第3章-线性方程组

1第3章线性方程组线性方程组是线性代数研究的主要对象之一.在这一章里，我们首先介绍线性方程组的高斯消元法，由浅入深地讨论一般线性方程组解的存在性，最后讨论解的结构和求解方法.2第3章线性方程组第3.1节线性方程组的概念第3.2节高斯消元法第3.3节线性方程组解的结构3第3.1节线性方程组的概念教学目的：掌握n元线性方程组概念及三角形方程组和梯形方程组教学重点：三角形方程组和梯形方程组教学难点：梯形方程组有解的充要条件教学方法：讲授教学步骤：如下：4定义3.1.1称其中xi为变量，ai为常量（i=1，2，…，n）.bxaxaxann2211定理3.1.1设非零线性方程的非零首项变量xp，则有bxaxaxann2211为n元线性方程，)(,npkkkppjjcabaxpjcx11:有如下的解即线性方程bxaxaxann2211这里,当cj为一个定值时,为特解;当cj∈R时为方程的通解或一般解.（1）对jp的任一组值xj,可以得到方程的一个特解；这里称变量xj为自由变量，自由变量即可以任意取值的变量；（2）由（1）可以求得方程的任一个解和解集合，这个解集合称为方程的通解或一般解.5例3（1）求这个线性方程的三个特解.（2）求这个线性方程的一般解（通解）解842321xxx设三元线性方程（1）这里x1为非零首项未知元，x2,x3为自由变量，给x2,x3取任意值，可以解得x1.对自由变量常用如下取值方法:;,,,400132xxx得代入原方程令;),,(为方程组一个特解或故Txxx0040043216续(2)为求得线性方程的一般解，需要给自由变量x2,x3取任意值，这里不妨设x2=c1;x3=c2,,c1,c2∈R,得故;6,,0,1132xxx得代入原方程令;),,(为方程组一个特解或故Txxx016016321;,,,2710132xxx得代入原方程令;),,(为方程组一个特解或故Txxx102710273212112124ccx7为原线性方程的通解，其中c1,c2为参数.或Rcccxcxccx2123122112124,,Rcccc21211021012004,,参数形式通解向量形式通解842321xxx三元线性方程82.n个变量m个方程的线性方程组设二元线性方程组2222111211byaxabyaxa(*)下面用图示和例子说明方程组(*)有解（包括有惟一解和有无穷组解）以及无解的情形.已知当系数行列式不为零时，二元线性方程组有惟一解,即时021122211aaaa211222111122222211222111212111aaaababaxaaaababax,9图示例如323yxyx-2-112123456223yxyx-2-1122345方程组有惟一解情形-2-112-1123456221yxyx方程组有无穷解情形方程组无解情形10例4.a,b为何值时,下面线性方程组无解,有惟一解,有无穷解?解bayxyx352a=6,b≠-15时无解.这时两个方程表示的直线相互平行，没有交点.a≠6时,由克莱姆法则,该方程组有惟一解,此时两个方程表示的平面直线有一个交点;a=6,b=-15时,显然一个方程的任意一组解均为该方程组的解，即该方程组有无穷多组解;这时方程表示的两条直线重合.11注二元线性方程组解的讨论，可以类似地推广到n元的情形.为求该方程组的一般解，只须求x-2y=5的全部解即可.不妨取y=c，c为任意常数，解得x=5+2c，故对应该方程组的一般解为Rccycx,251205cyx或表示为向量形式：12定义3.1.3n个变量m个方程的线性方程组称作n元线性方程组,形如当常数项bi不全为0时,称该方程组为非齐次线性方程组;当常数项bi全为零时,称之为齐次线性方程组,也称作非齐次线性方程组的导出组.mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa2112222212111212111其中xj为变量，aij为第i个方程变量xj的系数，bi为第i个方程的常数项,这里i=1，2，…m;j=1，2，…，n）.称满足以上方程组的一个有序数组为方程组的一个解,一般记作nnkxkxkx,,,2211列向量(列矩阵)形式为Tnkkk,,,,2113说明当线性方程组有无穷多解时,其全部解的集合称为方程组的通解或一般解.当线性方程组有解时,称方程组是相容的,否则便是不相容的.“解方程组”,就是判断线性方程组是否有解,在有解时求得满足方程组的惟一解或全部的解(通解)的过程.“解线性方程组”常用方法为高斯消元法.消元过程中需要反复应用线性方程组的初等变换.14定义3.1.4以下三种变换统称为线性方程组的初等变换(以Lj,Lj表示第i或第j个方程)：(1)交换两个方程，记作以上初等变换的逆变换分别为（1）交换两个方程，记作；jiLL0kkLi0kkLLji,jiLL01kLki0kLkLji)((2)第i个方程乘以非零常数k，记作(3)以非零常数k乘以方程加到方程，记作（2）第i个方程乘以非零常数1/k，记作；（3）以非零常数k乘以方程加到方程，记作15说明如果线性方程组（Ⅰ）经过一次初等变换化为线性方程组（Ⅱ），则称方程组（Ⅰ）、（Ⅱ）是同解方程组，也称方程组（Ⅰ）与方程组（Ⅱ）等价.线性方程组等价，满足自反性，对称性和传递性.线性方程组经过有限次初等变换后所得方程组与原方程组等价.经过初等变换后,如果方程组中包括这样的方程：当b0时，方程L没有解，因此方程组没有解;如果b=0，则任一n维向量均满足L，所以运算中可以将方程L从方程组中删除，所得方程组仍与原方程组等价.bxxxLn000:21163.三角形方程组和梯形方程组定义3.1.5说明称形如以下的方程组为三角形方程组，nnnnnnnnbxabxaxabxaxaxa2222211212111nkakk,2,1,0其中(1)三角形方程组的特点是方程组中方程个数与变量个数相等，且akkxk为第k个方程的非零首项.(2)三角形方程组的解法:由最后一个方程开始逐步回代求出方程组各个变量的值，从而得出方程组的解;(3)利用克莱姆法则可以判定，其解惟一.17定义3.1.6称以下形式的方程组为梯形线性方程组说明(1)梯形线性方程组中方程个数m小于等于变量个数n.(2)当r=m=n时上式即为三角形线性方程组.(3)梯形线性方程组中不是首项非零元的变量都是自由变量.(4)自由变量仅应用于梯形线性方程组.例5确定线性方程组的自由变量.nrbxaxabxaxabxaxaxarnrnrrrnnnn,2222211212111.,,,,rkakk210其中236817525454354321xxxxxxxxxx方程组中首项非零元是431,,xxx52,xx自由变量是18定理3.1.3梯形线性方程组(*)当r=n时有惟一解，当rn时，对nr个自由变量每赋一组值，便确定方程组的一个解.依据上述定理，当rn时，我们可以很容易地求出梯形线性方程组参数形式的通解.例6求线性方程组的通解(*),nrbxaxabxaxabxaxaxarnrnrrrnnnn2222211212111245234434321xxxxxx这个梯形方程组首项非零元是x1,x3，则x2,x4为自由变量，解得434214210411xxxxx19在这个同解方程组中，令即为该线性方程组参数形式的通解，这里c1,c2为参数.Rcccxcx212412,,.2423122114210411cxcxcxccx得434214210411xxxxx20第3.2节高斯消元法本节介绍线性方程组和矩阵的高斯消元法，进而讨论线性方程组解的存在性及判别方法.返回21第3.2节高斯消元法教学目的：掌握高斯消元法及利用矩阵的秩讨论线性方程组解的存在性教学重点：矩阵形式的线性方程组及利用矩阵的秩讨论线性方程组解的存在性教学难点：利用矩阵的秩讨论线性方程组解的存在性教学方法：讲练结合教学步骤：如下：返回221.高斯消元法高斯消元法是将一般线性方程组化为三角形线性方程组或梯形线性方程组的形式或是确定线性方程组无解的一种方法.高斯消元法的具体步骤：（1）交换方程，使第一个方程第一个变量x1的系数a11不为零，（2）以a11为主元，运用初等变换消去方程组中除第一个以外各个方程中的x1；（3）检验每个方程是否退化,即①若有形式为0=0的方程，则从方程组中删除；②若有形式为0=b（b0）的方程，则方程组无解.(4）对第一个方程以外的方程重复（1），（2），（3）步骤；(5）重复上述过程直到将方程组化为梯形或三角形方程组为止.23例1用高斯消元法解线性方程组解首先用高斯消元法将方程组化简，这是一个梯形方程组，最后一个方程0y+0z=3是一个退化方程，该方程无解，所以该方程组无解.2435723122zyxzyxzyx2435723122zyxzyxzyx30010117122711710117122zyzyzyxzyzyzyx24例2用高斯消元法解线性方程组解首先用高斯消元法将方程组化简，这是一个梯形方程组，z为自由变量，令z=c，回代解得方程组参数形式通解713834852132321zyxzyxzyxLLL131232321713834852132LLLLzyxzyxzyxLLL44222132654zyzyzyxLLL22132562zyzyxLLRcczcycx,22325定理3.2.1任一线性方程组必满足以下三项中之一项：（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷组解.实际上，用高斯消元法可将方程组化为梯形方程组,即可判断出无解的情形；当方程有解时，如果化简后的方程组中没有自由变量（为三角形方程组），则方程组有惟一解，若方程组中有自由变量（一般为梯形方程组），则方程组有无穷解.注对于m个方程n个变量（m＜n）的方程组，不可能取得惟一解，这是因为当m＜n时，化简后不可能得到三角形方程组，只能化成梯形方程组，因此结果或是无解，或是具有自由变量而有无穷多组解.见教材例3.2.5262.矩阵形式的线性方程组(Ax=b)已知线性方程组:称为线性方程组的增广阵mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111mnmmnnnmijaaaaaaaaaaA212222111211)(nxxx21x=mbbb21b=系数阵未知量阵常数阵mmnmmnnbbbaaaaaaaaa2121222211121127矩阵运算与解线性方程组对线性方程组增广矩阵进行初等变换与对方程组进行初