工程力学——压杆稳定

第十三章压杆稳定压杆稳定的概念压杆的临界应力细长压杆的临界力压杆的稳定计算第一节压杆稳定的概念图示一600mm长的钢板尺两端铰接放入实验架中受轴向压力，其横截面积为32mm×1mm。按上面给出的强度条件，求钢板尺能承受的荷载.Fmm32mm1AFmax132215N6880N15第一节压杆稳定的概念FPFPcr:直线平衡形式（稳定平衡）在扰动作用下，直线平衡形式转为弯曲平衡形式，扰动除去后，能够恢复到直线平衡形式，则称原来的直线平衡构形是稳定的。FPFPcr:弯曲平衡形式(不稳定平衡)在扰动作用下，直线平衡形式转为弯曲平衡形式，扰动除去后，不能恢复到直线平衡形式，则称原来的直线平衡形式是不稳定的。压杆稳定—压杆保持其原有直线平衡状态的能力，称其稳定性。（指受压杆件其平衡状态的稳定性）临界力—受压直杆的平衡形式由稳定平衡转变为不稳定平衡时所受的轴向压力，是压杆在原有的直线状态下保持平衡的最大荷载，也是压杆在弯曲状态下保持平衡的最小压力。细长压杆在压力逐渐增大至某一数值时，突然变弯直至弯断的现象称为稳定失效（失稳或屈曲）。第二节细长压杆的临界力一、两端铰支压杆的临界荷载考察微弯状态下局部压杆的平衡FcrFcrFxyxMyFxMcrEIxMdxyd22EIyFdxydcr220222ykdxydkxBkxAycossin边界条件0x0y0B2Lxy挠曲线中点的挠度2sinLkA2sinkLALx0ykxkLysin2sinkLkLsin2sin002cos2kLEIFkcr202cos2kL002coskL22nkL...5,3,1n1n22nkL222)(LnkEIFkcr2EIFLncr22)(22)(LEInFcr欧拉临界力公式2sinkLAAxlysin挠曲线为半波正弦曲线适用条件：•理想压杆（轴线为直线，压力与轴线重合，材料均匀）•线弹性，小变形•两端为铰支座挠曲线中点的挠度压杆总是绕抗弯刚度最小的轴发生失稳破坏。最小临界载荷：—欧拉公式22lEIPcr屈曲位移函数临界载荷由此得到两个重要结果：22)(LEInFcrxlysin2min2lEIPcr二、其他支承情况下细长压杆的临界力2min2）（lEIPcr一端自由，一端固定＝2.0一端铰支，一端固定＝0.7两端固定＝0.5两端铰支＝1.0＝0.5＝2.0＝0.7＝1.0＝2.0＝1.0＝0.7＝2.0＝1.0＝0.5＝0.7＝2.0＝1.0例1：截面为200×120mm2的轴向受压木柱，l=8m，柱的支承情况是:在最大刚度平面内压弯时为两端铰支（图a）；在最小刚度平面内压弯时为两端固定（图b）。木材的弹性模量E=10GPa，试求木柱的临界压力。解：（1）计算最大刚度平面内的临界压力（即绕y轴失稳）中性轴为y轴：kNlEIPylj123800011080101014.3263222yz200120120zy200（图a）（图b）木柱两端铰支，，则得：463108012200120mmIyyz200120（2）计算最小刚度平面内的临界压力（即绕z轴失稳）46463108281082812120200m.mm.Iz木柱两端固定，，则得：KNlEIPzlj17880005.0108.28101014.3263222中性轴为z轴：120zy200由上可知：木柱的临界压力为Pcr=123kN。解：截面惯性矩临界力269kNN102693两端铰支细长压杆，横截面直径d=50mm,材料为Q235钢,弹性模量E=200GPa，试确定其临界力。MPas235一、临界应力与柔度临界应力：处于临界状态时横截面上平均应力面的几何性质；截面的惯性半径；为截—其中：AIi程度。比）；反映压杆的柔软称为压杆的柔度（长细＝il影响压杆承载能力的综合指标222222222()()()crcrPEIEIEEiAlAlAl欧拉公式第三节压杆的临界应力P—与比例极限对应的柔度PPE2Pil欧拉公式的适用范围:p—比例极限欧拉公式的适用范围p22crE根据柔度的大小可将压杆分为三类1.大柔度杆或细长杆压杆将发生弹性屈曲.此时压杆在直线平衡形式下横截面上的正应力不超过材料的比例极限.2.中长杆压杆亦发生屈曲.此时压杆在直线平衡形式下横截面上的正应力已超过材料的比例极限.截面上某些部分已进入塑性状态.为非弹性屈曲.3.粗短杆压杆不会发生屈曲,但将会发生屈服.Ocr22EcrPPbacrSS临界应力总图spPs;6.5975.6157.96BAljljNkNAP例1图示支架中圆形截面压杆AB的直径为28mm,材料为A3钢，λP=123，E=200GPa。试求荷载P的最大值。解：AB压杆l=1000mm,;dI;mm.dA64756154422;1;74mmdAIi大柔度杆；;.ilp1239142710001MPaElj7.969.1422000002222由结点B的平衡：;0sin,0maxPNYBA;7.47546.59sinmaxkNNPBAPBaBANCBNP0.6mCBaA0.8m图中所示之压杆，其直径均为d，材料都是Q235钢，但二者长度和约束条件不相同。试：1.分析那一根杆的临界荷载较大？2.计算d＝160mm，E＝206GPa时，二杆的临界荷载。m5Fd)(am9Fd)(b1.计算柔度判断两杆的临界荷载46424dd4dAIiiLa451d125495.0db5.11215.0ba2.计算各杆的临界荷载101Pab4222dEAFcrcr4160125102062232acrFkN102.63两端铰支压杆的临界荷载小于两端固定压杆的临界荷载。41605.112102062232bcrFkN1021.33FFhABhbz)(aQ235钢制成的矩形截面杆,两端约束以及所承受的载荷如图示（（a）为正视图（b）为俯视图），在AB两处为销钉连接。若已知L＝2300mm，b＝40mm，h＝60mm。材料的弹性模量E＝205GPa。试求此杆的临界载荷。FFbl)(b正视图平面弯曲截面绕z轴转动；俯视图平面弯曲截面绕y轴转动。正视图：123bhIzbhA0.1AIizz32hzzil32hl0632230018.132101PkNAF275crcrQ235钢制成的矩形截面杆,两端约束以及所承受的载荷如图示（（a）为正视图（b）为俯视图），在AB两处为销钉连接。若已知L＝2300mm，b＝40mm，h＝60mm。材料的弹性模量E＝205GPa。试求此杆的临界载荷。FFhABhbz)(aFFbl)(b俯视图：123hbIzbhA5.0AIiyy32byyil32bl6.99101PkNAAbaAFy9.461)6.99*12.1304()(crcr第四节压杆的稳定计算stcrstnAP][)(])[()(stcrstcrstnn一、稳定条件][stcrnPPnφ—稳定系数；一般[σ][σ]st，故φ1。λ为已知可查表得稳定系数安全系数法（适用于机械、动力、冶金等荷载情况复杂）稳定系数法（适用于土建工程）(3)进行稳定计算或利用稳定条件,进行稳定校核.稳定校核步骤(1)根据压杆的实际尺寸及支承情况,分别计算各自平面弯曲的柔度,得出最大柔度max.(2)根据max,选择相应的临界应力公式,计算临界应力或临界力.(1)根据压杆的实际尺寸及支承情况,分别计算各自平面弯曲的柔度,得出最大柔度max.(2)根据max,选择相应的临界应力公式,计算临界应力或临界力.(3)进行稳定计算或利用稳定条件,进行稳定校核。(1)根据压杆的实际尺寸及支承情况,分别计算各自平面弯曲的柔度,得出最大柔度max。(2)根据max,选择相应的临界应力公式,计算临界应力或临界力。例1校核木柱稳定性。已知l＝6m,圆截面d＝20cm,两端铰接，轴向压力P＝50kN，木材许用应力[σ]=10MPa。解：;12056001;1;54204ilcmdAIi;08.210208.0][,208.0＝查表，木柱稳定。];[59.12004500002MPaAP查表：∴木杆稳定。;12056001;1;54204ilcmdAIi;12056001;1;54204ilcmdAIi试确定直径为d＝60mm长度L＝2m的圆截面木杆的承载力。已知木材的抗压强度＝10MPa，立柱两端均按铰接考虑。AFAIi46424dd4dmm15iL15102133.13322800158.03.13328002kNF47.446010158.021001602梁AF由直杆连接支撑在墙上，并受均布荷载q=4kN/m作用，若各杆直径均为40mm(不计杆重)，材料为A3钢,其弹性模量E=206MPa,稳定安全系数nst=5，试求：（1）支座处反力；（2）校核各杆稳定性。ABCDEFm5.0m1m11mAXAYBX1求支反力kNXXBA5.12kNYA102求各杆轴力kNSBD5.12kNSED67.17kNSCD5.123校核各杆稳定性杆EDmmdi10411141iLEDEDkNLEIFEDEDcr12422stEDcrnSFFn7124杆BD250iLBDBDBD杆为小柔度杆，无需进行稳定校核§5提高压杆稳定性的措施欧拉公式22)(lEIFcr越大越稳定crF•减小压杆长度L•减小长度系数μ（增强约束）•增大截面惯性矩I（合理选择截面形状）•增大弹性模量E（合理选择材料）•减小压杆长度l•减小长度系数μ（增强约束）•增大截面惯性矩I（合理选择截面形状）压杆稳定问题中的长细比反应了杆的尺寸，（）和（）对临界压力的综合影响。约束两根细长压杆a与b的长度、横截面面积、约束状态及材料均相同，若其横截面形状分别为正方形和圆形，则二压杆的临界压力Facr和Fbcr的关系为（）。A.Facr=Fbcr；B.Facr＜Fbcr；C.Facr＞Fbcr；D.不确定C材料和柔度都相同的两根压杆（）。A.临界应力一定相等，临界压力不一定相等；B.临界应力不一定相等，临界压力一定相等；C.临界应力和压力都一定相等；D.临界应力和压力都不一定相等。A截面形状图示两端铰支压杆的截面为矩形。当其失稳时，（）。A.临界压力Fcr＝π2EIy/L2，挠曲线位于xy面内；B.临界压力Fcr＝π2EIy/L2，挠曲线位于xz面内；C.临界压力Fcr＝π2EIz/L2，挠曲线位于xy面内；D.临界压力Fcr＝π2EIz/L2，挠曲线位于xz面内。LFyzxhbzyB图示三根压杆，横截面面积及材料各不相同，但它们的（）相同。A.长度因数；B.相当长度；C.柔度；D.临界压力。l5.0Fl43.1Fl2FB在下列有关压杆临界应力σcr的结论中，（）是正确的。A.细长杆的σcr值与杆的材料无关；B.