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2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定知识梳理1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：aαbβ=a∥αa∥b知能训练一．选择题1．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n2．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则（）A．α内存在直线与l异面B．α内存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交3．如图，M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列命题①过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交；②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行．其中真命题是（）A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③4．正方体ABCD-A1B1C1D1中M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点．P在对角线BD1上，且BP＝BD1，给出下面四个命题：（1）MN∥面APC；（2）C1Q∥面APC；（3）A，P，M三点共线；（4）面MNQ∥面APC．正确的序号为（）A．（1）（2）B．（1）（4）C．（2）（3）D．（3）（4）5．在正方体ABCD-A1B1C1D1的各个顶点与各棱中点共20个点中，任取两点连成直线，所连的直线中与A1BC1平行的直线共有（）A．12条B．18条C．21条D．24条6．直线a∥平面α，P∈α，那么过P且平行于a的直线（）A．只有一条，不在平面α内B．有无数条，不一定在平面α内C．只有一条，且在平面α内D．有无数条，一定在平面α内7．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的（）A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线不相交8．如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与平面AB1C平行的直线是（）A．DD1B．A1D1C．C1D1D．A1D9．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点D为AC的中点，点D1是A1C1上的一点，若BC1∥平面AB1D1，则等于（）A．1/2B．1C．2D．310．下面四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是（）A．①②B．①④C．②③D．③④11．如图，正方体的棱长为1，线段B′D′上有两个动点E，F，EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A-BEF的体积为定值D．异面直线AE，BF所成的角为定值二．填空题12．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，M分别是棱AD，DD1，D1A1，A1A，AB的中点，点N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则当N只需满足条件时，就有MN⊥A1C1；当N只需满足条件时，就有MN∥平面B1D1C．13．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于．三．解答题14．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1=AB=2．（1）求证：AB1∥平面BC1D；（2）若BC=3，求三棱锥D-BC1C的体积．2.2.2平面与平面平行的判定知识梳理1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示：aβbβa∩b=pβ∥a∥b∥2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。知能训练一．选择题1．已知两个不重合的平面α，β，给定以下条件：①α内不共线的三点到β的距离相等；②l，m是α内的两条直线，且l∥β，m∥β；③l，m是两条异面直线，且l∥α，l∥β，m∥α，m∥β；其中可以判定α∥β的是（）A．①B．②C．①③D．③2．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（）A．α、β都垂直于平面rB．α内存在不共线的三点到β的距离相等C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥βD．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β3．如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面的位置关系（）A．平行B．相交C．异面D．以上都不对二．填空题4．一条直线和一个平面平行，过此直线和这个平面平行的平面有个．5．下列四个命题：①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③平行于两条相交直线的两个平面平行；④与无数条直线都平行的两个平面平行．则其中正确命题的序号是．三．解答题6．如图四棱柱ABCD-A′B′C′D′的底面是正方形，O是底面的中心，A′O=1，AB=AA′=A′D=A′B=．（1）证明：平面A′BD∥平面B′CD′；（2）求三棱锥C-ADD′的体积VC-ADD′．7．如图所示，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，AB=2，PA=2，M是PA的中点．（1）求证：平面PCD∥平面MBE；（2）求四棱锥M-BCDE的体积．2.2.3—2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质知识梳理1、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。符号表示：a∥αaβa∥bα∩β=b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。2、两个平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示：∥∩γ=aa∥b∩γ=b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行知能训练一．填空题1．如图所示，ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP=，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ=．2．棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C、M、D1作正方体的截面，则截面的面积是．3．设平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS=8，BS=6，CS=12，则SD=．4．如图，平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点P，且AP=1，BP=4，CD=6，那么CP=．5．P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA、PB、PC于A1、B1、C1，若PA1：A1A=2：3，则S△A1B1C1：S△ABC=．二．解答题（共2小题）6．如图，几何体ABCD-B1C1D1中，四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，AB=a，面B1C1D1∥面ABCD，BB1、CC1、DD1都垂直于面ABCD，且BB1＝a，E为CC1的中点．（Ⅰ）求证：△DB1E为等腰直角三角形；（Ⅱ）求证：AC∥面DB1E．7．如图，α∥β∥γ，直线a与b分别交α，β，γ于点A，B，C和点D，E，F，求证：AB：BC=DE：EF．【参考答案】2.2.11.D2.A3.C4.C5.D6.C7.D8.D9.B10.A11.D12.点N在EG上；点N在EH上13.14.解：（1）证明：连接B1C，设B1C与BC1相交于O，连接OD，∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴点O为B1C的中点．∵D为AC的中点，∴OD为△AB1C的中位线，∴OD∥B1A．OD⊂平BC1D，AB1⊄平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D．（2）∵三棱柱ABC-A1B1C1，∴侧棱CC1∥AA1，又∵AA1底面ABC，∴侧棱CC1⊥面ABC，故CC1为三棱锥C1-BCD的高，A1A=CC1=2，∴S△BCD＝S△ABC＝(BC•AB)＝．∴VD−BCC1＝VC1−BCD＝CC1•S△BCD＝•2•＝1．2.2.21.D2.D3.A4.15.②③6.（1）证明：在四棱柱中，∵BC∥A′D′，且BC=A′D′，∴A′BCD′是平行四边形，∴A′B∥CD′，又∵A′B⊄平面B′CD′，CD′⊂B′CD′，∴A′B∥面B′CD′，又A′B⊂面A′BD，A′D⊂面A′BD，且A′B∩A′D=A′，∴平面A′BD∥平面B′CD′．（2）解：∵A′O=1，AB=AA′=A′D=．∴A′O2+OA2=AA'2，A′O2+OB2=A′B2，∴A′O⊥OA，A′O⊥OB，∴A′O⊥平面ABCD，∴VC-ADD′=VD′-ACD=VA′-ACD=S△ACD•A′O=．7.解：（1）证明：连接AD交BE于点G，连接MG，则点G是正六边形的中心，所以G是线段AD的中点∵M是PA的中点，∴MG∥PD∵PD⊄平面MBE，MG⊂平面MBE∴PD∥平面MBE∵DC∥BE，DC⊄平面MBE，BE⊂平面MBE∴DC∥平面MBE∵PD∩DC=D∴平面PCD∥平面MBE；（2）因为六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，AB=2，PA=2，M是PA的中点，所以所求棱锥的高为，底面面积为3××22=3．所以所求棱锥的体积为：×3×=．2.2.31.2.3.94.25.4:256.7.证明：连接AF，交β于G，连BG，EG，（3分）则由β∥γ得AB:BC=AG:GF.．（7分）由α∥β得AG:GF=DE:EF，（10分）所以AB:BC=DE:EF．（12分）