清华大学2019年自主招生数学试题

1清华大学自主招生数学试题1.一个四面体棱长分别为6，6，6，6，6，9，求外接球的半径.2.求值：1221(1sin)xxdx.3.已知P为单位圆上一动点，(0,2)A，(0,1)B，求2||||APBP的最大值.4.AB为圆O的直径，COAB，M为AC中点，CHMB，则下列选项正确的是（）A.2AMOHB.2AHOHC.△BOH∽△BMAD.忘记5.{1,2,3,,15}A，{1,2,3,4,5}B，f是A到B的映射，若满足()()fxfy，则称有序对(,)xy为“好对”，求“好对”的个数最小值.6.若对cR，,ab，使得()()()fafbfcab成立，则称函数()fx满足性质T，下列函数不满足性质T的是（）A.32()33fxxxxB.21()1fxxC.1()xfxeD.()sin(21)fxx7.已知||||1ab，12ab，()()0cacb，若||1dc，求||d的最大值.8.椭圆22162xy，过(2,0)F的直线交椭圆于A、B两点，点C在直线3x上，若△ABC为正三角形，求△ABC的面积.9.圆224xy上一点00(,)xy处的切线交抛物线28yx于A、B两点，且满足90AOB，其中O为坐标原点，求0x.10.设a为44444444各位数字和，b是a的各位数字之和，c为b的各位数字之和，求c的值.11.实数x、y满足22(2)1xy，求223xyxy的最大值和最小值.12.在三棱柱111ABCABC中，已知90ABC，6AB，132BCBB，动点P在2线段1BC上，求1APBP最小值.13.若集合A、B是正整数的一个二划分，则（）A.集合A中不存在三项等差，集合B中不存在无穷项等差B.集合A中不存在三项等比，集合B中不存在无穷项等比C.忘了D.忘了14.数列{}na满足：13a，2134nnnaaa，则（）A.{}na单调递增B.{}na无上界C.忘了D.11lim11nniia15.若正实数a、b满足(8)20abab，则3ab的最小值为16.设()|1||3|fxxx，()2xgxe，求()()fxgx最小值.17.设,xyN，则方程113100xy的解的个数为18.令2222cossin55kkkzi（1,2,3,4,5i），若()iijijazz，则（）A.134125aaaB.5123455aaaaaC.224125aaD.15a19.若实数x、y满足338610xyxy，求3xy的范围.3参考答案1.设6ABACADBCBD，9CD，易知△BCD的外接圆1O半径为1127r，同理可得△ACD的外接圆2O的半径为2127r，设外接圆的圆心为O，易知237OO，则外接球半径222231443377RrOO，∴外接球半径为33.2.11122221111(1sin)(cos2)2xxdxxdxxxdx，由分部积分法可知：222211cos2sin2(sin2sin222xxdxxdxxxxdx）21=(sin22sin2)2xxxxdx2211(sin2cos2)(sin2cos2cos2)22xxxdxxxxxxdx21sin2(sin2cos2)22xxxxx∴12211111(1sin)((sin22cos2))2332xxdx11(sin22cos2)34.3.设(cos,sin)P，在22222||||cos(sin2)[cos(1sin)]SAPBP整理得：21sin58()(sin)24S，由三元均值不等式可知：35148()333S,当且仅当1sin2时，等号成立，则2||||APBP的最大值为33.4.设圆O的半径为2，易知10BM，810BH，2AMCM，22BC，在△OBH与△ABM中，由余弦定理可知：26441610210cos3281010OHABM，解得：25OH，2AMOH，选项A错误，在△AHC中，由中线定理可知：216841010AH，解得：45AH，则2AHOH，选项B正确，而210BOBHOHBMBAMA，∴△BOH∽△BMA，选项C正确，综上：选B，C.45.情形一：当只对应B中1个元素时，此时“好对”有1515225对，情形二：当只对应B中2个元素时，设有1a组()()fxfy，1b组()()fxfy，则此时“好对”有2211ab对，且1115ab，则由柯西不等式可知：2221111()22522abab，情形三：当只对应B中3个元素时，设有2a组()()fxfy，2b组()()fxfy，2c组()()fxfy，则此时“好对”有222222abc对，且22215abc，则由柯西不等式可知：2222222222()753abcabc，依次可得：易知当对应B中5个元素时，此时“好对”的最小值为45，当且仅当A中每3个元素对应B中一个元素时，等号成立，则“好对”的个数的最小值为45.6.∵cR，,ab，使得()()()fafbfcab，则()fx的值域是()fx值域的子集，A选项：2()363[0,)fxxx，()fxR，满足题意，B选项：222()(1)xfxx，令tanx，则1()sin2(1cos2)2g，当sin2，cos20时，则由四元均值不等式可知：22341cos22sin2(1cos2)27()(1cos2)27()34，当且仅当1cos22时，等号成立，∴3333()[,]88fx，()(0,1]fx，满足题意，∵()g为奇函数，C选项：1()xfxe，()fxR，()fxR，不满足题意，D选项：()2cos(21)fxx，()[1,1]fx，()[2,2]fx，不满足题意，综上：选A，B.7.建立平面直角坐标系，且(1,0)a，13(,)22b，易知点c的终点的轨迹方程为22331()()444xy，又||1dc，∴此时max3133||1222d.8.设直线:2lxmy，11(,)Axy，22(,)Bxy，AB中点为E，联立22236xmyxy，整理可得：22(3)420mymy，则2226(1)3mABm，而2222221163(1)11|3|1|3|3(3)||EmmEAxmmmmm，而23ABEA，解得：21m，∴233336442ABCSAB，则△ABC的面积为332.59.∵90AOB，∴直线AB恒过定点(8,0)，而切线方程为00:4ABlxxyy，则084x，解得：012x.10.∵4444444444441000444410000，则444434444lg444444444，则9(444441)9159993a，情形一：当a的位数为6，则149441b，情形二：当a的位数小于6，则5945b，由情形一和情形二可知：45b，情形三：当a的位数为2位时，则3912c，情形四：当a的位数1位数时，则9c，由情形三和情形四可知：12c，又44447(mod9)，371(mod9)，则444444443148144447(7)77(mod9)，而444444447(mod9)abc，∴7c.11.情形一：当0x时，此时2233xyPxy，情形二：当0x时，此时2311()yxPyx，易知：[3,)yx，令tanyx，[,)32，则2sin()(3,2]6P，情形三：当0x时，此时2311()yxPyx，易知：(,3]yx，令tanyx，(,]23，则2sin()[1,3)6P，综上：P的最小值为1，最大值为2.