近年数学高考新颖试题赏析及启示

成都市教科院近年高考数学新颖试题赏析及启示成都市教科院第一部分：新颖试题赏析第二部分：复习教学启示第三部分：几点思考建议近年高考数学新颖试题赏析及启示成都市教科院第一部分：新颖试题赏析成都市教科院第一部分：新颖试题赏析近年来的高考数学试卷中涌现出了一大批新颖试题，它们内涵丰富，立意新颖，背景鲜活，设问独特，闪耀着命题者智慧的光芒，给人以赏心悦目，回味无穷的感受．它对考查学生的阅读理解能力、知识迁移能力、类比猜想能力、数学探究能力、数学创新意识等有良好的作用．仔细研究这些试题，可以使我们明晰高考数学命题的动向和趋势，提高高三数学复习迎考的针对性和有效性．成都市教科院一、鲜明的立意二、新颖的情境三、深刻的背景四、开放的设计五、知识的交汇第一部分：新颖试题赏析成都市教科院一、鲜明的立意立意是试题的考查目的．高考命题一般以立意为中心，以能力立意命题，就是首先确定试题在能力方面的考查目的，然后根据能力考查的要求，选择适当的考查内容，设计恰当的设问方式．高考数学把具有创新特色的新颖试题根据以能力立意命题的指导思想，把具有发展能力价值，富有发展潜力、再生性强的能力、方法和知识作为切入点，从测量考生的发展性学力和创造性学力着手突出能力考查．成都市教科院高考数学试题重视“双基”的考查．这有利于高等学校选拔基础扎实的考生，有利于引领中学数学的素质教育．对“双基”的考查侧重于基础知识、基本思想方法的理解和应用，而不是简单的重现，特别注重知识应用的综合性、交汇性、灵活性和创新性，这类试题的知识源于教材，思维能力高于教材．1．考查基础知识的灵活应用一、鲜明的立意成都市教科院当联想到“算术平均数与几何平均数”时，不难知道，“和为定值的几个正数，当它们相等时其乘积最大”．由此我们不难感悟和猜想：对周长一定的三角形，边长越接近时面积越大．从而以2+5，3+4，6作为三角形的三边得到的三角形面积最大，计算这个等腰三角形的面积可知选．例1(2006年全国I理科第11题)用长度分别为2，3、4，5、6(单位：cm)的5根细棒围成一个三角形(允许连接，但不允许折断)，能够得到的三角形的最大面积为(A)285cm(B)2610cm(C)2355cm(D)20cm2B这是一道加了包装的均值不等式试题成都市教科院例1(2006全国I理第11题)用长度分别为2，3、4，5、6(单位：cm)的5根细棒围成一个三角形(允许连接，但不允许折断)，能够得到的三角形的最大面积为(A)285cm(B)2610cm(C)2355cm(D)20cm2B该题对思维能力进行了全面考查，既考查了观察、联想、猜想，估算等直觉思维能力，又考查了构成三角形的充要条件、面积公式的选择与应用等逻辑思维能力．考生通过对5根细棒的各种摆放和拼接的操作，实现了对实践能力考查的目标.本题提高了对分析问题和解决问题的能力要求，大大增加了思考量，由于面积最大的是等腰三角形，从而计算量得到了较好的控制.1．考查基础知识的灵活应用成都市教科院简单讲，高考是三考：考基础知识，考思想方法，考能力素质．数学思想方法在探寻解题思路、优化解题方法、加深问题理解、洞察问题本质等方面有广泛的应用．因此，高考对数学思想方法的考查力度是很大的，在教学中应引起足够的重视．数学思想方法应在概念的形成、命题的发现、问题的探究、解题的分析等教学活动中着意渗透、自然揭示、灵活运用和总结提炼．2．考查基本的数学思想方法成都市教科院本题构思精巧，内容丰富，有较为深刻的内涵．它以直线和圆为载体，以圆内接四边形面积的最大值为切入点，涉及四边形的面积、圆的几何性质、三角变换与三角最值等知识，因此也具有在知识交汇处命题这一特点．例2（2009全国II卷理第16题)已知AC，BD为圆O：x2+y2=4的两条相互垂直的弦，垂足为M(1，2)，则四边形ABCD面积的最大值为.成都市教科院例2（2009全国II卷理第16题)已知AC，BD为圆O：x2+y2=4的两条相互垂直的弦，垂足为M(1，2)，则四边形ABCD面积的最大值为.解一：设BMO=，可得BD=2243sin,2243cos,AC12ABCDSACBD2924sin2.4其最大值为5．成都市教科院本题的解法较多，不同程度的同学可以根据自己的实际情况，灵活选择问题的解决方法：而思维量的多少、方法的繁简、计算量的大小等方面的因素又引发解题所需时间的差异、结果的正确与否(例如，先设出AC,BD的斜率与方程，求出弦长后表示出四边形ABCD的面积，再求该面积函数的最值．这样的思路就显得比较繁琐)．因此，它具有相当好的区分度，真正起到了小题把关题的作用，是一道可圈可点的好题．例2（2009全国II卷理第16题)已知AC，BD为圆O：x2+y2=4的两条相互垂直的弦，垂足为M(1，2)，则四边形ABCD面积的最大值为.成都市教科院例2（2009全国II卷理第16题)已知AC，BD为圆O：x2+y2=4的两条相互垂直的弦，垂足为M(1，2)，则四边形ABCD面积的最大值为.解二：设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2，则d12+d22＝OM2＝3.2212221212(4)(4)28()5ABCDSACBDdddd成都市教科院3．考查以数学思维能力为重点的五大能力《考试大纲(理科)》的数学科指出，数学科考试着重考查五大能力：思维能力，运算能力，空间想象能力，实践能力和创新意识．在五大能力中以思维能力为考查重点．高考数学创新型试题没有固定的模式，难有现成的方法和套路，思维水平要求高，思维容量大，运算量较小，能有效考查考生的思维水平和创造意识，分析和解答这样的试题需要有较高的能力与素质，依靠“死记硬背”、“题海战术”和“强化训练”往往难以奏效．成都市教科院例3（2007四川卷理科第11题）如图，1l、2l、3l是同一平面内的三条平行直线，1l与2l间的距离是1，2l与3l间的距离是2，正△ABC的三顶点分别在1l、2l、3l上，则△ABC的边长是（）（A）23（B）364（C）3174（D）2213本题粗略一看，已知条件简洁明了，但题目的背景比较新颖，给人一种无从下手的感觉.这就需要我们实际操作和巧妙设计，要求考生要具有灵活的思维和应变能力，能根据题目的条件和结论进行观察、分析、探索、决策.说到底也就是一个平几或三角题.成都市教科院例3（2007四川卷理科第11题）如图，1l、2l、3l是同一平面内的三条平行直线，1l与2l间的距离是1，2l与3l间的距离是2，正△ABC的三顶点分别在1l、2l、3l上，则△ABC的边长是（）（A）23（B）364（C）3174（D）2213解：过A、B分别作3l的垂线BD、AE，与2l的交点为F，设正三角形边长为a，则由勾股定理得：DC=42a,CE=,92aBF=12a,所以有42a+92a=32112aa.故选D.解二：也可以B为原点，2l为x轴建系成都市教科院例3（2007四川卷理科第11题）如图，1l、2l、3l是同一平面内的三条平行直线，1l与2l间的距离是1，2l与3l间的距离是2，正△ABC的三顶点分别在1l、2l、3l上，则△ABC的边长是（）（A）23（B）364（C）3174（D）2213本题是把关题，看似平淡无奇，但却有效考查了考生的数学视野、开阔的思维、解题和智慧，在基础中考能力，在综合中考能力，在应用中考能力，在新型题中考能力占全了．是一道精彩的新颖试题！所以我们平时就要扎扎扎实实以熟练主干知识为龙头，注重对通性通法的训练和数学思想（方法）的强化，进一步提高解决问题的能力.成都市教科院4．考查应用意识和探究意识“坚持数学应用，考查应用意识”是近年来高考命题者坚持的一个命题方向，试卷突出新增加的如概率，导数等知识的应用性，反映出中学课程新增加的数学内容在解决实际问题中的重要作用.研究型、探索型、开放型试题是创新型试题的基本题型，有利于测试考生的能力与素质，有利于考查考生的探究精神．成都市教科院例4（2010江西理数第12题）如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为00StS，则导函数'ySt的图象大致为本题考查函数图像、导数图、导数的实际意义等知识，最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除C；总面积一直保持增加，没有负的改变量，排除B；考察A、D的差异在于两肩位置的改变是否平滑，考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断，选择A.成都市教科院例4（2010江西理数第12题）如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为00StS，则导函数'ySt的图象大致为本题考查了阅读和理解能力，同时考查了学生对新知识、新事物接受能力和加以简单运用的能力，既考查了应用意识，又考查了探究精神.要求解题者通过观察、阅读、归纳、探索进行迁移，即读懂和理解新情境，获取有用的新信息，然后运用这些有用的信息进一步推理，综合运用数学知识解决问题的能力和探索能力.（多想少算甚至不算）成都市教科院4．考查应用意识和探究意识因此，“开放探索,考查探究精神，开拓展现创新意识的空间”在近年的高考试题中常有体现，用知识归类、套路总结，强化训练等传统教学方法难以解决高考中不断出现的新颖试题.应对创新型试题的最好办法是让学生进行研究性学习，要让学生在新课学习和复习课中经历数学探究的过程，这个过程应该包括学生自己主动地观察数学现象、分析数学材料，提出数学问题、探究数学规律，猜想数学命题、寻找解题思路等.成都市教科院二、新颖的情境情境是实现立意的材料和介质．情境与问题相伴，问题是情境的焦点，情境因问题而存在．问题既是考查的内容也是考查的手段．情境的新颖性是高考数学创新型试题的一个共同的特点．情境新颖的试题，对广大考生来讲是全新的、公平的，靠“解题套路”、“猜题押宝”、“密卷”，“宝典”和“题海战术”是难以凑效的．成都市教科院二、新颖的情境在高考中，考生对付情境新颖的试题，一般需要具有自主学习的能力，学习能力是指学生阅读并理解数学新知识的能力，这里的新知识可以是新的概念、新的定理、新的方法、新的公式、新的规则等．学习能力还包括会搜集、提炼、加工信息，对阅读的内容进行概括和理解，看清问题的本质，然后运用新的知识通过分析、演算，归纳、猜想，类比或论证等方法解决一些新的数学问题．成都市教科院1.定义新概念2.规定新运算3.设定新规则4.定义新性质二、新颖的情境成都市教科院定义一个新概念，要求学生面对陌生情境，迅速提取有用信息，要善于挖掘概念的内涵与本质，并合理迁移运用已学的知识加以解决.这类问题较好地考查学生的转化能力、知识迁移能力以及学生探究性学习的潜能.1．定义新概念二、新颖的情境成都市教科院例5（2009江西理数第11题）一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”，下面四个平面区域（阴影部分）的周率从左到右依次记为1234,,,，则下列关系中正确的为A．143B．312C．423D．341成都市教科院解析:前三个区域的周率依次等于正方形、圆、正三角形的周长和最远距离之比，所以122、2、33，第四个区域的周率可以转化为一个正六边形的周长与它的一对平行边之间的距离之比，所以423，则4231，选C例5（2009江西理数第11题）一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”，下面四个平面区域（阴影部分）的周率从左到右依次记为1234,,,，则下列关系中正确的为A．143B．312C．423D．341成都市教科院例5（20