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4.6管道内充分发展对流换热的统一数学模型组员：王亚安孔令胜王领刘新颖孙杰侯萱何文萱韦志超4.6.1圆管内层流充分发展对流换热的统一模型及结果4.6.1.1物理模型及控制方程假设：1.常物性；2.不计流体中的轴向导热；3.不计流体中的黏性耗散；4.管壁很薄，通过管壁的热阻略而不计；（补充说明）5.不计自然对流努谢尔特数，表征流体与固体壁面间的对流换热量与流体在边界层内的导热量之比4.6.1圆管内层流充分发展对流换热的统一模型及结果4.6.1.1物理模型及控制方程边界条件：4.6.1圆管内层流充分发展对流换热的统一模型及结果4.6.1.2无量纲温度控制方程为求得Nu，关键在于获得截面上的温度分布。为此引入无量纲温度，从而将偏微分方程划为常微分方程。𝑇𝑏为截面上流体平均温度4.6.1圆管内层流充分发展对流换热的统一模型及结果4.6.1.2无量纲温度控制方程可得关于无量纲温度Θ的控制方程：1𝜂𝑑𝑑𝜂𝜂𝑑𝛩𝑑𝜂+𝛬2𝛩𝑢𝑢𝑚=0相应的边界条件转化为：𝜂=0,𝑑𝛩𝑑𝜂=0;𝜂=1,𝑑𝛩𝑑𝜂=−𝐵𝑖𝛩𝑤其中，𝐵𝑖=𝑅ℎ𝑒𝜆，毕涡数，是表征固体内部单位导热面积上的导热热阻与单位面积上的传热热阻之比。4.6.1圆管内层流充分发展对流换热的统一模型及结果4.6.1.3单值性条件分析由于方程和边界条件的齐次性，使得上述数学描述的解存在可任意乘一个常数的不确定性。为此，需要寻找一个附加条件，从而获得唯一解。从能量平衡角度审视温度后可获得这一附加条件：2𝛩𝑢𝑢𝑚10𝜂𝑑𝜂=11𝜂𝑑𝑑𝜂𝜂𝑑𝛩𝑑𝜂+𝛬2𝛩𝑢𝑢𝑚=0𝜂=0,𝑑𝛩𝑑𝜂=0;𝜂=1,𝑑𝛩𝑑𝜂=−𝐵𝑖𝛩𝑤2𝛩𝑢𝑢𝑚10𝜂𝑑𝜂=1所以完整的数学描述：4.6.1圆管内层流充分发展对流换热的统一模型及结果4.6.1.4数值求解方法1𝜂𝑑𝑑𝜂𝜂𝑑𝛩𝑑𝜂+𝛬2𝛩𝑢𝑢𝑚=0控制方程具有广义源项𝛬2𝛩𝑢𝑢𝑚，其值需在求解过程中确定，故采用迭代法。Patankar-Sparrow提出以下迭代方法（步骤）：（1）令：𝛩=𝛬𝜙将其代入上述完整的数学描述方程中，可得：𝛬=14𝜙𝜂1−𝜂2𝑑𝜂10，即为求解𝛬的迭代方式（2）假定一个初场𝜙∗，获得𝛬∗（3）求解一个带非常数源项的一维导热问题，获得改进𝜙（4）重复上述计算直到收敛条件满足：|𝜙∗−𝜙𝜙|≤𝜀,𝜀=10−3~10−64.6.1圆管内层流充分发展对流换热的统一模型及结果4.6.1.5数值计算结果的处理求得𝜙和𝛬以后，即可按照定义求得𝑁𝑢。由管壁内外热平衡得：ℎ𝑇𝑏−𝑇𝑤=ℎ𝑒𝑇𝑤−𝑇∞所以：𝑁𝑢=2𝑅ℎ𝜆=2𝐵𝑖𝛬𝜙𝑤1−𝛬𝜙𝑤根据已知的Bi，由数值解得到特征值𝛬，以及壁面上的𝜙𝑤，即可得出𝑁𝑢，而不必进行求导运算。数值计算结果如下表：分析如下：（1）𝐵𝑖→∞,ℎ𝑒→∞，外部对流十分强烈，壁温趋于周围流体温度，相当于等壁温条件；4.6.1圆管内层流充分发展对流换热的统一模型及结果4.6.1.5数值计算结果的处理(2)𝐵𝑖→0,ℎ𝑒→0,（并不意味着绝热），因为外部对流换热相对地很弱，即温差𝑇𝑤−𝑇∞很大，此时虽然沿轴向𝑇𝑤会有所变化，但相对于温差𝑇𝑤−𝑇∞而言，这一变化仍然很小，可将ℎ𝑒𝑇𝑤−𝑇∞视为常数，即导致均匀热流的工况。注:数值计算中，𝐵𝑖=0和𝐵𝑖=∞分别是以很小的数和很大的数来代替。另外，有文献进一步考虑了管外对流换热系数沿周界发生变化时，对管内充分发展对流换热的影响。计算表明，管外平均对流换热系数保持不变的条件下，外部对流换热系数沿周界发生变化，对𝑁𝑢数无明显影响。4.6.1圆管内层流充分发展对流换热的统一模型及结果4.6.1.5数值计算结果的处理详见教材p114表4-7。对比表4-7中结果与这类截面形状的通道在均匀热流与均匀壁温下的数值计算结果，可发现：只有对圆管及平板通道，𝐵𝑖=0和𝐵𝑖=∞代表了均匀热流及均匀壁温的情形，而对其他截面形状的通道则没有这样的明确的关系。4.6.2其他截面形状管道充分发展对流换热的数值计算谢谢大家欢迎批评指正