PA例:(蒲丰投针问题)1977年法国科学家蒲丰提出下述著名问题。平面上画着一些平行线,它们之间的距离都是a,向此平面任意投一长为l()的针,求此针与任一平行线相交的概率。解:如图所示，设M为针的中点，X表示M点到最近平行线的距离，θ表示针与平行线的交角，则针的位置完全由(X,θ)决定。随机事件A“针与任意平行线相交”的条件为la0sin22()12ldlPAaasin2lX3.概率的统计定义历史上一些著名的掷硬币试验当试验次数n充分大时,事件A发生的频率稳定于某个常数,称此常数为事件A发生的概率。试验者蒲丰皮尔逊试验次数n155050040401200024000正面朝上次数m03282452048601912016频率00.60.560.490.50690.50160.5006()mPAn4.概率的公理化定义设试验E的基本空间为Ω,给Ω中任一事件A赋予一个实数P(A),若它满足条件:①对任何事件A,有(非负性)②(规范性)③若Ai()为Ω中的两两互斥事件,则有(完全可加性)则称P(A)为事件A的概率。0()1PA()1P1,2,i11()()iiiiPAPA二、概率的性质①②若为两两互斥事件,则③对任一随机事件A,有④对任意两个随机事件A,B,若,则且⑤对任意两个随机事件A,B,有推论:推广:对任意n个事件,下式成立:()1()PAPA0()1,()1,()0PAPP12,,,nAAA1212()()()()nnPAAAPAPAPAAB()()()PABPAPB()()PAPB()()()()PABPAPBPAB()()()PABPAPB12,,,nAAA1111112()()()()+(1)()nnnniiijijkiijnijkninnPAPAPAAPAAAPAAA例:已知,在下列三种情况下,分别求出的值。①A与B互不相容;②;③解:①因为,所以故②因为,所以③因为所以11(),()23PAPB()PBABA1()4PABAB,,BABAB1()()3PBAPBBA,()0BAPBA,,BABABABABB且111()()()3412PBAPBPAB例:设有20个零件,其中16个是正品,4个是次品。从中任取3个,求至少有1个是正品的概率。解法一:以A表示事件至少有1个正品,分别表示恰有1个、2个、3个正品,于是两两互不相容,且由加法定理,所求的概率为解法二:表示事件“任取3个零件全是次品”。123,,AAA123,,AAA123AAAA1231221316416416333202020()()()()0.996PAPAPAPACCCCCCCCA34320()1()10.996CPAPAC§1－3条件概率与事件的独立性一、条件概率与概率乘法定理同理可得这里由条件概率可直接得到下述概率乘法定理:或推广:设有n个随机事件,则()()()ABABBBmmPABnPABmmPBn()()()PABPBAPA()0PA()()()PABPBPAB()()()PABPAPBA12,,,nAAA12121312121((()()()))nnnPAAAPAPAAPAAAPAAAA例:袋子中有4个白球和2个红球,现连取两个球,取后不放回,如果已知第一次取到白球,问第二次取到白球的概率是多少?解:以A表示事件“第一次取到白球”，B表示事件“第二次取到白球”，则AB表示事件“两个球都是白球”。则第一次取到白球的概率为从而实际上，已知第一次取到了白球，此时袋中有5个球，其中3个白球，所以第二次取到白球的概率是3/5。2426()25PABCC()4263PA2()35()2()53PABPBAPA例:某地区D位于甲乙两河会合处,假设其中任一河流泛滥都导致该地区淹没,如果每年甲河泛滥的概率为0.2,乙河泛滥的概率为0.4,当甲河泛滥而导致乙河泛滥的概率为0.3,求:①任一年甲乙两河都泛滥的概率;②该地区被淹没的概率;③由乙河泛滥导致甲河泛滥的概率。解:令A表示“甲河泛滥”,B表示“乙河泛滥”，C表示“地区D被淹没”，则①②③例:袋子中有4个白球和2个红球,现连取3个球,取后不放回,求第三次才取到红球的概率。解:令Ai(i=1,2,3)表示“第i次取得红球”，则所求事件为()()()0.20.30.06PABPAPBA()()()()()0.20.40.060.54PCPABPAPBPAB()0.06()0.15()0.4PABPABPB123,AAA123121312((()()4321))6545PAAAPAPAAPAAA二、事件的独立性若称事件A对B是独立的。如果A对B独立,则又由①②可知即B对A也独立。所以通常称事件A与B相互独立。定义:设A、B为两个事件,若称事件A与B相互独立。若事件A与B相互独立,则也是相互独立的。证明:()()PABPA()()()()()PABPBPABPBPA①()()()PABPAPBA②()()PBAPB()()()PABPAPB,,()()()()()()()()[1()]()()ABAABAABPABPAABPAPABPAPAPBPAPBPAPBAB且所以所以与相互独立。因,ABABAB与，与与例:设甲、乙两射击手击中目标的概率分别是0.7和0.8,现各射击一次,求:①同时击中目标的概率。②至少有一人击中目标的概率。③恰有一人击中目标的概率。解:设A表示“甲击中目标”,B表示“乙击中目标”。①②③()()()()0.70.80.560.94PABPAPBPAB()()()0.70.80.56PABPAPB()()()()()()()0.70.20.30.80.38PABABPABPABPA