第2章-矩阵

1第2章矩阵2.1矩阵2.2矩阵的初等变换2.3矩阵的秩2.4矩阵的逆2第2.1节矩阵教学目的：掌握矩阵概念及运算、几类特殊方阵教学重点：矩阵的运算及初等变换定义教学难点：矩阵的乘法返回31.矩阵概念mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211.,(matrix)矩阵简称为列矩阵行称为nmnm)()(ijnmijnmaAaAA或记为注矩阵一般用大写字母A、B，……表示...定义2.1.1由m×n个数aij构成的m行n列数表.,,2,1,,2,1.njjmiijiaij称为列标；称为行标列元素行第为矩阵的第其中4由定义知，确定一个矩阵的两个要素是维数m×n及元素,.m表示行数，n表示列数。.,jiaAij254其元素矩阵试写出3542,0212,1112451211aaa由已知所给条件得例1.34567123451012332101:答案解5例2牛仔裤具有不同的品牌和型号，某专卖店现库存W牌牛仔裤23条。：腰围（英寸）数量（条）2833011326343库存的其他牌号可按照牛仔裤的型号从小到大排列如下：牌子数量（条）L5，5，3，4CF1，7，0，0BO6，2，2，2BA3，0，0，3试通过矩阵将上面的信息表示出来.WLCFBOBA283032346○○○○○1a2a1b2b3b.32121如图所示的交通连接情况城市省三个和省两个城市bbbBaaA,,,每条线上的数字表示连接该两城市的不同通路总数.该图提供的通路信息,试用矩阵形式表示(称之为通路矩阵).41322220314C1a2a1b2b3b.,,通路数间的与表示省的城市列表示省的城市的行表示这里通路矩阵jiijbacbaC例3（通路矩阵）7.011101110:答案例4试写出游戏“石头、剪子、布”的二人零和对策中甲的得分矩阵，规定胜者得1分，败者得-1分，平手各得零分。石头剪子布石头剪子布甲方乙方01–1–1011–108例5有6名选手参加乒乓球比赛，成绩如下：选手1胜选手2,4,5,6，负于3；选手2胜4,5,6，负于1,3；选手3胜1,2,4，负于5,6；选手4胜于5,6，负于1,2,3；选手5胜3,6，负于1,2,4。若胜一场得1分，负一场得0分。试用矩阵表示输赢状况，并排序。410111030111113100000211001021001001123456123456aii表示选手i的得分总数92.方阵概念定义2.2.1由n2个数排成的n×n矩阵称为n阶方阵.记作A=(aij),i，j=1，2，…，n或nnnnnnaaaaaaaaa212222111211nnA10定义2.2.2由方阵左上角元素到右下角元素表示的位置称为方阵的主对角线，主对角线元素的和称为方阵的迹，记作以上3阶方阵的迹为1+0+9=10n阶方阵的迹为1+0+…+1=n.nnaaa2211)(Atr987802141nn1111011100110001例1113.几种常用的特殊方阵（1）对角矩阵（2）单位矩阵和零矩阵（3）数量矩阵（4）上（下）三角矩阵12定义所有非主对角线元素全等于零的n阶矩阵称为对角矩阵。记作3000050000900001是一个四阶对角矩阵.nnaaa0000002211),,,diag(2211nnaaa或(1)对角矩阵13定义如果n阶对角矩阵所有主对角线元素都是1，则称此矩阵为n阶单位矩阵.单位矩阵在方阵运算中起到数字“1”的作用.)(100010001nEE或记作记作当a=0时,.000000000阶零阵称为记作nOn阶零阵在方阵运算中起到数字“0”的作用.(2)单位矩阵与零矩阵14定义如果n阶对角矩阵所有主对角线元素都相等，则称此矩阵为n阶数量矩阵，标量矩阵.例如(3)数量矩阵.000000aEaaa简记记作E2200002000020000215定义如果n阶矩阵主对角线下方的元素都等于零，则称此矩阵为上三角矩阵.如果n阶矩阵主对角线上方的元素都等于零，则称此矩阵为下三角矩阵.nnnnnnnnbbbbbbBaooaaoaaaA2122211122211211000A为n阶上三角矩阵；B为n阶下三角矩阵.(4)三角形矩阵16在下列矩阵中,指出三角阵、对角阵、数量阵、单位阵：.,,,3000300031000100011400320014025DCBA练习174.矩阵的线性运算（1）矩阵相等（2）矩阵加法（3）数乘矩阵18定义设有两个m×n矩阵mnmmnnmnmmnnbbbbbbbbbBaaaaaaaaaA212222111211212222111211),,2,1;,,2,1(njmibaijij若则称矩阵A和B相等.记作A=B矩阵相等必须满足:行列对应相等且元素对应相等.（1）矩阵相等19mnmnmmmmnnnnbababababababababaC221122222221211112121111矩阵称为矩阵A与B的和.记作.nmijijbaBAC定义设有两个m×n矩阵注：只有同型的两个矩阵才能进行加法运算.（2）矩阵加法mnmmnnmnmmnnbbbbbbbbbBaaaaaaaaaA21222211121121222211121120mnmmnnnmijnmijaaaaaaaaaaAaA212222111211,设称为A的负矩阵.矩阵的减法为矩阵减法.0000000000O零矩阵称为nmnmnmmnmnmmmmnnnnbababababababababaBABA221122222221211112121111)(.)(221122222221211112121111OaaaaaaaaaaaaaaaaaaAAAAmnmnmmmmnnnn21(i)A+B=B+A(ii)(A+B)+C=A+(B+C)(iii)A+O=O+A=A(iv)A-A=A+(-A)=O其中A、B、C和零矩阵O是同型矩阵.512211213102BA,设.,BABA21求5122112131021BA.3211115211)2(32110)1(2.7053135122112131025122112131022BA矩阵的加法满足下列运算规律例5解22（3）数乘矩阵定义数k与矩阵A的乘积记作kA或Ak，规定为运算规律：(i)k(A+B)=kA+kB(ii)(k+h)A=kA+hA(iii)k(hA)=(kh)A(iv)1A=A其中A、B为m╳n矩阵；k、h为数。,212222111211mnmmnnnmijkakakakakakakakakakakA23512211213102BA,设.32,21BABA求51221122123212022221BA1729735153663321310253132323131321310232BA134013512211426204例6解24解例7，满足如果矩阵XBAXX2BAXXBAX2120220212112X.222201102112.,XBA求，其中0220211225引例由已知得某服装商店一天的销售量如下表：且知每条W牌、L牌、CF牌、BO牌、BA牌牛仔裤的利润分别为15元、17.5元、20元、12.5元、20元.WLCFBOBA28303234利润矩阵205.12205.1715B3.矩阵乘法264321A这里问题1.在这一周之内，最小号牛仔裤的销售利润总和是多少？问题2.30号牛仔裤的利润总和是多少？WLCFBOBA28303234问题3.所有牛仔裤的销售利润总和是多少？利润矩阵205.12205.1715B设为A5.102210312025.1212005.173151.1205.12205.17151B5387216852025121206517815522051220517152......B...........（元）总利润58625975257538712059752575387120205122051715301100653221685210313AB总利润:862.5元27.,nsijsmijbBaA设矩阵矩阵A与B的乘积是一个m×n矩阵,nmijcC其中njmibabababacskkjiksjisjijiij,,,;,,,212112211(1)定义注：只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘.记作C=AB.28sjisjijisjjjisiibabababbbaaa22112121即skijkjikcba1注：按此定义，一个1×s矩阵与一个s×1矩阵的乘积是一个1阶方阵，也就是一个数.注乘积矩阵AB=C的第i行第j列元素cij是A的第i行与B的第j列对应元素乘积之和.29.ABBA的乘积与求矩阵4311023110142012130143110231101420121301ABC例8