复变函数与积分变换重点公式归纳

1复变函数与积分变换复习提纲第一章复变函数一、复变数和复变函数yxivyxuzfw,,二、复变函数的极限与连续极限Azfzz)(lim0连续)()(lim00zfzfzz第二章解析函数一、复变函数),(),()(yxivyxuzfw可导与解析的概念。二、柯西——黎曼方程掌握利用C-R方程xyyxvuvu判别复变函数的可导性与解析性。掌握复变函数的导数：yxyxyyxxviviuuviuyfiivuxfzf1)('三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。1、幂函数与根式函数innnnnnerninrirzw)sin(cos)sin(cos单值函数nkzinnerzw2arg1(k=0、1、2、…、n-1)n多值函数2、指数函数：)sin(cosyiyeewxz性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，zzee)'(（3）以i2为周期3、对数函数kizkzizLnzw2ln)2(argln（k=0、±1、±2……）性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:kkzz1)'(ln。4、三角函数：2cosizizeezieeziziz2sin性质：（1）单值（2）复平面上处处解析（3）周期性（4）无界5、反三角函数（了解）反正弦函数)1(1sin2zizLnizArcw2反余弦函数)1(1cos2zzLnizArcw性质与对数函数的性质相同。6、一般幂函数：])arg2([lnizkzssLnzseez（k=0、±1…）四、调和函数与共轭调和函数：1)调和函数:0),(2yxu2)已知解析函数的实部（虚部），求其虚部（实部）有三种方法：a）全微分法b）利用C-R方程c）不定积分法第三章解析函数的积分一、复变函数的积分llludyvdxivdyudxfdzz存在的条件。二、复变函数积分的计算方法1、沿路径积分：cdzzf利用参数法积分，关键是写出路径的参数方程。2、闭路积分：a)cdzzf利用留数定理，柯西积分公式，高阶导数公式。b)dzyxivyxuc)],(),([利用参数积分方法三、柯西积分定理：0cdzzf推论1：积分与路径无关dzzfdzzfzzc21)(推论2：利用原函数计算积分)()()(1221zFzFdzzfzz推论3：二连通区域上的柯西定理21ccdzzfdzzf推论4：复连通区域上的柯西定理kcnkcdzzfdzzf1四、柯西积分公式：dzfizfc21)(002cfzdzifzzz3五、高阶导数公式：dzfinzfcnn1)()(2!)(解析函数的两个重要性质：解析函数zf在任一点z的值可以通过函数沿包围点z的任一简单闭合回路的积分表示。解析函数有任意阶导数。本章重点：掌握复变函数积分的计算方法沿路径积分cdzzf1）利用参数法积分2）利用原函数计算积分。闭路积分cdzzf利用留数定理计算积分。第四章解析函数的级数一、幂级数及收敛半径：0)(nnnbza1、一个收敛半径为R（≠0）的幂级数，在收敛圆内的和函数)(zf是解析函数，在这个收敛圆内，这个展开式可以逐项积分和逐项求导，即有：1'nnnbznazfRbz10001nnzlnnnnzznadzbzadzzfRbz2、收敛半径的计算方法1）比值法：1/limnnnaaR2）根值法：nnnaRlim/1二、泰勒（Taylor）级数1、如函数)(zf在圆域Rbz内解析，那么在此圆域内)(zf可以展开成Taylor级数)(zfnnnnnnbznbfbza00!)(1）展开式是唯一的。故将函数在解析点的邻域中展开幂级数一定是Taylor级数。2)收敛半径是展开点到)(zf的所有奇点的最短距离。3）展开式的系数可以微分计算：!nbfann4）解析函数可以用Taylor级数表示。42、记住一些重要的泰勒级数：1）011nnzz2）0!nnznze3）0)12()!12(1sinnnnznz4）02)!2(1cosnnnznz三、罗兰（Laurent）级数如果函数)(zf在圆环城21RbzR内解析，则)(zf=xnnnbzc)(dzbzzficlnn121（n=0、±1、±2……）1、展开式是唯一的，即只要把函数在圆环城内展开为幂级数即为Laurent级数。2、展开式的系数是不可以利用积分计算。利用已知的幂级数，通过代数运算把函数展开成Laurent级数。3、注意展开的区域，在展开点的所有解析区域展开。四、孤立奇点1、定义：若b是)(zf的孤立奇点，则)(zf在bz0内解析。在此点)(zf可展开为罗兰级数，)(zf=10nnnnnnnnnbzcbzcbzc2、分类：孤立奇点1]),([Re,::0]),([Re,:cbzfsbzfs无穷多负幂项本性奇点有限负幂项极点无负幂项可去奇点把函数在奇点的去心邻域中展开为罗兰级数，求解C-13、极点留数计算a)如果b是)(zf的一阶极点，则)()(lim]),([Rezfbzbzfsbzb)如果b是)(zf的m阶极点，则][lim!11]),([Re11zfbzdzdmbzfsmmmbzc)如b是zQzPzf的一阶极点，且P(b)≠0，那么bQbPbzQzPs',Re5d)]0,1)1([Re]),([Re2zzfszfse)若z是)(zf的可去奇点，并且0)(limzfz，zzfCzfszlim]),([Re1关系：全平面留数之和为零。0,Re,Re1zfsbzfskk本章重点：函数展开成Taylor级数，并能写出收敛半径。函数在解析圆环城内展开成Laurent级数。孤立奇点（包含z点）的判定及其留数的计算。第五章留数定理的应用一、dR20cos,sin条件：（1）R(sin，cos)为cos与sin的有理函数（2）R(•)在[0，2]或者[-，]上连续。令iez，则izz2sin1，2cos1zz，izdzd。dzzfizdzzzizzRdRzz12212021,21cos,sinnkkzzfsi1,Re21kz注意留数是计算单位圆中的奇点。二、dxxf条件：（1）xQxPxfxQxP,是x的多项式。（2）0xQ（3）分母阶次比分子阶次至少高二次则nRkbzfsidxxf1,Re2kb是)(zf在上半平面的奇点。三、dxexRxi（0）条件：（1）xQxPxR，且xQ比xP至少高一阶，（2）0xQ，（3）06nkkzixibezRsidxexRI1,Re20ImkbIxdxxRRecos，IxdxxRImsin重点关注第一和第三种类型第七章Fourier变换一、傅立叶变换dtexfFtjdeFxftj21二、函数的傅立叶变换ℱ1dxexxxj.xdexj21三、一些傅立叶变换及逆变换ℱixH1)]([ℱ21)(]1[1xHi四、性质：ℱFxf1、相似性质ℱaFaaxf12、ℱFexxfxj00延迟性质ℱ00Fxfexj位移性质3、微分性质ℱ)('Fjxfℱ)(')(Fxjxfℱ)()(FjxfnnℱnnndFdxfxj)()(4、积分性质ℱ)(10Fjdxxfxx由Fourier变换的微分和积分性质，我们可以利用Fourier变换求解微积分方程。四、卷积和卷积定理7dxffxfxf)()()(*)(2121ℱ)()()](*)([2121FFxfxfℱ)(*)(21)]()([2121FFxfxf＊五、三维Fourier变换及反演本章重点：利用定义计算Fourier变换第八章Laplace变换一、拉普拉斯变换ℒpFdtexfxfpt0二、几个重要的拉普拉斯变换及逆变换ℒptH1ℒtHp11ℒpet1ℒtep11ℒ22cospptℒtppcos221ℒ22sinptℒtpsin221ℒ1!][mmpmtℒ1][t四、拉普拉斯变换的性质1、ℒpFettfpt002、ℒ0)(0ppFtfetp3、ℒ0'fppFtfℒ0'02fpfpFptfuℒnundppFdtft4、ℒpFpdttft108ℒdppFdtttf五、卷积：dtfftftft20121*ℒpFpFtftf2121*六、Laplace反演nnnptptjjpepFsdpepFjtf1,Re21七、Laplace逆变换（1）部分分式法（2）卷积定理（3）Laplace反演公式（留数定理）（4）利用Laplace变换的性质八、利用Laplace变换求解微积分方程（1）对方程取Laplace变换，得到象函数的代数方程（2）解代数方程，得到像函数的表达式（3）求像函数的拉普拉斯逆变换拉氏变换解代数方程拉氏逆变换本章重点：利用定义和性质计算Laplace变换。计算Laplace逆变换。利用Laplace变换求解微积分方程。微分方程像函数的代数方程像函数像原函数解函数