整式与恒等变形-初中数学联赛题型解读系列(一)

联赛题型解读（一）——整式与恒等变形一、“整式与恒等变形”真题分值分析在近五年初中数学联赛中代数的分值占到了54%之多，考察的题目数量也在7至9道左右。而代数的基础便是整式，其中乘法公式、因式分解以及恒等变形，为代数提供了丰富的知识和技巧。下面我们通过统计近15年初中数学联赛中整式的分值（注：至少在结构和形式上是对整式的考察才会计入分值统计），帮助大家更好的了解整式在联赛中考察的分值比重。总结这几年来初中数学联赛对整式的考察，整式一般会考察2道题左右，考察的分值最高达到39分（2道一试题外加1道二试题），而且整体趋势是在有一两年的高分值之后跟随几年的低峰，我们可以认为在接下来的一两年内，会在一试中进行2题左右的考察。二、整式中的知识与技巧整式为后续分式和根式提供了方向，代数式是方程的基础，方程是函数的基础，而整式恒等变形的技巧贯穿了整个代数，可以说整式是整个初中代数的基础与灵魂所在。整式中的知识大体来说包含了：乘法公式，因式分解及恒等变形，三个部分，这里简单的介绍前两个部分的基础知识。1.乘法公式这里介绍常用的八个乘法公式：（1）平方差：22ababab；（2）平方：2222abaabb；（3）三元完全平方：2222222abcabcabbcca；（4）22222212abcabbccaabbcca；（5）和（差）的立方：3333333;3abababababababab；0773439014771473934142105101520253035404550近15年整式考察分值（6）立方和（差）：33223322;ababaabbababaabb；（7）3332223abcabcabcabcabbcca（8）444222222222abcabbccaabcabcbcacab2.因式分解简单的介绍一下初中阶段可以学习和使用的10种常见因式分解的方法：（1）提取公因式：上午+下午=（上+下）午；（2）公式法：6633332222xyxyxyxyxyxxyyxxyy；（3）分组分解法：axaybxbyaxybxyabxy；（4）十字相乘:二次三项式2abxadbcxcdaxbcxd；（5）双十字相乘：选定两个二次三项式进行十字相乘；分步两次十字相乘大致相同；（6）拆项天项:422442242222222aabbaabbabaabbaabb;（7）整体换元：对于较复杂的式子可以进行适当换元让结构形式变得简单；（8）主元法：多字母的代数式，可以选择结构较好的字母当做主元进行因式分解；（9）因式定理：多项式fx，当xa的时候0fa，则fx有因式xa（10）轮换对称式:简单举例：若关于xyz、、的轮换式有因式xy，则其有因式xyyzzx前8种因式分解的方法在初中均要求学生掌握，后2种有兴趣有精力的学生可以选择性的进行学习。3.恒等变形的常见技巧（1）因式分解；（2）配方；（3）消元、降次；（4）轮换对称；（5）配对.三、联赛中整式的考察方式1、结合绝对值结合绝对值非负性以及整数的离散性。【例1】（2009年联赛）如果实数,ab满足条件22221,1221abababa，则ab________．A．1B．2C．3D．4【解析】1.分情况讨论，可得221221ababa或22(12)21ababa．如果是第一种，则222bba，消去a可得2230bb，可得1b或32．经检验，1,0ba符合，所求结果为1；如果是第二种，则224abba．因为去绝对值符号的时候有120ab≤，即21ab≥，而10b≥，则设法凑出含有1b的形式．因为2240aabb，所以2222114()22aabbab，即22238(1)4aaba≤，所以8a≥或0a≤，因此只能有0a，和第一种情况是同一个解．2、不定方程这类问题通常是考虑整数解的问题，经常使用到因式分解，配方或者放缩。【例2】(2007年竞赛)方程323652xxxyy的整数解,xy的个数是（）．A.0B.1C.3D.无穷多【解析】选A.原方程可变形为：1231122xxxxxyyy，左边是6的倍数，而右边不是6的倍数．3、整体降次结合整体和降次的思想，利用大除法等工具,近些年来这类题目更多的会结合根式和分式的形式出现，这类题目我们会在分式和根式中再次介绍，目的是希望大家牢固的掌握。【例3】（1998年联赛）已知210xx，那么代数式321xx的值是_________．【解析】2。32211122xxxxx.【例4】(2008年联赛)设512a，则5432322aaaaaaa___________。【解析】2。∵225135122aa，∴21aa，∴32325432322222aaaaaaaaaaaaaaaa333322212111(11)211aaaaaaaaaaa．【例5】（2011年竞赛）设532x，则代数式(1)(2)(3)xxxx的值为（）A．0B．1C．－1D．2【解析】C。53535931224xx，515151121224xx4、配方与最值配方法是我们初中阶段最重要的方法之一，某些题目里面需要我们把完全平方公式理解和运用的比较熟练，同时在近些年中，利用乘法公式的一些变形以及函数的最值的使用也渐渐融入进来，所以这类问题综合性在增加，需要我们平时多留心积累经验。（1）配方与最值【例6】（2005年竞赛）若2238946+13Mxxyyxy(,xy是实数)，则M的值一定是()A.正数B.负数C.零D.整数【解析】选A.22224211138438946+1330331133yMxxyyxyxy【例7】（2001年联赛）求实数,xy的值，使得222(1)(3)(26)yxyxy达到最小值．【解析】2221326yxyxy22563302046xxyyxy2563032046xyxyy2223353533204655xyyyy2236532155xyyy223651535566xyy当3305506xyx时，上式取得最小值，此时52x，56y，最小值为16．（2）乘法公式与最值【例8】（2012年联赛）已知实数ab、满足221ab，则44aabb的最小值为（）A．18B．0C．1D．98【解析】B.442222222219()2122()48aabbabababababab.因为222||1abab，所以1122ab，从而311444ab，故2190()416ab，因此219902()488ab，即44908aabb.因此44aabb的最小值为0，当22,22ab或22,22ab取得.5、乘法公式的运用（1）乘法公式的直接使用这类问题结构特征与常见的基本乘法公式明显一致，直接使用即可，当然我们需要注意一些限制条件，比如分母，取等条件等等。【例9】（2004年联赛）已知0abc，且0abc，则代数式222abcbccaab的值是（）A．3B．2C．1D．0【解析】A。33322230abcabcabcabcabbcca，所以2223333abcabcbccaababc.【例10】（2002年竞赛）已知19992000,19992001,19992002axbxcx，则多项式222+abcabbcca的值为（）A、0B、1C、2D、3【解析】D。22222211114322abcabbccaabbcca。（2）乘法公式的变形使用通常是在在代数变形过程中的将某些充分必要步骤用其他条件代替，变成充分或者必要条件，所以需要我们观察题目的某些条件如何使用。【例11】（2004年联赛）实数a，b满足3331abab，则ab__________.【解析】33322131110abababababab，所以10ab或22222111102ababababab所以1ab或1ab，所以1ab或2。【例12】（2007年联赛）设121x，a是x的小数部分，b是x的小数部分，则333abab_________．【解析】不难知1ab，所以33333331abababababab。（3）乘法公式与方程组轮换对称型的方程组，通常会大量的使用到乘法公式，当然期中少量问题可以使用一元二次方程来解决，这里我们就简单介绍如何使用乘法公式来处理。【例13】（2010年联赛）已知实数,xy满足方程组33191xyxy，，则22xy___________．【解析】3333xyxyxyxy，所以6xy，所以222213xyxyxy（4）乘法公式与不定方程有一类问题需要先用乘法公式将问题变形或者简化，然后转化为不定方程的问题。【例14】（2010年联赛）设整数abcabc≥≥，，为三角形的三边长，满足：22213abcabacbc，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数。【解析】由已知等式可得令abm，bcn，则acmn，其中m，n均为自然数.于是，等式①变为222()26mnmn，即2213mnmn由于m，n均为自然数，判断易知，使得等式②成立的m，n只有两组：31mn，，和13.mn，⑴当3m，1n时，1bc，34abc．又a，b，c为三角形的三边长，所以bca，即(1)4ccc，解得3c．又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30abcccc≤，解得253c≤．因此2533c≤，所以c可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.⑵当1m，3n时，3bc，14abc．又a，b，c为三角形的三边长，所以bca，即(3)4ccc，解得1c．又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30abcccc≤，解得233c≤．因此2313c≤，所以c可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形．综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5611．整体来说：代数式的知识点及可考察的题型多，技巧性高，整体来说难度不大。联赛要求学生对基本的数学思想有所了解和运用，所以只要我们对基本都是技巧和数学思想做到熟练，对基本的题型都有所了解，应付这类问题不是很大。四、联赛备战规划1、梳理整式的知识点和技巧。整理和回顾八大乘法公式及十种因式分解的方法，做到巩固和提高。2、梳理基