主析取范式的求法

第一章命题逻辑第七讲定义对于给定的命题公式，如果有一个等价公式仅由小项的析取所组成，则该等价式称为原式的主析取范式。内容回顾小项定义n个命题变元的合取式，称为布尔合取或小项，其中每个变元与它的否定不能同时存在，但两者必须出现且仅出现一次。每个小项可用n位二进制编码表示。以变元自身出现的用1表示，以其否定出现的用0表示：小项的性质如下：（1）每一个小项当其真值指派与编码相同时，其真值为1，其余的2n－1种均为0;（2）任意两个不同小项的合取式永假：（3）全体小项的析取式永为真，记为：.,,,,,,,111011110010101100001000rqpmrqpmrqpmrqpmrqpmrqpmrqpmrqpm)(0jimmji11-2101-20nniimmmm主析取范式的求法•真值表法•等值演算法趣味推理题•A、B、C三人去餐馆吃饭，他们每人要的不是火腿就是猪排。（1）如果A要的是火腿，那么B要的就是猪排。（2）A或C要的是火腿，但是不会两人都要火腿。（3）B和C不会两人都要猪排。谁昨天要的是火腿，今天要的是猪排？只有B才能昨天要火腿，今天要猪排。1．5．4主合取范式定义1-n个命题变元的析取式，称为布尔析取或极大项，其中每个变元与它的否定不能同时存在，但两者必须出现且仅出现一次。例如，2个命题变元p和Q的大项为：3个命题变元p、Q、R的大项为：n个命题变元共有2n个大项，每个大项可表示为n位二进制编码，以变元自身出现的用0表示，以变元的否定出现的用1表示；且对应十进制编码。这一点与小项的表示刚好相反。若n=2，则有qpqpqpqp，，，rqprqprqprqprqprqprqprqp，，，，，，，311210201000MqpMMqpMMqpMMqpM若n=3，则有:大项的性质如下：(1)每一个大项当其真值指派与编码相同时，其真值为0，其余的2n－1种赋值均为1;(2)任意两个不同大项的析取式永真：(3)全体大项的合取式必为假，记为：71113011611020105101110040010000MrqpMMrqpMMrqpMMrqpMMrqpMMrqpMMrqpMMrqpM)(jiMMji10210201-1-nniiMMMM定义1-对于给定的命题公式，如果有一个等价公式仅由极大项的合取所组成，则该等价式称为原式的主合取范式。定理1-（主合取范式存在惟一定理）任何命题公式的主合取范式一定存在，并且惟一。由真值表方法可知：一个公式的真值为0的真值指派所对应的大项的合取，即为此公式的主合取范式。例1-用真值表方法求的主合取范式解:公式的真值表如下rqp)(PQRP→Q¬R(p→Q)→¬R000001010011100101110111111100111010101010101110所以公式的主合取范式为:用等值演算方法构成主合取范式的主要步骤如下：（1）将原命题公式化归为合取范式；（2）除去合取范式中所有永真的合取项；（3）合并相同的析取项和相同的变元；（4）对合取项补入没有出现的命题变元，即添加如(p∧┐p)的式子，再按分配律进行演算；（5）将大项按下标由小到大的顺序排列。rqp)(111011001)(MMMrqp)()()(rqprqprqp例1-用等值演算方法求的主合取范式。解：rqp)(rqp)(rqp)(rqp)(rqp)()()(rqrp)()()()(rqprqprqprqp))(())((rqpprqqp)()()(rqprqprqp111011001MMM【说明】(1)主析取范式的析取项为小项，用小m加下标表示。如m010，其中0表示对应的命题变元的否定出现在析取项中,1表示对应的命题变元出现在析取项中。(2)主合取范式的合取项为大项,用大M加下标表示,如M010,其中0表示对应的命题变元出现在合取项中,1表示对应命题变元的否定出现在合取项中。(3)在真值表中,一个公式的主析取范式由其真值为1的真值指派所在对应的小项的析取组成。(4)在真值表中,一个公式的主合取范式由其真值为0的真值指派所对应的大项的合取所组成。极小项与极大项由p,q两个命题变项形成的极小项与极大项公式成真赋值名称公式成假赋值名称pqpqpqpq00011011m0m1m2m3pqpqpqpq00011011M0M1M2M3极小项极大项由p,q,r三个命题变项形成的极小项与极大项极小项极大项公式成真赋值名称公式成假赋值名称pqrpqrpqrpqrpqrpqrpqrpqr000001010011100101110111m0m1m2m3m4m5m6m7pqrpqrpqrpqrpqrpqrpqrpqr000001010011100101110111M0M1M2M3M4M5M6M7.D..C..B..A.002,2的主合取范式为则大项，的主合取范式中不含极若的主析取范式为则小项，的主析取范式中不含极若是矛盾式则个极大项，的主合取范式中含若是重言式则个极小项的主析取范式中含若，下列结论错误的是：是含个命题变元的公式设AAAAAAAAAnn1.6蕴含公式如果双条件命题A↔B为重言式，则A⇔B。而条件命题A→B是不对称的，如果A→B为真，B不一定能推出A。那么A和B究竟存在什么关系呢？1．6．1蕴含公式定义1-26设A，B是命题公式,若A→B是重言式,则称A→B是蕴含重言式，记为A⇒B，读作“A永真蕴含B”。简称A蕴含B即A⇒BiffA→B⇔1注意:→与⇒是意义不同的符号。证明：QQPP))((QQPP))((QQPPP))()((QQP)(QQP)(QQP11P所以P∧(p→Q)⇒Q下面介绍几种证明A永真蕴含B的方法。方法一：用真值表法或等价变换(推导)法证明A→B⇔1。例1-24证明。QQPP)(PQP→QP∧(P→Q)(P∧(P→Q))→Q000110111101000111111))((QQPP由真值表可知：))((QPP故Q方法二：通过分析的方法来证明一个条件命题是蕴含式。由于原命题等于其逆反命题，即A→B⇔┐B→┐A，所以用分析法证明A⇒B，有如下两种方法:(1)假设前件A为真时,推出后件B也为真,则A⇒B;(2)假设后件B为假时,推出前件A也为假,则A⇒B。例1-25证法1：PQPQ)(证明：，则为假设前件1)(QPQ，为又因为1QP，蕴含式成立。为故1P。为，则为假设后件1P0P，为，则为若00Q)1(QP；为所以0)(QPQ，为，则为若01)2(QQ。也为所以0)(QPQ成立。故PQPQ)(,0为即Q。必为所以0P,)(１QP１，Q也为为证法2：RQPRQP)()(则符号化为：，为设前件1)()(QPRQP，为则1QP，为1PR。也为1Q。为，故为又0P1QP。为，所以也为而01RPR，推导有效。为故1R例1-26如果我认真学习，我的“离散数学”不会不及格，如果我不热衷于玩电子游戏，我将认真学习，但我的“离散数学”不及格。结论：我热衷于玩电子游戏。证明：设P：我认真学习。Q：我的“离散数学”及格。R：我热衷于玩电子游戏。。为所以0Q常见的蕴含重言式析取三段论假言推论拒取式假言三段论二难推论化简式一附加式化简式二例1-27分析证明。证明：假设后件为0，则P为1，R为0。(a)若Q为1，则为0，所以为0；(b)若Q为0，则为0，所以为0。故此：成立。RPRQQP)()(RP)()(RQQP)()(RQQPRQQP)()()(RPRQQP1．6．2蕴含公式的性质（1）设A、B是命题公式，若A⇒B且A为重言式，则B必是重言式。证明:因为A⇒B，所以A→B为1，又因为A为1，所以B为1，即B为重言式。（2）蕴含关系是传递的，即A⇒B且B⇒C，则A⇒C。1.8推理理论逻辑学的主要任务是提出一套推理规则，按照公认的推理规则从前提集合中推导出一个结论来，这个推理过程称为演绎或形式证明。在一般的论证中，主要是根据实践经验。如果确认前提为真，并遵守恰当的推理规则，则可期望所得的结论也是真的。倘若认定前提是真的，从前提推导出结论的论证是遵守逻辑推理规则，且公认此结论是真实的，则这个论证称为合法论证。一般论证中必须特别注意论证的合法性。所谓合法是指前提和结论都符合客观实际情况，大家公认是真实的。即合情、合理、合法，令人信服。在数理逻辑中情况稍有不同，它把注意力集中在推理规则的研究上，如果依据这些推理规则，从前提推导出来的任何结论都称为有效结论，这种论证称为有效论证。在确认论证有效性时，前提与结论的真实性不起任何作用，也就是说，在数理逻辑中，只关心论证的有效性，而不大关心论证的合法性。前提：如果马会飞或羊吃草，则母鸡就会是飞鸟；如果母鸡是飞鸟，那么烤熟的鸭子还会跑；烤熟的鸭子不会跑。结论：羊不吃草。蕴含式的定义是：给定两个命题公式A和B，当且仅当A→B是一个重言式，则称A蕴含B，记为A⇒B，又称B是A的有效结论或B由A逻辑推出。这个定义可以推广到有n个前提的情况。定义1-27设是命题公式，当且仅当则称C是前提集合的有效结论。判别有效结论的过程就是论证的过程，论证方法千变万化，但基本方法是真值表法、直接证法和间接证法。CHHHHn,,....,,321CHHHHn...321nHHHH,...,,321（一）真值表法设是出现的前提集合和C中的所有命题分量，假定对作全部的真值指派就能确定和C的真值，那么通过真值表就可以确定结论C是否是前提集合的有效论证，这个方法称为真值表法。mpppp,...,,321nHHHH,...,,321mpppp,...,,321nHHHH,...,,321利用真值表判别一个有效论证的方法：方法一：在真值表上，若前提H1,H2,H3,…Hn均为真的所有行，结论C也为真，则论证有效。方法二：在真值表上，若结论C为假的每一行，其前提H1,H2,H3,…Hn中至少有一个为假，则论证有效。例1-28如果我认真学习，我的“离散数学”不会不及格，如果我不热衷于玩电子游戏，我将认真学习，但我的“离散数学”不及格。结论：我热衷于玩电子游戏。P:我认真学习，Q:我的“离散数学”及格，R:我热衷于玩电子游戏。符号化为：其真值表如下：解：判断法一：真值表中，只有第2行的前提都为1，其结论也为1，所以论证有效。判断法二：真值表中，第1、3、5、7行为0，每行的前提至少有一个为0，所以论证有效。rq、pr、qp)()(PQR¬Rp→Q¬R→p¬QR0000010100111001011101111010101011110011010111111100110001010101否正确。例题：判断下列推理是华书店。没上街，所以我没去新我新华书店。如果我上街，我一定去最后进行判断。推理的形式结构，然后写出前提、结论和将命题符号化，解这种推理问题，应先我去新华书店。我上街，解：设::qp。，前提pqp:。结论q:qpqp)(推理的形式结构为qpqp)(推理的形式结构为pqp→q﹁p﹁q00111011101000111100推理不正确。