数列极限的基本性质

第二章三、收敛数列的性质1.唯一性2.有界性3.保号性、保序性4.收敛数列与其子列的关系三、收敛数列的性质.1.唯一性定理1.1(收敛数列极限的唯一性)即若bxaxnnnnlimlim且则必有.ba若极限则极限唯一.存在，nnxlim(用反证法)及且.ba取因N1N+,使当nN1时,假设axnnlimbxnnlimaxnnlim,2ab即当nN1时,,2baxn从而使当nN1时,,2baxn证法1同理,因故N2N+,使当nN2时,有从而使当nN2时,有从而使当nN1时,,2baxnbxnnlimnxba22baxn则当nN时,取12max,,NNN22baxbaxnn，又有既有矛盾！故假设不真!2.有界性定义对数列nx,若存在正数M,使得一切正整数n,恒有Mxn成立,则称数列nx有界；否则,称为{nx}无界.例如:11nnx）（数列nnx2数列数轴上对应于有界数列的点nx都落在闭区间],[MM上.有界无界即若,limaxnn,0M常数则Mxn使(n=1,2,…).定理2.2(收敛数列的有界性)收敛的数列必定有界.证设取,1,N则当Nn时,从而有aaxna1取,,,,max21NxxxMa1则有.),2,1(nMxn即收敛数列必有界.,1axn有注有界性是数列收敛的必要条件，但不是充分条件.收敛有界}{nx}{nx关系：例如,})1{(1n虽有界，但不收敛.数列推论无界数列必发散.，若N)2(N使当nN时，恒有nnyx.babylim,axlimnnnn，则且(1)若时,有3.保号性、保序性证（1）：.ba取,2ba因,limaxnn故存在N1,22baabaxn使当nN1时,从而当nN1时,2baxn从而同理,因,limbynn故存在N2,使当nN2时,有22baabbyn则当nN时,,,max21NNN取便有,2nnybax与已知矛盾,于是定理得证.当nN1时,2baxn推论：(收敛数列的保号性)(1)若,0,limaaxnn且则，NN使当nN时，.0nx()()(2)若),(00Nnxn,limaxnn则a0.()()恒有且对a0,取,a证(1)a(2)用反证法证明.注axNnxnnnlim)(00，且由.0a如：,01nxn.01limlimnxnnn但4.收敛数列与其子数列的关系(1)子数列的概念...,...,,,21knnnxxx称为数列{xn}的一个子数列(或子列)。：则}{knx......121knnn其中例如,从数列}1{n中抽出所有的偶数项是其子数列.它的第k项是)3,2,1(212，kkxxknkk21组成的数列：(2)收敛数列与其子数列的关系结论：（1)：,limaxnn若数列}{knx也收敛，且.limaxknk的任意子数列则}{nx}{2kx}{12kx若数列都收敛于a,limaxnn数列（2)：注axnnlim.limlim122axxkkkk定理1°某}{knx收敛例如，1lim121kknnxx，虽然）（数列但发散.}{nx收敛}{nx2°若数列有两个子数列收敛于不同的极限，则原数列一定发散.例如，发散!1lim2kkx1lim12kkx