人教版必修二第二章测试题

第二章测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.给出下列语句:①桌面就是一个平面；②一个平面长3m，宽2m;③平面内有无数个点，平面可以看成点的集合;④空间图形是由空间的点，线，面所构成的.其中正确的个数为（）A.1B.2C.3D.42.已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是（）A.1B.4C.1或3D.1或43.空间四边形ABCD（如右图）中，若AD⊥BC，BD⊥AD，则有（）A.平面ABC⊥平面ADCB.平面ABC⊥平面ADBC.平面ABC⊥平面DBCD.平面ADC⊥平面DBC4.若a∥b，a⊥α，b∥β，则（）A.α∥βB.b∥αC.α⊥βD.a⊥β5.在空间四边形ABCD（如右下图）各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF与GH相交于点P，那么（）A.点P必在直线AC上B.点P必在直线BD上C.点P必在平面DBC内D.点P必在平面ABC外6.下面四个命题：①若直线a与b异面，b与c异面，则a与c异面；②若直线a与b相交，b与c相交，则a与c相交；③若直线a∥b，b∥c，则a∥b∥c；④若直线a∥b，则a，b与直线c所成的角相等.其中真命题的个数是（）A．4B．3C．2D．17.在正方体中（如右下图），与平面所成的角的大小是（）A．90°B．60°C．45°D．30°8.如下图，设四面体各棱长均相等，分别为AC、AD中点，则在该四面体的面上的射影是下图中的（）．BA1DDBB11ABCDFE、BEFABCABCDEFADCB9.如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使面ABD⊥面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为（）．A.1B.2C.3D.410.异面直线a与b分别在平面α，β内，α与β交于直线l，则直线l与a，b的位置关系一定是（）A.l至少与a，b中的一条相交B.l至多与a，b中的一条相交C.l至少与a，b中的一条平行D.l与a，b都相交11.在如下图所示的四个正方体中，能得出AB⊥CD的是（）．12.三棱锥P-ABC的所有棱长都相等，D、E、F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（）．A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面ABCD.平面PAE⊥平面ABC二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）13．已知两条相交直线，，∥平面，则与的位置关系是．abab14.如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由过顶点的平面和直线构成的“正交线面对”的个数是______.15．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，以下四个命题:①与平行；②与是异面直线；③与成60°；④与垂直.其中正确的有（写出所有正确命题的序号）.16．已知平面和直线，给出条件：①；②；③；④；⑤．（1）当满足条件时，有；（2）当满足条件时，有．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）如图所示，将边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成二面角A-BD-C，使AC=a，求证：平面ABD⊥平面CBD.18.如图，在正方体中，、、分别是、、的中点.求证：平面∥平面.19.（12分）多面体P-ABCD的直观图及三视图如图所示，其中正视图、侧视图是等腰直角三角形，俯视图是正方形，E、F、G分别为PC、PD、BC的中点.（1）求证：PA∥平面EFG；（2）求三棱锥P-EFG的体积.BMEDCNBECNBMCNAF,m//mmm////mm1111ABCDABCDEFGABAD11CD1DEFBDGFEACBDNM20．（12分）如右图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱⊥底面，，是的中点，作交于点（1）证明平面；（2）证明平面．21．（12分）如下图所示，正方形和矩形所在平面相互垂直，是的中点．（1）求证：；（2）若直线与平面成45o角，求异面直线与所成角的余弦值．22.（14分）.在几何体中，，⊥平面，⊥平面，，．（1）设平面与平面的交线为直线，求证：∥平面；（2）在棱上是否存在一点使得平面⊥平面．ABCDPABCDPDABCDDCPDEPCPBEFPBF//PAEDBPBDEFABCDADEFGAFACEDBEABCDGEACABCDE2BACDCABCEBABCACAB2BE1CDABEACDllBCDEBCFAFDAFEPABCDEF参考答案一、选择题1.选B.平面是不能定义的原始概念，具有无限延展性，无长度、厚度之分，空间中的点构成线、线构成面，所以四种说法中①②不正确.2.选D.当四点共面时，可形成平面四边形，确定一个平面.当四点不在同一平面内时，连接四点可形成四面体，可确定4个平面.3.选D.∵AD⊥BC，AD⊥BD，∴AD⊥面BCD，又AD⊂平面ADC，∴面ADC⊥面BCD.4.选C.∵a∥b，a⊥α，∴b⊥α，∵a∥b，b∥β，∴在β内有与b平行的直线，设为c，又∵b⊥α，∴c⊥α，又∵c⊂β，∴α⊥β.5.选A.∵EF∩GH=P，∴P∈EF，又∵EF面ABC，∴P∈面ABC，同理P∈GH，∴P∈面ACD，∴P在面ABC与面ACD的交线AC上.6.选C.①中a与c可能异面、相交或平行；②中a与c可能异面、相交或平行；③是平行公理；④显然正确.故③④正确.7.选D.如图，A1在平面BB1D1D上的射影为B1D1的中点O1，设正方体棱长为1，则A1B=，A1O1=，所以sin∠A1BO1=，因此与平面所成的角∠A1BO1=30°.8.选B.如图，因为点D在平面ABC上的射影为正三角形ABC的中心O，因此点F的射影为AO的中点F′，因此在该四面体的面上的射影是图B.9.选C.折叠后，∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AB⊥BD，AB平面ABD，∴AB⊥平面BCD，AB平面ABC，∴平面ABC⊥平面BCD，∴AB⊥BC，同理CD⊥BD，CD平面BCD，∴CD⊥平面ABD，又∵CD平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABD，互相垂直的平面有：平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，平面ACD⊥平面ABD共3对.10.选A.若a，b与l都不相交，∵a，l共面，b，l共面，∴a∥l，b∥l，∴a∥b与a，b异面矛盾，∴a，b都与l不相交不可能，故A正确.22212BA1DDBB11BEFABC11.选A.A中，∵CD⊥平面AMB，∴CD⊥AB;B中，AB与CD成60°角;C中，AB与CD成45°角;D中，AB与CD成角的正切值为2.12.选C.∵BC∥DF，∴BC∥平面PDF，A正确；∵BC⊥PE，BC⊥AE，∴BC⊥平面PAE.又∵DF∥BC，∴DF⊥平面PAE，B正确；∵BC⊥平面PAE，BC平面ABC，∴平面PAE⊥平面ABC，D正确.二、填空题13．因为直线与平面α没有公共点，因此直线b不会在平面α内，即直线b在平面α外，所以直线b与平面α可能平行，可能相交.答案：相交或平行.14.正方体的一条棱对应着2个“正交线面对”，12条棱共对应着24个“正交线面对”；正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”，12条面对角线对应着12个“正交线面对”，共有36个.答案：3615．如图，作出正方体原图，容易在图形中得出，①②是错误的；因为CN∥BE，所以与所成角即为∠EBM=60°，而AF⊥BE，所以AF⊥CN.答案：③④16．（1）在所给条件①②③④⑤中，①②③是互斥的条件，即一个成立，另两个肯定不成立；④⑤也是互斥的条件.当具备条件③⑤时，成立；当具备条件②⑤时，.答案：（1）③⑤；（2）②⑤.三、解答题17.【证明】设原正方形的对角线AC和BD交于点O，则折叠后仍有AO⊥BD，CO⊥BD，∴∠AOC是二面角A-BD-C的平面角.∵AC=a，AO=CO=22a，∴AC2=a2=AO2+CO2，∴∠AOC=90°，二面角A-BD-C是直二面角，即平面ABD⊥平面CBD.18.【证明】∵、分别是、的中点，∴∥，又平面，平面，∴∥平面，∴四边形为平行四边形，∴∥，又平面，平面，∴∥平面.又，∴平面∥平面.19.【证明】（1）方法一：如图，取AD的中点H，连接GH，FH.∵E、F分别为PC、PD的中点，∴EF∥CD.∵G、H分别为BC、AD的中点，∴GH∥CD，∴EF∥GH，∴E、F、H、G四点共面.∵F、H分别为DP、DA的中点，∴PA∥FH.∵PA平面EFG，FH平面EFG，∴PA∥平面CNBM//mmEFABADEFBDEFBDGBDBDGEFBDG1DGEB1DGBE1DEGB1DEBDGGBBDG1DEBDG1EFDEE1DEFBDGEFG.方法二：∵E、F、G分别为PC、PD、BC的中点.∴EF∥CD，EG∥PB.∵CD∥AB，∴EF∥AB.∵PB∩AB=B，EF∩EG=E，∴平面EFG∥平面PAB.∵PA平面PAB，∴PA∥平面EFG.（2）由三视图可知，PD⊥平面ABCD，又∵GC平面ABCD，∴GC⊥PD.∵四边形ABCD为正方形，∴GC⊥CD.∵PD∩CD=D，∴GC⊥平面PCD.∵PF=12PD=1，EF=12CD=1，∴S△PEF=12EF·PF=12.∵GC=12BC=1，∴VP-EFG=VG-PEF=13S△PEF·GC=13×12×1=16.20．【证明】（1）连接AC，AC交BD于O，连接EO．∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点在中，EO是中位线，∴PA//EO而平面EDB且平面EDB，∴PA//平面EDB（2）∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD，∴∵PD=DC，可知是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，∴．①同理：由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC．∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC，而平面PDC，∴．②由①和②推得平面PBC．而平面PBC，∴，又且，∴PB⊥平面EFD．21．【证明】（1）在矩形中，，∵平面平面，且平面平面，∴，∴.（2）由（1）知：，∴是直线与平面所成的角，即.PACEOPADCDCPDPDCPCDEDEDEBCDEPBPBDEPBEFEEFDEADEFADEDADEFABCDADEFABCDADABCDED平面ACEDABCDED平面EDBBEABCDEDB45PABCDEF设，取，连接，∵是的中点，∴，∴是异面直线与所成角或其补角.连接交于点，∵，的中点，∴，∴.∴异面直线与所成角的余弦值为．22.【证明】（1）∵CD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，∴CD//BE，∴CD//平面ABE，又l=平面ACD∩平面ABE，∴CD//l，又平面BCDE，CD平面BCDE，∴l//平面BCDE．（2）存在，F是BC的中点，下加以证明：∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥AF.AB=AC，F是BC的中点，∴，∴．∴，∴是面和面所成二面角的平面角.在△中，FD=，∴FD⊥FE，即，∴平面AFD⊥平面AFE.aBDDEaAB2,则MDE中点AMGAFGEAM//MACGEACBDACOaaaCMAM26)22(22ACO是ACMO332622cosaaAMAOMACGEAC33lBCAFBCDEAF平面EFAFDFAF,DFEAFDAFEDEF3,6,3DEFE90DFE