职中数学应用题

职中数学应用题“应用取向”教学的有效性探索广州市财经职业高级中学袁竞澜自从参加市教研室的课题“应用取向教学的研究”以来，都已观摩过了许多学校的教学工作。例如，有轻工中专的“卡西欧计算器的应用课堂”，主要以计算器在房地产专业学生的数学课堂上用以计算住宅的套内面积；有建设工程学校的“应用课堂实践”课程，以平面几何和立体几何相关知识解决建筑开料的预算问题；还有财校的“电子表格应用课堂”等，无不渗透了应用知识在数学课堂中，使学生学得知味，了解为什么要学相关的数学知识，这样就为学习指明了方向。而回顾我校的专业，由于局限于财经，与数学有关的应用问题无非最贴近的就在于银行利息的计算问题等等，在课堂上已无什么新意。就此问题我也和其他兄弟学校的老师探讨过，最后我们得出一个结论，在中职数学课堂进行应用取向教学的研究，如果只局限于专业是很狭窄的，可以设想让学生进行一些社会实践或相关的大作业来取得学分是较可行的一个途径。而就在今年的高职复习过程中，我觉得高职的应用题，覆盖范围广泛，同样可以运用数学知识解决众多领域的问题，这样一来，为什么不按这一方向分类，让我校这种以高职升学为主要指导方向的学校也发挥其“应用取向”的特色呢。按照这一设想，我先对高职总复习的应用题作一个大致的分类：第一种是简单列式型，如例1某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费为12万元；从第二年开始，每年需要维修、保养的费用比上一年增加4万元，该机床投入生产后，每年的总收入为50万元，设使用x年后该机床的盈利额为y万元。（1）写出x与y之间的函数关系式；(2)从第几年开始，该机床开始盈利？例2某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是),2400(1.02030002Nxxxxy，若每台产品的售价为25万元，求生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量…等题目，其特点是一般直接说明函数y和自变量x分别是指什么，问的问题是以一个一次不等式或者是方程来回答，职中学生对“要盈利”、“不亏本”等表达还是可以用数学语言表示出来的，所有对学生而言是相对比较容易的题型；第二种是求最大（小）值型，如例3某省两个重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专业铁路，用一列火车作为公共交通车，已知如果该列火车每次拖4节车厢，能来回16次；如果每次拖7节车厢，则能来回10次.每日来回次数y是每次拖挂车厢个数x的一次函数，每节车厢每次能载客110人.(1)写出y与x的函数关系式(2)写出这列火车可载运人数与所挂车厢个数的关系式(3)这列火车每日来回多少次，每次应挂多少节车厢才能使营运人数最多？每天最多的营运人数是多少？例4某电影院有520个座位，票价为60元时可完全售罄，后考虑提价，调查发现每涨价5元，则会少售出20张票，问当票价为几元时，电影院的盈利最大？这些题目，特点是对象物品的单价与销量总有个反向的影响，单价肯定不会越高（低）越好，盈利和单价的关系总存在一个二次函数，函数值变化过程中肯定会有一个最大或最小值，能求出此值，以及当时x变量的取值是关键，这种题目对变量x的设置是有一个技巧的，以前我们总是强调“题目问什么就设什么”，但这种题目就不行，必须找出题目中关于“每升高（或降低）多少元就减少多少量”这个条件，然后就设置升高（或降低）x个多少元，象例2就应设“涨价x个5元”，而无论例1还是例2，列式后都建议用配方法求出最值，只不过例1就已经在题目中设置了x变量，例2则要自行设置x，而最后要回答到底单价要定为多少时，必须在题目原价基础上加上升高了的那个差价才行，这是要与学生强调的；第三种是数学建模型，如…例5某人从A地到B地坐出租车，有两种方案：租用起步价为10元，1.2元/km的汽车；第二种方案：租用起步价为8元，1.4元/km的汽车，按出租车管理条件，在起步价内，不同型号行驶的里程都是2km，则此人从A地到B地选择哪一种方案比较合适？例6炮弹的运行轨道若不计空气阻力是抛物线，现测得我炮位A与目标B的水平距离为6000m，而当射程是3000m时，炮弹运行轨道的最大高度是1200m.在A、B间距A点500m处有一高达350m的障碍物，试计算炮弹能否越过障碍物。例7台风中心于今天早晨8时从A地以20km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30km内地带为危险区.城市B在A的正北40km处，试预测城市B处于危险区内才持续时间.（以点A位坐标原点，正东方向为x轴，正北方向为y轴建立直角坐标系）这些题目，特点是必须建立坐标系，确定有关曲线方程（例3）或是函数图像（例5、例6），根据题意求出相关距离或是时间加以判断，相比前两种题型，这种难度最大，在从文字语言过渡到图形的表现要求最高，学生一般很难能完全自行从题意列出有关方程或函数表达式，要求教师讲解题目是给予较大的帮助及分析，例如例5，教师必须提示每种出租车的时间与车租构成的函数是一次函数，也就是直线为图象，而这两种车租的图象由于是两条学率不同的直线，所以一定有交点，学生必须把交点找出来，才能看到在整个坐标系中，在哪些里程分段中哪种车租较合适；而例6相对简单些，只要根据题意基本确定运行轨道的抛物线函数表达式，并且计算出在x为500时，y的值与350比较就可以了；例7是难度最大的，由初读题目，学生一般都会以A点为圆心画一个半径为30km的圆，但由于台风中心是会移动的，再往下思考就显得很抽象了，所以在此教师有必要做画龙点睛的一步：就是告诉学生，只要台风的影响在B市30km以外就不是危险区了，所以应该以点B为圆心画一个半径为30km的圆，而此圆与东北方向的那条直线的相交弦长则是B市处于危险区域的台风所经路线，只要用弦长与台风的速度，就能求出这个危险区域的持续时间了。在进行应用题专题训练时，先让学生按这三类题型找出关键词进行分类，只要确定了是哪种类型，那么采取对应的处理就有门了：对于第一种题型根据题意写出函数表达式，或不等式或方程，要求计算取值范围的就算出解集，提醒学生要看是否带等号，另外很多应用题在单位计算或时间计算上都涉及整数解，所以要知道该如何取整才正确，并非一概四舍五入就正确的；对于第二种题型，以求最大值的题目为例，学生在列式之后就一定要检查，列出来的是否一个图象为开口向下的二次函数，因为只有这样才存在最大值，而这一形式的二次函数配方后最大值通常为正值，有了这些技术上的指引，学生在计算过程中就会有意识地检查和纠正自己有可能因计算能力而造成的失误，从而尽量确保能正确地写出整个解题过程，学生的通病往往是计算拉了后腿；对于第三种题目，由于其题意比第一二种大都要难理解，特点关键字没第二种题型那么显著，规律难找些，可鼓励学生先多读几遍，然后很有必要结合初三时解应用题的感觉，按等量关系列出函数表达式，进一步理清要求或比较的是什么量或那些量，再着手计算、比较。相信用这样分类、提干、计算、检查、再计算的操作步骤，能让学生尤其是一部分害怕做应用题的学生起码有了一个依靠，能有效地尝试并接近成功。