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1浙江大学自主招生数学试题2019.061.已知7,求coscos2cos3的值.2.已知{1,2,3,4}S,若1324||||aaaa的平均数为最简分数qp,其中1234,,,aaaaS,则pq的值为3.动圆过定点(,0)a,且圆心到y轴的距离为2a,则圆心的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.无法确定4.一枚质地均匀的硬币,扔硬币10次,正面朝上次数多的概率为5.已知2221xyz,求3xyyz的最小值.6.已知()pn为n次的整系数多项式,若(0)p和(1)p均为奇数,则()A.()pn无整数根B.()pn可能有负整数根C.()pn无解D.忘了7.3.abc是所有小数中最接近11的数,求abc的值.8.已知nN,下列说法正确的是()A.若3nk,kN,则7|21nB.若3nk,kN,则7|21nC.若3nk,kN,则7|21nD.若3nk,kN,则7|21n9.复数12||||1zz12()zz,满足|1i||1i|23kkzz(1,2)k,求12zz.10.若1x,且满足2213xx,求551xx.11.已知点(,)ab在椭圆22143xy上,求234ab的最大值与最小值的和.12.若将19表示为若干个正整数的和,则这些正整数的积的最大值为13.数列{}na满足11a,143nnSa,求20192018aa的值.14.定义在R上的偶函数()fx满足21(1)()()2fxfxfx,求121()2f.15.若p、q是方程22650xxaa的两根,且满足38qpp,则a的可能取值有多少个?16.△ABC的顶点(,0)Ap,(,0)Bp,其内心在直线xq上,且0pq,则顶点C的轨迹方程为2参考答案1.令35coscoscos777,则352sin2sincos2sincos2sincos7777777a,由积化和差公式可知:242642sinsinsinsinsinsin777777a,化简可得:12a.2.易知1324||||aaaa的最小值为0,最大值为6,则平均数为123456762,∴9pq.3.∵圆心到y轴的距离为2a,∴圆心在直线2xa或2xa上,且圆心的轨迹是一个动圆截直线,所截的图像依然还是一条直线,∴圆心的轨迹为直线,故无答案.4.易知:6789101010101010101932512CCCCCP.5.由常见不等式可知:2222311344xyyzxyyz,解得:31xyyz,当且仅当32xy,12zy时,等号成立,则3xyyz的最小值为1.6.设2012()nnpnaaxaxax,∵(0)p和(1)p为奇数,则0a为奇数,12naaa为偶数,假设()pn有整数根,设0()0px,易知00|xa,则0x为奇数,情形一:当1a,2a,,na全是偶数时,则此时易知:0()px为奇数,情形二:当1a,2a,,na中有奇数时,而12naaa为偶数,则奇数必定时成对出现,则此时0()px还是为奇数,综上:()pn无整数根,故选A.37.易知3a,1b,6c,则10abc.8.情形一:当3nk,*kN时,则1112181(71)1777nkkkkkkkkkCCC,此时7|21n,则B正确;情形二:当31nk,*kN时,则1118(71)12111(7771)222kknkkkkkkkCCC,此时7|21n不成立;情形三:当32nk,*kN时,则1118(71)132111(777)4444kknkkkkkkkCCC,此时7|21n不成立,则A错误,同理可得,C、D错误,综上:选B.9.设1cosisinz,2cosisinz,则2222(cos1)(sin1)(cos1)(sin1)23,整理可得:32(cossin)32(cossin)23,解得:sincos0,同理可得:sincos0,∴1324k,2724k,12,kkZ,而12cos()isin()zz,∴12izz.10.∵2213xx,则4417xx,11xx,而4534531111()()()xxxxxxxx,又3232111()(1)4xxxxxx,∴55111xx.11.设2cosa,3sinb,则2344cos33sin443sin()4[443,443]ab,∴234ab的最大值与最小值的和为8.12.设分拆中有x个2,y个3,则2319xy,当2x时,此时乘积最大,乘积为2523972,4∴乘积的最大值为972.13.易知1144nnnaaa,则112=2(2)nnnnaaaa,此时有122nnnaa,整理可得:11122nnnnaa,∴122nnnan,则20192019201822aa.14.∵21(1)()()2fxfxfx,则221(1)(1)()()4fxfxfxfx,令2()()()gxfxfx,则1(1)()4gxgx,由上式可知()gx具有周期性,周期为2,而()fx为偶函数,∴()gx也为偶函数,则1211()()22gg,111()()224gg,解得:11()28g,此时2111()()228ff且1()2fx,解得:122()24f,∴121()2f的值为224.15.由韦达定理可知:2265364(5)pqpqaaaa,又38qpp,则(1)(2)(3)0ppp,情形一:当1p时,7q,则2570aa,且0,∴此时a的值有两个;情形二:当2p时,8q,则25160aa,且0,∴此时a的值有两个;情形三:当3p时,3q,则2590aa,易知此时a无解;综上:a的可能值有4个.16.易知点C的轨迹为双曲线,且cp,aq,∴顶点C的轨迹方程为222221xyqpq.
本文标题:2019年浙江大学自主招生试题数学试题
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