绝对值不等式讲义

【知识点梳理】一、绝对值的相关概念与性质：绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.数a的绝对值记作a.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5符号是负号，绝对值是5.求字母a的绝对值：①(0)0(0)(0)aaaaaa②(0)(0)aaaaa③(0)(0)aaaaa利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.例如：若0abc，则0a，0b，0c绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即aa，且aa；（2）若ab，则ab或ab；（3）abab；aabb(0)b；（4）222||||aaa；（5）ababab，对于abab，等号当且仅当a、b同号或a、b中至少有一个0时，等号成立；对于abab，等号当且仅当a、b异号或a、b中至少有一个0时，等号成立．（5）.对一切实数x，都有||||xxx.（6）：123||aaa≤123||||||aaa；||21naaa≤||||||21naaa.（7）：||||||||||bababa.加强：||||||||||ababab.绝对值几何意义当xa时，0xa，此时a是xa的零点值．零点分段讨论的一般步骤：找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值．a的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．ab的几何意义：在数轴上，表示数a、b对应数轴上两点间的距离．二、含绝对值方程（不等式、代数式）的化简三、绝对值方程的解法四、含绝对值的恒成立问题五、含绝对值的参数范围求解问题六、含绝对值的求值问题七、含绝对值的最值问题八、绝对值不等式的解法1、同解原理2、平方法3、图像法4、数形结合法5、零点分段讨论法九、绝对值不等式的证明方法1.||||xaaxaxaxaxa或；0a时，|()|()()fxafxafxa或；|()|()fxaafxa；2.利用三角不等式、加糖不等式或其他基本不等式3.反客为主4.分段讨论【典型例题】1：解不等式：⑴|4x-3|2x+1；⑵|3-4x|2x+1。（3）4523xx.（4）.631xx2．（1）对任意实数x，|1||2|xxa恒成立，则a的取值范围是________；（2）对任意实数x，|1||3|xxa恒成立，则a的取值范围是________；3、若不等式|x-4|+|x-3|a对于一切实数x恒成立，求a的取值范围4、若不等式|x-4|-|x-3|a的解集在R上不是空集，求a的取值范围5、若不等式|x-4|-|x-3|a在R上恒成立，求a的取值范围6、已知245310abc，求a、b、c的值.7、若200122002x，则|||1||2||3||4||5|xxxxxx．8．已知||3x，||6y，||9z，求证：|23|xyz．9．设,,,abcd都是不等于0的实数，求证：||||||||4abcdbcda.10、已知13)(2xxxf，1ax，求证：)1(2)()(aafxf11、设二次函数cbxaxxf2)((0a，且0b)，已知ab，1)0(f，1)1(f，1)1(f，当1x时，证明45)(xf．12、已知01x，01a，试比较|log(1)|ax和|log(1)|ax的大小．13、求证：||||||1||1||1||abababab．14、设二次函数2()fxaxbxc对一切[1,1]x，都有|()|1fx，求证：（1）||1ac；（2）对一切[1,1]x，都有|2|4axb．