线性连续系统状态空间模型的离散化

参看第一章第4节如何把连续系统转化为离散系统2.3.0线性连续系统状态空间模型的离散化连续系统保持器保持器数字计算机D/AA/Du(k)y(k)u(t)y(t)x(t)x(k)为使连续系统的离散化过程是一个等价变换过程,必须满足如下条件和假设。在离散化之后,系统在各采样时刻的状态变量、输入变量和输出变量的值保持不变。保持器为零阶的,即加到系统输入端的输入信号u(t)在采样周期内不变,且等于前一采样时刻的瞬时值,故有u(t)=u(kT)kT≤t(k+1)T采样周期T的选择满足Shannon采样定理,即采样频率2/T大于2倍的连续信号x(k)的上限频率。线性定常连续系统状态空间模型的离散化,实际上是指在采样周期T下,将状态空间模型uxyuxxDCBA变换成离散系统的如下状态空间模型:((1))()()()()()kTGkTHkTkTCkTDkTxxuyxu由于离散化主要是对描述系统动态特性的状态方程而言,输出方程为静态的代数方程,其离散化后应保持不变。离散化主要针对连续系统状态方程(A,B)如何通过采样周期T,变换成离散系统状态方程(G,H)。2.3.1线性定常连续系统的离散化与前面的差分方程不同：T在上述的条件和假设下,即可推导出连续系统离散化的状态空间模型。下面介绍两种离散化方法:精确法、近似法。线性定常连续系统的离散化(3/3)精确离散化方法(1/4)ttττBτttttt0d)()(Φ)()(Φ)(00uxx现在只考虑在采样时刻t=kT和t=(k+1)T时刻之间的状态响应,即对于上式,取t0=kT,t=(k+1)T,于是TkkTττBτTkkTTTk)1(d)(])1[(Φ)()(Φ))1((uxx1.精确离散化方法所谓线性定常连续系统的状态方程的精确离散化方法,就是利用状态方程的求解公式以保证状态在采样时刻连续状态方程和离散化状态方程有相同的解来进行离散化。连续系统的状态方程的求解公式如下:精确离散化方法(2/4)考虑到u(t)在采样周期内保持不变的假定,所以有比较,可知两式对任意的x(kT)和u(kT)成立的条件为G(T)=(T)=eAT)(]d)1[(Φ)()(Φ))1(()1(kTBττTkkTTTkTkkTuxx对上式作变量代换,令t=(k+1)T-,则上式可记为)(dt)(Φ)()(Φ))1((0kTBtkTTTkTuxxBBtΦTHTAtT00dtedt)()(上两式即为精确离散化法的计算式。精确离散化方法(3/4)—例3-11uxx102010ttssLAsILt221111e02/)e-1(1201-])-[()(Φ解首先求出连续系统的状态转移矩阵:例试用精确离散化方法写出下列连续系统的离散化系统的状态方程:精确离散化方法(4/4)—例3-11根据精确法计算式有于是该连续系统的离散化状态方程为)e-1(2)e-1(-24110dte02/)e-1(1dt)()(e02/)e-1(1)()(22022022TTTttTTTTBtTHTTG)(2/)e-1(4/)e-1(-2/)(e02/)e-1(1)1(2222kTkkTTTTuxx近似离散化方法(1/6)2.近似离散化方法所谓线性定常连续系统状态方程的近似离散化方法是指在采样周期较小,且对离散化的精度要求不高的情况下,用状态变量的差商代替微商来求得近似的差分方程。即,由于x’(kT)=LimT0[x((k+1)T)-x(kT)]/T故当采样周期较小时,有x’(kT)[x((k+1)T)-x(kT)]/T近似离散化方法(2/6)将上式代入连续系统的状态方程,有[x((k+1)T)-x(kT)]/T=Ax(kT)+Bx(kT)即x((k+1)T)=(I+AT)x(kT)+BTu(kT)将上式与线性定常离散系统状态空间模型的状态方程比较,则可得如下近似离散化的计算公式:G(T)=I+ATH(T)=BT将上述近似离散法和精确离散法比较知,由于I+AT和BT分别是eAT和eAtdtB的Taylor展开式中的一次近似,因此近似离散化方法其实是取精确离散化方法的相应计算式的一次Taylor近似展开式。近似离散化方法(3/6)—例3-12由上述推导过程可知,一般说来,采样周期T越小,则离散化精度越高。但考虑到实际计算时的舍入误差等因素,采样周期T不宜太小。例试用近似离散化方法写出下列连续系统的离散化系统的状态方程:uxx102010解由近似离散化法计算公式,对本例有近似离散化方法(4/6)—例3-12于是该连续系统的离散化状态方程为TBTTHTTATITG0)(2101)()(0)(2-101)1(kTkTTkuxx近似离散化方法(5/6)—例3-12近似法的计算结果为432332.0283834.00.1353350432332.01HG101011HG2.当T=0.001s时,精确法的计算结果为000999.0105.00.9980020000999.016HG对上述近似离散化法的精度可检验如下:1.当T=1s时,精确法的计算结果为近似离散化方法(6/6)—例3-12近似法的计算结果为001.00998.00001.01HG从上述计算结果可知,近似离散法只适用于较小的采样周期。线性时变连续系统的离散化(1/6)2.3.2线性时变连续系统的离散化线性时变连续系统状态空间模型的离散化,实际上是指在指定的采样周期T下,将连续系统的状态方程()()()()()tttttxAxBu变换成线性时变离散系统的如下状态方程:((1))()()()()kTkTkTkTkTxGxHu线性时变连续系统的状态方程的离散化,就是利用时变系统的状态轨迹求解公式来进行离散化。可知,连续系统状态方程的解可表示为:线性时变连续系统的离散化(2/6)000()Φ(,)()Φ(,)()()dtttttttτBτττxxu现在只考虑在采样时刻t=kT和t=(k+1)T时刻之间的状态响应,即对于上式,取t0=kT,t=(k+1)T,于是(1)(1)Φ[(1),]()Φ[(1),]()()dkTkTkkTkTkkTτBτττxxu考虑到u(t)在采样周期内保持不变,所以有(1)(1)Φ[(1),]()Φ[(1),]()d()kTkTkkTkTkkTτBττkxxu线性时变连续系统的离散化(3/6)比较下述两式可得线性时变连续系统离散化模型各矩阵如下(1)()Φ[(1),]()Φ[(1),]()dkTkTGkkTkTHkkTτBττ(1)(1)Φ[(1),]()Φ[(1),]()d()kTkTkkTkTkkTτBττkxxu(1)()()()()kkkkkxGxHu线性时变连续系统的离散化(4/6)例试写出下列线性时变连续系统的离散化系统的状态方程。解由前例可知,该系统的转移矩阵函数为0001(1)(1)(,)01tttttt2101(1)100txxu线性时变连续系统的离散化(5/6)因此,由上述离散化计算公式，可分别计算(1)(1)21(1)(1)()Φ[(1),]0111(1)(1)()d1011(1)(1)d1(1)(1)1ln(1)11kTkTkTkTTkTTkTGkkTkTkTTkTTHkτkTTkTTτkTkTkTkTT线性时变连续系统的离散化(6/6)将上述计算所得的G(k)和H(k)代入,则求得离散化状态方程如下2(1)(1)11ln(1)(1)(1)()()(1)1101TkTkTkTTkTkkkkTkTTxxu