第五章-拉姆齐模型

第五章无限期界与代际交叠模型第一节拉姆齐问题第二节拉姆齐模型的动态分析第三节代际交叠中的两期寿命第四节戴蒙德模型的动态分析引言索洛模型将储蓄看成是一种外生变量，并且模型对技术进步不予解释。拉姆齐-卡斯-库普曼模型（Ramsey－Cass－Koopmans）与索洛模型的最大区别在于将经济总量的动态分析建立在微观层次上。在模型中，资本存量的变动是从竞争性市场中的家庭效用最大化和厂商利润最大化之间的相互作用中推导出来，这样，储蓄就不是外生的了。附录－拉姆齐模型概述第一节拉姆齐问题模型假设条件拉姆齐提出的问题是一个国家应当储蓄多少，并用模型去求解，此模型就是现在研究资源的跨期最优配置的原型。模型假设条件如下：(1)存在着大量相同的厂商，每个厂商的生产函数为Y=F(K,AL)。厂商在竞争件要素市场上雇佣工人、租借资本，并在竞争性产出市场出售产品。与索洛模型相同，厂商将A取做给定的，A以g速率外生地增长。厂商以利润最大化为目标。由于企业由家庭所有，因此企业利润归于家庭。(2)同样存在着大量相同的家庭。家庭的规模以n速率增长。家庭的每个成员在每个时点供给一单位的劳动。家庭将其拥有的资本租借给厂商。家庭拥有数量为K(0)／H的初始资本[其中K(0)是经济中的资本初始量，H为家庭数量]。假设没有折旧。在每个时点上，家庭将其收入在消费与储蓄之间进行分配，以服从其终生效用最大化的目标。上式中，C(t)是在t时刻家庭每个成员的消费。U(·)是瞬时效用函数。L(t)是经济的总人口，L(t)／H是每个家庭的成员人员。是t时刻家庭的总瞬时效用。ρ是贴现率，ρ越大，则家庭对未来消费的估价就越小。第一节拉姆齐问题家庭效用函数设家庭具有以下效用函数：t0teutdtLUCH（5-1）tutLCH第一节拉姆齐问题家庭效用函数（续）瞬时效用函数可以采取如下的形式：这个函数形式表现了使经济收敛于平衡的增长路径。它就是著名的相对风险厌恶不的效用函数，这是因为该函数的相对风险厌恶系数(它被定义为)是θ，它独立于C。1tut0,101CCng（5-2）'''uuCCC第一节拉姆齐问题家庭效用函数（续）由于在这个模型中不存在不确定性，因此与家庭的风险态度并不直接相关，其实θ也决定了家庭将消费在不同时期的转移意愿：θ越小，随着消费的上升，边际效用的下降速度越慢，导致家庭越愿意允许其消费随时间变动而变动。如果θ接近于零，这样，效用对于C来说几乎是线性的，这样家庭就更愿意接受大的消费变动，这样就可以充分利用贴现率与从储蓄中获得的报酬率之间的差额。第一节拉姆齐问题厂商行为厂商行为相对简单。在每个时点上，他们租用劳动与资本进行生产，并按这些要素各自的边际产品支付报酬，并出售所生产的产出。由于生产函数具有不变的规模报酬，经济是竞争性的，厂商因此获得正常利润。我们知道，资本的边际产品为。由于市场是竞争性的，资本只能获得其边际产品。由于不存在折旧，资本的真实报酬率等于其每单位时间的收入，因此，在t时刻，真实利率为：',=fFKALkK'rtfkt（5-3）第一节拉姆齐问题厂商行为（续）劳动的边际产品为，它也等于。根据上述生产函数的紧凑形式，它可写成。因此在c时刻，真实工资是：,FKALL,AFKALAL'Afkkfk'WtAtfktktfkt（5-4）'tfktktfktw（5-5）这样，每单位有效劳动的工资是：第一节拉姆齐问题家庭行为－预算约束假设家庭对于r和w的路径给定，家庭的预算约束是其终生消费的贴现值不能超过其初始的财富与其终生劳动收入的现值之和。设每个家庭有L(t)／H个成员，在t时刻其劳动总收人为W(t)L(t)／H，其消费支出为C(t)L(t)／H。在初姑时刻，家庭的初始财富是经济总初始财富的1／H，或等于K(0)／H。因此，家庭预算为：00t0tetdtetdtRtRtLKLCWHHH（5-6）第一节拉姆齐问题00tettdt0RtKLWCHH（5-7）在许多情况下，对式(5-6)进行求解是困难的。因此，我们可以用家庭的资本持有量的极限行为来表示其预算约束。为此，我们对式(5-6)整理如下：我们可以写出从t＝0到t=∞的积分形式作为一种极限。这样，式(5-7)就等价于：00tlim[ettdt]0sRtsKLWCHH（5-8）家庭行为－预算约束（续）第一节拉姆齐问题00teettdtRsRsRtKsKLWCHHH（5-9）在s时刻，家庭资本持有量为：上式中，表示在s时刻家庭初始财富对其总财富的贡献。在t时刻，家庭的储蓄是(可以是负值)；则表明从t时刻到s时刻该储蓄值的变动状况。式(5-9)表达式是与式(5-8)的大括号中的表达式的乘积，预算约束写成下式：0eRsKHeRsRttttdtLWCHeRs家庭行为－预算约束（续）第一节拉姆齐问题式(5－10)就是著名的非蓬齐博弈条件(No-Ponzi-game)。蓬齐博弈是指这样一种计划：一些人发行债券并永久性地滚动这些债务。也就是说，当发行人通过新债券获得借款时，他总能够用所获得的借款去支付旧债务。这样，这种计划就允许发行人拥有的终生消费现值超过其终生资源现值。从式(5-6)或式(5-10)中可以看出，这里的预算是排除这样一种计划的。lime0RssKsH（5-10）家庭行为－预算约束（续）附录－非蓬齐条件第一节拉姆齐问题理性家庭总是想在上述预算约束条件下将其终生效用最大化。定义c(t)为每单位有效劳动的消费，因此每个劳动力的消费C(t)等于A(t)c(t)。这样，家庭的瞬时效用等于：11t11AtctC1101gtAect111t01gtcAe（5-11）1t0ttedt1CLUH111t0t0=e0dt1ntgtcLeAeH111t00t=0edt1gtntLcAeeH1t0tedt1cB（5-12）100,1LAngH上式中，B把式(5-11)以及在前面已提到的代入目标函数式(5-1)和式(5-2)，得到：0ntLtLe家庭行为－目标函数第一节拉姆齐问题再来讨论式(5-6)的预算约束。在t时刻，家庭总消费C(t)L(t)／H等于每单位有效劳动的消费乘以家庭的有效劳动数量A(t)L(t)／H。同理，在t时刻家庭的总劳动收入等于每单位有效劳动的工资w(t)乘以A(t)L(t)／H，其初始资本持有量等于0时刻每单位有效劳动的资本量k(0)乘以A(t)L(t)／H。因此，可以把式(5-6)家庭预算约束改写成下式：00t00tetdt0etdtRtRtAtLALAtLckwHHH（5-13）00etdt0etdtRtngtRtngtcekwe（5-14）由于A(t)L(t)等于，将这一结果代入上式，同时两边除以，可以得到下式：00ngtLeA00ALH家庭行为－目标函数（续）第一节拉姆齐问题最后，由于K(s)与k(s)e(n+g)s成比例，就可以把式(5-10)预算约束的非蓬齐博弈条件表达式改写成：lime0RsngssekS（5-15）研究家庭的基本问题就是在式(5-14)的预算约束条件下，如何选择c(t)的路径去实现如式(5-12)所表示的终生效用最大化。由于消费的边际效用总是为正，家庭将以等式满足其预算约束。可以利用目标函数式(5-12)和预算约束式(5-14)来构造拉格朗日函数：家庭行为－目标函数（续）第一节拉姆齐问题家庭行为－效用最大化1t0tedt1cB000etdt-etdtRtngtRtngtkewec（5-16）teteRtngtBce（5-17）在每个时点家庭选择c，这样就会形成无限多个c(t)。对每一单个c(t)，其一阶条件是对于任意的t：家庭行为的特征实际上就是由式(5-17)和预算约束式(5-14)来刻画的。第一节拉姆齐问题为了理解式(5-17)对消费行为的含义，可以对这一公式展开进一步的分析。首先给公式两边取对数：lntRtngtlnB-t-lnc0lntrdngt（5-18）0tRtrd式(5-18)中利用了的定义。注意到，对于每个t，式(5-18)两边相等，因此给两边求关于t的导数后也相等。这个条件就是：这里利用了一个变量的对数关于时间的导数等于其增长率的概念。由式(5-19)可以求解出，从而得到：式(5-20)利用了的定义。1ng)195()()()()(gntrtctc)()(tctc)205()()()()(gtrgntrtctc家庭行为－效用最大化（续）第一节拉姆齐问题由于C(t)(指每个工人的消费，而不是每单位有效劳动的消费)等于c(t)A(t)，因此C的增长率等于c的增长率加上A的增长率。从式(5-20)中可以看出，式中隐含着每个工人的消费以[r(t)-ρ]／θ的速率增长。因此，式(5-20)表明：如果实际报酬超过了家庭用于贴现未来消费的速率，每个工人的消费将上升。如果相反的情况出现，则每个工人的消费将下降。θ越小，随着消费的变化，其边际效用的变化就越少，从而为对实际利率与贴现率之间的差异作出反应，消费变动就越大。家庭行为－效用最大化（续）第一节拉姆齐问题方程(5-20)是求解这类最大化问题的著名的欧拉方程(Eulerequation)，也就是连续时间的随机形式(continuous-stochasticversion)。这一方程描述了在任何最优路径上都必须被满足的必要条件，因此这一条件也叫作凯思斯一拉姆齐规则(KeynesRamseyruleorcondition)。直觉上，欧拉方程描述了结定c(0)时，c必须随时间变化而变化。如果c不按照式(5-20)演化，那么家庭就会在不改变终生费用现值的条件下，用提高终生效用的方式重新安排其消费。这样，c(0)的选择就由如下条件决定：在所形成的路径上，终生消费的现值等于初始财富与未来收入的现值之和。当c(0)被选择得太低，沿满足式(5-20)路径上的消费支出并不会用尽其终生财富，因此，较高的路径是可能的。当c(0)确定得太高，消费支出大于其可用尽的终生财富，这种路径反而成为不可行。家庭行为－效用最大化（续）第一节拉姆齐问题家庭行为－效用最大化（续）整理可得欧拉方程。－并取对数，可得：两边同除以路径必需满足：。效用最大化的消费可以写成的速率增长，以。增加的数量为时刻，由于瞬时的报酬率为。为，上述变化的效用成本的边际效用是影响为零。变化对终生效用的边际）。最优化意味着这种和资本持有量保持不变假设其他时刻的消费时刻消费这部分收入（储蓄进行投资，并在，将新增的较短的时间的消费转化为储蓄，在即把较小的数量为减少，时刻，家庭将的消费。假设在某个考虑在连个连续时点间0])([)()()(])([)()()()(/)()()(