《大学物理学》习题解答(第11章-静电场)

1第11章静电场【11-1】有两个相距为2a，电荷均为+q的点电荷。今在它们连线的垂直平分线上悬挂另一个点电荷q，q与连线相距为b。试求：（1）q所受的电场力；（2）q放在哪一位置处，所受的电场力最大？解（1）如图jiF22222201)(41babbaabaqqjiF22222202)(41babbaabaqqq所受的合力为jFFF2322021)(2baqbq如果电荷q与q同号，F方向与y轴同向；如果q与q异号，F方向与y轴反向。（2）令0ddbF，即2223222520d13[]0d2()()Fqqbbabab可得2ab由于2222227202d3(23)0d2()abFqqbbabab，所以，当2ab时，q所受的电场力最大。11-2如图所示，质量为m的两小球带等量同号电量q，现用长为l的细线悬挂于空间同点。（1）试证明：当很小且两球平衡时，则有31022mglqx，式中x为两球间的距离。（2）试求：当120lcm，150mg，5xcm时，q的值？（3）如果每个球都以911.010Cs的变化率失去电荷，求两球彼此趋近的瞬时相对速率（即ddxt）是多少？解（1）如图所示，小球平衡时，FTsin,mgTcos,2024xqF则2024tanxqmg，很小时，tansin2xl，因此31022mglqx（2）由上式解出302xqmglqqaaFF1F2q'bxqqlFmgT2以1.2lm，0.15mkg，0.05xm代入上式得31280.0523.148.85100.159.829.23101.2qC(3)322009418223320.05(1.010)3.6110ms39.2310dxdxdqqlqldqxdqvdtdqdtmgmgdtqdt负号表示x减小，即两球彼此趋近。【11.3】两个点电荷所带电荷之和为Q，问它们各带电荷为多少时，相互间的作用力最大？解两点电荷之间的库仑力201()4QqqFr由极值条件0ddqF，得12qQ因021dd2022rqF，这表明两电荷平分电荷Q时，相互作用力最大。【11.4】若电荷Q均匀地分布在长为L的细棒上。求证：（1）在棒的延长线，且离棒中心为r处的电场强度大小为22014QErL（2）在棒的垂直平分线上，离棒为r处的电场强度大小为220421LrQrE若棒为无限长（即L），试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较。证（1）延长线上一点P，取xLQqdd，则222220001111[]4()4224LPLQdxQQELrxLrLrLrL（2）若点P在棒的垂直平分线上，因对称性，E沿x轴方向的分量叠加为零，因此，E的方向沿y轴，大小为20sin4LdqEr由于sinrr，22rrx，则22232222001d14()24LLrQxQELxrrLr当L时，若棒单位长度所带电荷为常量，则22001lim2214LQLErrrLxdEdEydx3【11.5】一半径为R的半圆细环上均匀的分布电荷Q，求环心处的电场强度。解取坐标Oxy，电荷元dddRlq，由点电荷场强公式204RdqdEeR由于电荷对称分布，场强也对称，则：0xxEdE00ddsinsin4yyEEEdR2202QR负号表示E方向沿y轴负方向。【11.6】一半径为R的半球壳，均匀地带有电荷，电荷面密度为，求球心处电场强度的大小。解将半球壳分割为一组平行细圆环，取任一个微元圆环，所带电荷2dd2sindqSR在点O激发的电场强度为iE232204ddrxqx由于cosxR，sinrR，则222223230000200011cos2sin4()4sincos24xdqREdERdxrRd【11.7】半径为R的带电圆盘，其电荷面密度沿圆盘半径呈线性变化，为0(1)rR。试求在圆盘轴线上距圆盘中心O为x处的场强E。解把圆盘分为许多同轴圆环带，取一与原点相距为r，带宽为dr的圆环带，其上带电量为dd2dqsrr，利用均匀带电圆环轴线上的场强公式，有0223222322232000(1/)224()4()4()PxrRrdrxdqxrdrxdErxrxrx对于整个带电圆盘来说，有22002232000(1/)dd1ln2()2RPPxPxxrRrrxRRxEEErxRx【11.8】有一无限长带电直线，电荷线密度为1，另有一长为l的均匀带电细棒，电荷线密度为2。棒与直线在同一平面内，且棒垂直于直线，如图所示。棒的一端与直线距离为d，求它们的相互作用力。【解】无限长带电直线产生的场强为102Erld习题11－8图12dExydldxRddS4在距长直带电线为r处取电荷元2ddqr，则120ddd2FEqrr整个带电细棒所受的电场力为121200dddln()22dldrdlFFEqrd【11-9】两条无限长平行直导线相距为0r，均匀带有等量异号电荷，电荷线密度为。试求：（1）两导线构成的平面上任一点的电场强度（设该点p到其中一线的垂直距离为x）；（2）每一根导线上单位长度受到另一根导线上电荷作用的电场力。【解】（1）E+、E－分别表示正，负带电导线在P点的电场强度，则有0000011ˆˆ22()rEEEiixrxxrx（2）设F+、F－分别表示正，负带电导线单位长度所受的电场力，则有200ˆ2FEir；200ˆ2FEir显然有F+=－F－，相互作用力大小相等，方向相反，两导线相互吸引。【11.10】设匀强电场的电场强度E与半径为R的半球面的对称轴平行，试计算通过此半球面的电场强度通量。【解】垂直E方向作半径为R的平面S，根据电场线的性质，穿过平面S的电场强度通量在数值上等于穿出半球面S的电场强度通量。因而22cosddRERESSSESE【11.11】边长为a的立方体如图所示，其表面分别平行于xy，yz和zx平面，立方体的一个顶点为坐标原点。现将立方体置于电场强度12()EkxEEij的非均匀电场中，求立方体各表面及整个立方体表面的电场强度通量。【11.11解】如题图所0OABCDEFG2221d)(daESEkxESSABGFjjiSE22CDEOABGFEa2121)d()(daESEESSAOEFijiSE2121)(d)(dakxESEkxESSBCDGijiSE因此，整个立方体表面的电场强度通量3ka【11.12】设在半径为R的球体内，其电荷为对称分布，电荷体密度为kr，（0rR）；0，（rR）k为一常量。试用高斯定理求电场强度E与r的函数关系。习题11－11图xOyzABCDEF5【11.12解】球体内(0)rR，2240001()44drkErrkrrrr，rkrreE024)(球体外()rR，2240001()44dRkErrkrrrR，rrkRreE2024)(【11.13】一球壳体的内半径为1R，外半径为2R，壳体内均匀地分布着电荷体密度为的电荷。求离球心为r处的E，并画出Er曲线。【11.13解】由高斯定理，球壳内1rR，该高斯面内无电荷0q，故01E球壳间12()RrR，高斯面内电荷3314()3qrR，故rrRreE2021323)(球壳外2()rR，高斯面内电荷33214()3qRR，故rrRReE20213233)(【11.14】一无限大均匀带电薄平板，电荷面密度为，在平板中部有一半径为r的圆孔。求圆孔中心轴线上与平板相距为x的一点P的电场强度。解用补偿法求解，把小圆孔看作有等量的正，负电荷重叠而成。在带电平面附近neE012，ne为沿平面外法线的单位矢量；圆盘激发的电场nrxxeE))1(22202合电场为nrxxeEEE)222021在圆孔中心处0x，则0E在距离圆孔较远时xr，则nnxrxeeE02220212【11.15】如图所示，在电荷体密度为的均匀带电球体中，存在一个球形空腔，若将带电体球心O指向球形空腔球心O的矢量用a表示。试证明球形空腔中任一点的电场强度为aE03证用补偿法求解。挖去球形空腔的带电球体在电学上等效于一个完整的，电荷体密度为的均匀带电球和一个电荷体密度为，球心在O的带电小球（半径等于空腔球体的半径）。利用带电球体内部一点的电场强度公式rE03习题11.15图OOapxr6大球在空腔内任一P点的电场1013rE；小球在空腔内任一P点的电场2023rE；则P点的电场强度)(321021rrEEE根据几何关系arr21，上式可改写为aE03【11.16】半径为R的无限长圆柱，柱内电荷体密度2arbr，r为某点到圆柱轴线的距离，,ab为常量。试求带电圆柱内外电场分布。【11.16解】作长为l，半径为r，与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面S。当rR时，高斯面S内20()d()2drVSqVarbrrlr342()34ablrr由高斯定理可得：2304312arbrE，（rR）当rR时，20()d()2dRVSqVarbrrlr342()34ablRR由高斯定理可得3404312aRbREr，（rR）【11.17】一个内外半径分别为1R和2R的均匀带电球壳，总电荷为1Q，球壳外同心罩一个半径为3R的均匀带电球面，球面带电荷为2Q。求电场分布。电场强度是否是场点与球心的距离r的连续函数？试分析。【11.17解】1rR，该高斯面内无电荷，0q，故10E12RrR，高斯面内33113321()()QrRqRR，由高斯定理得33112233021()14()QrRErRR23RrR，高斯面内电荷为1Q，由高斯定理得13204QEr3rR，高斯面内电荷为12QQ，由高斯定理得124204QQEr在带电球面的两侧，电场强度的左右极限不同，电场强度不连续，而在紧贴3rR的带电球面两侧，电场强度的跃变量24320304QEEERar1r27【11.18】两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为1R和2R（21RR），单位长度上的电荷为。求离轴线为r处的电场强度：（1）rR，（2）12RrR，（3）2rR。【11.18解】取同轴圆柱面为高斯面，由高斯定理，得1rR，0q，10E12RrR，qL，2012ErLL，202Er2rR，()0qL，30E在带电面附近，电场强度大小不连续，2100022LEEErrL【11.19】如图所示，有三个点电荷1Q、2Q、3Q沿一条直线等间距分布，已知其中任一点电荷所受合力