第一型曲面积分【高等数学PPT课件】

一、第一型曲面积分的概念与性质二、第一型曲面积分的计算法第四节第一型曲面积分第十一章oxyz一、第一型曲面积分的概念与性质引例:设曲面形构件具有连续面密度类似求平面薄片质量的思想,采用可得nk1M),,(kkk求质“分割,近似,求和,取极限”的方法,量M.其中,表示n小块曲面的直径的最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).Σ(,,)dMρxyzS定义:设为光滑曲面,“乘积和式极限”都存在,曲面积分,Szyxfd),,(其中f(x,y,z)叫做被积据此定义,曲面形构件的质量为曲面面积为f(x,y,z)是定义在上的一个有界函数,记作若对做任意分割和局部区域任意取点,则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面上第一型函数,叫做积分曲面则第一型曲面积分存在.•对积分域的可加性.,,21则有Σ(,,)dfxyzS1Σ(,,)dfxyzS12Σ(,,)(,,)dkfxyzkgxyzS•线性性质.12ΣΣ(,,)d(,,)dkfxyzSkgxyzS在光滑曲面上连续,第一型曲面积分与第一型曲线积分性质类似.•积分的存在性.若是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面oxyz定理:设有光滑曲面f(x,y,z)在上连续,存在,且有Σ(,,)dfxyzS(,,)xyDfxy),(yxz二、第一型曲面积分的计算法则曲面积分证明:略()kxy(,,)kkkyxD记忆));,(,,(),,(),(:yxzyxfzyxfyxzz;),(),(122dxdyyxzyxzdSyx.xyDxoy面投影，得向将曲面;1)],(,,[),,(22dxdyzzyxzyxfdSzyxfxyDyx);,(:.1yxzz若曲面则二代：三换：一投：;1]),,(,[22dxdzyyzzxyxfxzDzxdSzyxf),,();),,(,(),,(),(:zzxyxfzyxfzxyy;),(),(122dxdzzxyzxydSzx.xzDxoz面投影，得向将曲面则二代：三换：一投：);,(:.2zxyy若曲面.1],),,([22dydzxxzyzyxfyzDzydSzyxf),,(),(.3zyxx：若曲面则二代：);,),,((),,(),(:zyzyxfzyxfzyxx三换：;),(),(122dydzzyxzyxdSzy一投：.yzDyoz面投影，得向将曲面注：这里曲面函数均是单值函数.yxD例1.计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部.解:2222:xyDxyah221xyzzΣdSz20da0)ln(2122222haraa222ddxyDaxyaxy22022dhararroxzyha思考:若是球面被平行平面z=±h截出的上下两部分,)(dzS)(dzS0hln4aa则hhoxzy例2.计算其中是由平面坐标面所围成的四面体的表面.ozyx111解:设上的部分,则4321,,,4ΣdxyzS,1:4yxz1010:),(xxyDyxyxxyyxy10d)1(1203与10d3xx1234ΣΣΣΣSzyxd原式=分别表示在平面例3.计算其中是球面22yx利用对称性可知222Σ2()d3IxyzSÒΣ4()d3xyzSÒΣ4dxSÒΣ4dxSÒ解:显然球心为,)1,1,1(半径为3x利用重心公式ΣdxSÒΣdSÒ).(22zyxz