2012年天津中考数学试卷

2012年天津市中考数学试卷一、解答题（共8小题，满分66分）19．解不等式组112313xxxx．答案：1＜x＜2解：　②　①112313xxxx解不等式①，得x＞1解不等式②，得x＜2∴不等式组的解集为1＜x＜2.20．已知反比例函数xky1（k为常数，k≠1）．（Ⅰ）其图象与正比例函数y＝x的图象的一个交点为P，若点P的纵坐标是2，求k的值；（Ⅱ）若在其图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围；（Ⅲ）若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当y1＞y2时，试比较x1与x2的大小．答案：（Ⅰ）k＝5，（Ⅱ）k＞1，（Ⅲ）x1＞x2分析：（Ⅰ）设点P的坐标为（m，2），由点P在正比例函数y＝x的图象上可求出m的值，进而得出P点坐标，再根据点P在反比例函数xky1的图象上，所以2＝21k，解得k＝5；（Ⅱ）由于在反比例函数xky1图象的每一支上，y随x的增大而减小，故k－1＞0，求出k的取值范围即可；（Ⅲ）反比例函数xky1图象的一支位于第二象限，故在该函数图象的每一支上，y随x的增大而增大，所以A（x1，y1）与点B（x2，y2）在该函数的第二象限的图象上，且y1＞y2，故可知x1＞x2．解：（Ⅰ）由题意，设点P的坐标为（m，2）∵点P在正比例函数y＝x的图象上，∴2＝m，即m＝2．∴点P的坐标为（2，2）．∵点P在反比例函数xky1的图象上，∴2＝21k，解得k＝5．（Ⅱ）∵在反比例函数xky1图象的每一支上，y随x的增大而减小，∴k－1＞0，解得k＞1．（Ⅲ）∵反比例函数xky1图象的一支位于第二象限，∴在该函数图象的每一支上，y随x的增大而增大．∵点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在该函数的第二象限的图象上，且y1＞y2，∴x1＞x2．21．在开展“学雷锋社会实践”活动中，某校为了解全校1200名学生参加活动的情况，随机调查了50名学生每人参加活动的次数，并根据数据绘成条形统计图如图．（Ⅰ）求这50个样本数据的平均数、众数和中位数；（Ⅱ）根据样本数据，估算该校1200名学生共参加了多少次活动？答案：（Ⅰ）平均数是3.3，众数是4，中位数是3，（Ⅱ）3960分析：（Ⅰ）根据加权平均数的公式可以计算出平均数；根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，即可求出众数与中位数；（Ⅱ）利用样本估计总体的方法，用样本中的平均数×1200即可．解：（Ⅰ）观察条形统计图，可知这组样本数据的平均数是：3.350551841737231＝＋＋＋－x，则这组样本数据的平均数是3.3．∵在这组样本数据中，4出现了18次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是4．∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处在中间的两个数都是3，有3233，∴这组数据的中位数是3；（Ⅱ）∵这组样本数据的平均数是3.3，∴估计全校1200人参加活动次数的总体平均数是3.3，3.3×1200＝3960．∴该校学生共参加活动约为3960次．22．已知⊙O中，AC为直径，MA、MB分别切⊙O于点A、B．（Ⅰ）如图①，若∠BAC＝25°，求∠AMB的大小；（Ⅱ）如图②，过点B作BD⊥AC于点E，交⊙O于点D，若BD＝MA，求∠AMB的大小．答案：（Ⅰ）50°，（Ⅱ）60°解：（Ⅰ）∵MA切⊙O于点A，∴∠MAC＝90°，又∠BAC＝25°，∴∠MAB＝∠MAC－∠BAC＝65°，∵MA、MB分别切⊙O于点A、B，∴MA＝MB，∴∠MAB＝∠MBA，∴∠AMB＝180°－（∠MAB＋∠MBA）＝50°；（Ⅱ）如图，连接AD、AB，∵MA⊥AC，又BD⊥AC，∴BD∥MA，又BD＝MA，∴四边形MADB是平行四边形，又MA＝MB，∴四边形MADB是菱形，∴AD＝BD．又∵AC为直径，AC⊥BD，∴⌒⌒＝ADAB，∴AB＝AD，又AD＝BD，∴AB＝AD＝BD，∴△ABD是等边三角形，∴∠D＝60°，∴在菱形MADB中，∠AMB＝∠D＝60°．23．如图，甲楼AB的高度为123m，自甲楼楼顶A处，测得乙楼顶端C处的仰角为45°，测得乙楼底部D处的俯角为30°，求乙楼CD的高度（结果精确到0.1m，3取1.73）．答案：335.8m．解：如图，过点A作AE⊥CD于点E，根据题意，∠CAE＝45°，∠DAE＝30°．∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴四边形ABDE为矩形．∴DE＝AB＝123．在Rt△ADE中，tan∠DAE＝AEDE，∴31233312330tan123DAEtan＝＝＝DEAE．在Rt△ACE中，由∠CAE＝45°，得CE＝AE＝1233．∴CD＝CE＋DE＝123(3＋1)≈335.8．答：乙楼CD的高度约为335.8m．24．某通讯公司推出了移动电话的两种计费方式（详情见下表）．月使用费/元主叫限定时间/分主叫超时费/（元/分）被叫方式一581500.25免费方式二883500.19免费温馨提示：若选用方式一，每月固定交费58元，当主动打出电话月累计时间不超过150分，不再额外交费；当超过150分，超过部分每分加收0.25元。设一个月内使用移动电话主叫的时间为t分（t为正整数），请根据表中提供的信息回答下列问题：（Ⅰ）用含有t的式子填写下表：t≤150150＜t＜350t＝350t＞350方式一计费/元58108方式二计费/元888888（Ⅱ）当t为何值时，两种计费方式的费用相等？（Ⅲ）当330＜t＜360时，你认为选用哪种计费方式省钱（直接写出结果即可）．答案：（Ⅰ）见解析，（Ⅱ）270分，（Ⅲ）见解析解：（Ⅰ）①当150＜t＜350时，方式一收费：58＋0.25（x－150）＝0.25t＋20.5；②当t＞350时，方式一收费：58＋0.25（x－150）＝0.25t＋20.5；方式二：88＋0.19（x－350）＝0.19t＋21.5．（Ⅱ）∵当t＞350时，（0.25t＋20.5）－（0.19t＋21.5）＝0.06t－1＞0，∴当两种计费方式的费用相等时，t的值在150＜t＜350取得．∴列方程0.25t＋20.5＝88，解得t＝270．即当主叫时间为270分时，两种计费方式的费用相等．（Ⅲ）方式二．①当350＜t＜360时，方式一收费－方式二收费y＝0.25t＋20.5－0.19t－21.5＝0.06t－1，当350＜t＜360时，y＞0，即可得方式二更划算．②当t＝350时，方式一收费108元，大于方式二收费88元，故方式二划算；③当330＜t＜350时，方式一收费＝0.25t＋20.5，此时收费＞103，故此时选择方式二划算．25．已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP＝t．（Ⅰ）如图①，当∠BOP＝30°时，求点P的坐标；（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ＝m，试用含有t的式子表示m；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．答案：（Ⅰ）（23，6），（Ⅱ）6611612ttm（0＜t＜11），（Ⅲ）点P的坐标为)6,31311()6,31311(或.解：（Ⅰ）根据题意，∠OBP＝90°，OB＝6，在Rt△OBP中，由∠BOP＝30°，BP＝t，得OP＝2t．∵OP2＝OB2＋BP2，即（2t）2＝62＋t2，解得：t1＝23，t2＝－23（舍去）．∴点P的坐标为（23，6）．（Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，∴∠OPB′＝∠OPB，∠QPC′＝∠QPC，∵∠OPB′＋∠OPB＋∠QPC′＋∠QPC＝180°，∴∠OPB＋∠QPC＝90°，∵∠BOP＋∠OPB＝90°，∴∠BOP＝∠CPQ．又∵∠OBP＝∠C＝90°，∴△OBP∽△PCQ，∴CQBPPCOB，由题意设BP＝t，AQ＝m，BC＝11，AC＝6，则PC＝11－t，CQ＝6－m．∴mtt6116．∴6611612ttm（0＜t＜11）．（Ⅲ）过点P作PE⊥OA于E，∴∠PEA＝∠QAC′＝90°，∴∠PC′E＋∠EPC′＝90°，∵∠PC′E＋∠QC′A＝90°，∴∠EPC′＝∠QC′A，∴△PC′E∽△C′QA，∴QCPCACPF，∵PC′＝PC＝11－t，PE＝OB＝6，AQ＝m，C′Q＝CQ＝6－m，∴mAQCAC1236Q22，∴mtm61112366∵6611612ttm，解得：31311,3131121tt点P的坐标为)6,31311()6,31311(或.26．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（0＜2a＜b）的顶点为P（x0，y0），点A（1，yA）、B（0，yB）、C（－1，yC）在该抛物线上．（Ⅰ）当a＝1，b＝4，c＝10时，①求顶点P的坐标；②求CBAyyy的值；（Ⅱ）当y0≥0恒成立时，求CBAyyy的最小值．答案：（Ⅰ）P(－2,6)，5，（Ⅱ）3解：（1）若a＝1，b＝4,c＝10此时抛物线的解析式为y＝x2＋4x＋10.①∵y＝x2＋4x＋10＝(x＋2)2＋6∴抛物线的顶点坐标为P(－2,6)②∵点A(1,yA),B(0,yB),C(－1,yC)在抛物线y＝x2＋4x＋10.∴yA＝15,yB＝10,yC＝7∴571015CBAyyy.（2）由0＜2a＜b，得120abx.由题意，如图，过点A作AA1⊥x轴于点A1，则AA1＝yA，OA1＝1连接BC，过点C作CD⊥y轴于点D，则BD＝yB－yC，CD＝1过点A作AF∥BC，交抛物线于点E(x1,yE)，交x轴于点F(x2，0)，则∠FAA1＝∠CBD.于是RtΔAFA1∽RtΔBCD，有CDFABDAA11，即22111xxyyyCBA.过点E作EG⊥AA1于点G，易得ΔAEG∽ΔBCD.有CDEGBDAG，即11xyyyyCBEA.∵点A(1,yA),B(0,yB),C(－1，yC),E(x1,yE)在抛物线y＝ax2＋bx＋c上，得yA＝a＋b＋c,yB＝c,yc＝a－b＋c,yE＝ax12＋bx1＋c,∴11211)()()(xcbaccbxaxcba.化简，得x12＋x1－2＝0，解得x1＝－2(x1＝1舍去).∵y0≥0恒成立，根据题意，有x2≤x1＜－1，则1－x2≥1－x1，即1－x2≥3.∴CBAyyy的最小值为3.