古典概率、几何概率

第1页，共10页古典概率、几何概率一、选择题1.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()A.18B.38C.58D.782.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为()A.56B.25C.16D.133.将一颗骰子掷两次，则第二次出现的点数是第一次出现的点数的3倍的概率为()A.118B.112C.16D.134.同时掷3枚硬币，最多有2枚正面向上的概率是()A.78B.58C.38D.185.已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△𝐴𝑃𝐵的最大边是AB”发生的概率为12，则𝐴𝐷𝐴𝐵=()A.√74B.14C.√32D.126.南宁市十二路公共汽车每5分钟一趟，某位同学每天乘十二路公共汽车上学，则他等车时间小于3分钟的概率为()A.25B.35C.15D.3107.在区间[0,1]上随机取两个数，则这两个数之和小于32的概率是()A.18B.38C.58D.788.在区间[−1,5]上随机地取一个实数a，则方程𝑥2−2𝑎𝑥+4𝑎−3=0有两个正根的概率为()A.23B.12C.38D.139.在以点O为圆心，1为半径的半圆弧上任取一点B，如图，则∆𝐴𝑂𝐵的面积大于14的概率为()A.13B.23C.12第2页，共10页D.3410.将长为的木棍随机分成两段，则两段长都大于的概率为()A.B.C.D.二、填空题11.通过调查发现，某班学生患近视的概率为0.4，现随机抽取该班的2名同学进行体检，则他们都不近似的概率是______．12.在面积为S的矩形ABCD内随机取一点P，则△𝑃𝐵𝐶的面积小于𝑆4的概率是______．13.在圆O上有一定点A，则从这个圆上任意取一点B，使得∠𝐴𝑂𝐵≤30∘的概率是______．三、解答题14.甲乙两人拿两颗骰子做投掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数，原掷骰子的人再继续掷，否则，由对方接着掷.第一次由甲开始掷．(1)分别求第二次、第三次由甲掷的概率；(2)求前4次抛掷中甲恰好掷两次的概率．15.某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230(Ⅰ)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；(Ⅱ)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学𝐴1，𝐴2，𝐴3，𝐴4，𝐴5，3名女同学𝐵1，𝐵2，𝐵3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求𝐴1被选中且𝐵1未被选中的概率．16.已知函数𝑓(𝑥)=−3𝑥 2+𝑎𝑥+𝑏，若a，b都是从区间[0,4]内任取一个数，求𝑓(1)0成立的概率．第3页，共10页17.如图所示，在边长为1的正方形OABC内任取一点P(x，y).(1)求△APB的面积大于41的概率；(2)求点P到原点的距离小于1的概率．18.甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去.求两人能会面的概率．第4页，共10页答案和解析【答案】1.D2.A3.A4.A5.A6.B7.D8.C9.A10.B11.0.3612.1213.1614.解：(1)投两颗骰子包含的基本事件为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)共36种．点数和为3的倍数有：(1,2)，(1,5)，(2,1)，(2,4)，(3,3)，(3,6)，(4,2)，(4,5)，(5,1)，(5,4)，(6,3)，(6,6)共12种，两骰子点数之和为3的倍数概率为：5×2+236=13，故第二次由甲投的概率为：𝑃=13．第三次由甲掷，包括两种情况：①甲投掷2次得到的点数之和都是3的倍数，概率为(13)2；或者是②甲投掷得到的点数之和不是3的倍数，乙投掷得到的点数之和也不是3的倍数，概率为23×23，故第三次由甲投的概率为：𝑃=(13)2+23×23=59．(2)求前4次抛掷中甲恰好掷两次的概率为𝑃=𝑃(甲甲乙乙)+𝑃(甲乙甲乙)+𝑃(甲乙乙甲)=13×23×13+23×23×23+23×13×23=1427．15.解：(Ⅰ)设“至少参加一个社团”为事件A；从45名同学中任选一名有45种选法，∴基本事件数为45；通过列表可知事件A的基本事件数为8+2+5=15；这是一个古典概型，∴𝑃(𝐴)=1545=13；(Ⅱ)从5名男同学中任选一个有5种选法，从3名女同学中任选一名有3种选法；∴从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人的选法有5×3=15，即基本事件总数为15；设“𝐴1被选中，而𝐵1未被选中”为事件B，显然事件B包含的基本事件数为2；这是一个古典概型，∴𝑃(𝐵)=215．16.解：∵函数𝑓(𝑥)=−3𝑥2+𝑎𝑥+𝑏，∴𝑓(1)=−3+𝑎+𝑏，𝑓(1)0即−3+𝑎+𝑏0，也就是𝑎+𝑏−30．第5页，共10页∵𝑎，b都是在区间[0,4]内任取一个数，∴0≤𝑎≤4，0≤𝑏≤4，可得点𝑀(𝑎,𝑏)所在的区域是由𝑎=0，𝑎=4，𝑏=0，𝑏=4四条直线围成的正方形．设满足𝑓(1)0的点为N，则N所在的区域是正方形内，且在直线𝑎+𝑏−3=0的上方，如图，即五边形ABCDE的内部，∵正方形面积为𝑆=4×4=16，五边形ABCDE的面积为𝑆1=𝑆正方形−𝑆∆𝑂𝐵𝐶=16−12×3×3=232，∴事件“𝑓(1)0”的概率为：𝑃=𝑆1𝑆=23216=2332．17.解：(1)如图，取线段BC，AO的中点E，F，连接EF，则当点P在线段EF上时，𝑆△𝐴𝑃𝐵=41，故满足条件的点P所在的区域为矩形𝑂𝐹𝐸𝐶(阴影部分)．故所求概率为𝑆阴影𝑆正方形=12．②所有的点P构成正方形区域D，若点P到原点距离小于1，则𝑥2+𝑦21所以符合条件的点P构成的区域是圆𝑥2+𝑦2=1在第一象限所围的平面部分(图中阴影部分)．∴点P到原点距离小于1的概率为𝑆阴影𝑆正方形=𝜋4．18.解：由题意知本题是一个几何概型，∵试验发生包含的所有事件对应的集合是𝛺={(𝑥,𝑦)|0第6页，共10页𝑥60，0𝑦60}集合对应的面积是边长为60的正方形的面积𝑆𝛺=60×60，而满足条件的事件对应的集合是𝐴={(𝑥,𝑦)|0𝑥60，0𝑦60，|𝑥−𝑦|≤15}得到𝑆𝐴=60×60−(60−15)×(60−15)∴两人能够会面的概率𝑃=60×60−(60−15)×(60−15)60×60=716，∴两人能够会面的概率是716．【解析】1.解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有24−2=16−2=14种情况，∴所求概率为1416=78．故选：D．求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．2.解：∵甲不输与甲、乙两人下成和棋是互斥事件．∴根据互斥事件的概率计算公式可知：甲不输的概率𝑃=13+12=56．故选：A．利用互斥事件的概率加法公式即可得出．本题考查互斥事件与对立事件的概率公式，关键是判断出事件的关系，然后选择合适的概率公式，属于基础题．3.解：一颗骰子掷两次，共有36种．满足条件的情况有(1,3)，(2,6)，共2种，∴所求的概率𝑃=236=118．故选：A．列出基本事件，求出基本事件数，找出满足第二次出现的点数是第一次出现的点数的3倍的种数，再根据概率公式解答即可本题主要考查了列举法计算基本事件数及事件发生的概率，解题的关键是要做到不重复不遗漏，属于基础题．4.解：同时掷3枚硬币，基本事件总数𝑛=23=8，最多有2枚正面向上的对立事件是三枚硬全都正面向上，∴最多有2枚正面向上的概率：𝑝=1−𝐶33(12)3=78．故选：A．最多有2枚正面向上的对立事件是三枚硬全都正面向上，由此利用对立事件概率计算公式能求出最多有2枚正面向上的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．5.【分析】第7页，共10页本题主要考查了几何概型，关键是合理设置常数，从而得到关系式，由于运算量较大，故较难．【解答】解：设𝐴𝐵=1，𝐴𝐷=𝑚，记事件𝐴=“在矩形ABD的边CD随机取P使△𝐴𝑃𝐵的最大边AB”，则𝑈𝛺=𝐶𝐷=1,𝑈𝐴=𝐸𝐹，其中P位于E时，𝐵𝐸=𝐴𝐵=1，P位于F时，𝐴𝐹=𝐴𝐵=1．由题意可知，𝑃(𝐴)=𝑈𝐴𝑈𝛺=𝐸𝐹𝐶𝐷=12，所以𝐷𝐸=𝐶𝐹=14．在直角三角形ECB中，𝐵𝐶=𝑚，𝐸𝐶=34，𝐵𝐸=1，所以916+𝑚2=1，解得𝑚=√74，所以𝐴𝐷𝐴𝐵=𝑚=√74．故选A.6.解：由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是汽车5分钟一班准时到达车站，时间长度是5，而满足条件的事件是任一人在该车站等车时间少于3分钟的时间长度是3，由几何概型概率公式得到𝑃=35，故选：B．由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是汽车5分钟一班准时到达车站.而满足条件的事件是任一人在该车站等车时间少于3分钟，根据几何概型概率公式得到结果．本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到．7.解：设取出的两个数为x、y，则有0≤𝑥≤1，0≤𝑦≤1，其表示的区域为纵横坐标都在[0,1]之间的正方形区域，易得其面积为1，而𝑥+𝑦1.5表示的区域为直线𝑥+𝑦=1.5下方，且在0≤𝑥≤1，0≤𝑦≤1表示区域内部的部分，第8页，共10页易得其面积为1−18=78，则两数之和小于1.5的概率是78．故选：D．设取出的两个数为x、y，则可得“0≤𝑥≤1，0≤𝑦≤1”表示的区域为纵横坐标都在[0,1]之间的正方形区域，易得其面积为1，而𝑥+𝑦1.5表示的区域为直线𝑥+𝑦=1.5下方，且在0≤𝑥≤1，0≤𝑦≤1所表示区域内部的部分，分别计算其面积，由几何概型的计算公式可得答案．本题考查几何概型的计算，解题的关键在于用平面区域表示出题干的代数关系．8.解：若方程𝑥2−2𝑎𝑥+4𝑎−3=0有两个正根，则满足{△=4𝑎2−4(4𝑎−3)=4(𝑎2−4𝑎+3)≥04𝑎−302𝑎0，即{𝑎≥3或𝑎≤1𝑎34𝑎0，得34𝑎≤1或𝑎≥3，∵−1≤𝑎≤5则对应的概率𝑃=1−345−(−1)+5−35−(−1)=124+13=38，故选：C根据根与系数之间的关系，求出a的取值范围，结合几何概型的概率公式进行计算即可．本题主要考查几何概型的概率的计算，根据根与系数之间的关系求出a的取值范围是解决本题的关键．9.【分析】本题考查利用几何概型求概率，由弧长的比求解．【解答】解：半圆弧上任取一点B，弧长为𝜋，要使∆𝐴𝑂𝐵的面积大于14，则高大于12，所以120∘∠𝐴𝑂𝐵60∘，所以B所在的弧长为𝜋3×1=𝜋3，故所求概率为𝜋3𝜋=13，故选A．10.【分析】本题考查几何概型，解答的关键是将原问题转化为几何概型问题后应用几何概率的计算公式求解．由题意可得，属于与区间长度有关的几何概率模型，试验的全部区域长度为9，基本事件的区域长度为5，代入几何概率公式可求．【解答】第9页，共10页解：设“长为9cm的木棍”对应区间[0,9]，“两段长都大于2cm”为事件A，则满足A的区间为[2,7]，根据几何概率的计算公式可得𝑃(𝐴)=7−29−0=59．故选B．11.解：由题意可得每个学生不近视的概率为0.