专题复习--函数图象中的行程问题

1专题复习函数图象中的行程问题图象信息题是指由图象（表）来获取信息．从而达到解题目的的题型，这类问题来源广泛，形式灵活，突出对考生收集、整理和加工信息能力的考查．而将普通的行程问题以图像的方式呈现无疑更是中考试题的亮点。解此类题的关键是“识图”和“用图”，一般步骤是：（1）观察图象，获取有效信息；（2）对已获信息进行加工、整理，理清各变量之间的关系；（3）选择适当的数学工具，通过建模解决问题。下面以08、09两年的中考试题为例加以分类剖析。一．相遇问题例1．甲、乙两车同时从A地出发，以各自的速度匀速向B地行驶．甲车先到达B地，停留1小时后按原路以另一速度匀速返回，直到两车相遇．乙车的速度为每小时60千米．下图是两车之间的距离y（千米）与乙车行驶时间x（小时）之间的函数图象．（1）请将图中的（）内填上正确的值，并直接写出甲车从A到B的行驶速度；（2）求从甲车返回到与乙车相遇过程中y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）求出甲车返回时行驶速度及A、B两地的距离．解：（1）（）内填60，甲车从A到B的行驶速度：100千米/时（2）设ykxb，把（4，60）、（4.4，0）代入上式得：604044kbkb.解得：150600kb150660yx自变量x的取值范围是：4≤x≤4.4（3）设甲车返回行驶速度为v千米/时，有0.4(60)60v得90(/)v千米时AB、两地的距离是：3100300（千米）评析：细心、耐心的读题、审题是解题的前提。本题中的行程过程分三个阶段，分别对应了三段函数图像，因此理解图像中每一条线段以及每个折点的实际意义成了解题的关键。如：点（3，120）的含义是乙车出发3小时后两车相距120千米，而此时乙车行驶了180km，甲车行驶了300km。从知识点上讲，此题主要考查了二元一次方程组、一次函数、、图像交点等内容，其中第（2）小题便是函数解析式与图像、方程的综合，第（3）小题对思维能力要求较高，关键仍是对图像要有足够的理解，需要学生有相当的读图能力。这三个问题环环相扣，层层推进，区分度较明显，既有利于考查学生思维的逻辑性和灵活性，也有利于考查学生的运算能力。二．追及问题例2．2008年5月12日14时28分四川汶川发生里氏8.0级强力地震．某市接到上级通知，2立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区．乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发1.25小时（从甲组出发时开始计时）．图中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程y甲（千米）、y乙（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图像．请根据图像所提供的信息，解决下列问题：（1）由于汽车发生故障，甲组在途中停留了小时；（2）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区．请问甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米？（3）为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过25千米，请通过计算说明，按图像所表示的走法是否符合约定．略解：（1）1.9(2)直线EF的解析式可通过E、F两点求出为y2=80X-100∴点C的坐标是（6，380）再由C、D两点坐标可求出直线BD的解析式是y甲=100X-220∵B点在直线BD上且点B的横坐标为4.9，代入y甲得B（4.9，270）∴甲组在排除故障时,距出发点的路程是270千米。（3）符合约定由图像可知：甲、乙两组第一次相遇后在B和D相距最远。在点B处有y乙—y甲=80×4.9—100—（100×4.9—220）=22千米＜25千米在点D有y甲—y乙=100×7—220—（80×7—100）=20千米＜25千米∴按图像所表示的走法符合约定。评析：此题是将追击问题以函数图像的方式呈现，图像中的数据较多，而且是由两条线路构成，将题目中的条件和从图像中获取的信息结合对不少学生来说是难点。第（2）小题的关键是先求直线BD的解析式，抓住C点是BD与EF的交点，可以由EF的解析式求出C点的坐标，再利用待定系数法求BD的解析式。第（3）小题只要求出在B、D两点处甲乙两组之间的距离是否满足不超过25千米即可。要求学生结合具体情境体会函数的实际意义，并从不同角度深刻的体现对函数意义的考查，符合学业水平考试的要求，有利于对日常教学落实“双基”形成正确的导向。三．航行问题例3．甲船从A港出发顺流匀速驶向B港，行至某处，发现船上一救生圈不知何时落入水中，立刻原路返回，找到救生圈后，继续顺流驶向B港．乙船从B港出发逆流匀速驶向A港．已知救生圈漂流的速度和水流速度相同；甲、乙两船在静水中的速度相同．甲、乙两船到A港的距离y1、y2（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示．（1）写出乙船在逆流中行驶的速度．（2）求甲船在逆流中行驶的路程．（3）求甲船到A港的距离y1与行驶时间x之间的函数关系式．（4）求救生圈落入水中时，甲船到A港的距离．3【参考公式：船顺流航行的速度船在静水中航行的速度＋水流速度，船逆流航行的速度船在静水中航行的速度水流速度．】解：（1）乙船在逆流中行驶的速度为6km/h．（2）甲船在逆流中行驶的路程为6(2.52)3(km)．（3）设甲船顺流的速度为akm/h，由图象得23(3.52.5)24aa．解得a9．当0≤x≤2时，19yx．当2≤x≤2.5时，设116yxb．把2x，118y代入，得130b．∴1630yx．当2.5≤x≤3.5时，设129yxb．把3.5x，124y代入，得27.5b．∴197.5yx．（4）水流速度为(96)21.5(km/h)．设甲船从A港航行x小时救生圈掉落水中．根据题意，得91.5(2.5)92.57.5xx．解得1.5x．1.5913.5．即救生圈落水时甲船到A港的距离为13.5km．评析：对甲、乙两船而言，由于在静水中的速度相同，水流速又不变，所以它们在逆流中航行的速度也相等。搞清这个道理第（2）小题便可迎刃而解。在解第（3）小题时，首先由题意应正确认识甲船在整个航行过程中，共经历三个阶段，对照图像，求出每个阶段对应的一次函数解析式。解答第（4）小题需要理解甲船航行和救生圈漂流的情况，然后列出方程求出救生圈落入水中的时间，从而求出甲船到A港的距离。四．综合问题例4．如图①，一条笔直的公路上有A、B、C三地，B、C两地相距150千米，甲、乙两辆汽车分别从B、C两地同时出发，沿公路匀速相向而行，分别驶往C、B两地．甲、乙两车到A地的距离1y、2y（千米）与行驶时间x（时）的关系如图②所示．根据图象进行以下探究：⑴请在图①中标出A地的位置，并作简要的文字说明；4⑵求图②中M点的坐标，并解释该点的实际意义．⑶在图②中补全甲车的函数图象，求甲车到A地的距离1y与行驶时间x的函数关系式．⑷A地设有指挥中心，指挥中心及两车都配有对讲机，两部对讲机在15千米之内（含15千米）时能够互相通话，求两车可以同时与指挥中心用对讲机通话的时间．解：⑴A地位置如图所示．使点A满足AB∶AC＝2∶3。⑵乙车的速度150÷2＝75千米/时,90751.2，∴M(1.2，0)所以点M表示乙车1.2小时到达A地．⑶甲车的函数图象如图所示．当01x时，16060yx；当12.5x时，16060yx.⑷由题意得606015606015xx，得3544x；759015759015xx，得715x.∴514x∴两车同时与指挥中心通话的时间为51144小时.评析：此题主要考查一次函数、函数图像的交点坐标和一元一次不等式组等知识。解答第（1）问时，学生需要从图像中获取甲乙两车分别距A地60千米和90千米这一信息，进而求出AB：AC＝2∶3。第（2）问是对M点的实际意义作出解释，这需要学生具有一定的读图理解能力。第（3）问需对甲车的行驶过程有一个全面了解，然后利用待定系数法列出二元一次方程组求出两个时间段内的解析式。第（4）问是在第（3）问基础上的应用，关键是对“两部对讲机在15千米之内（含15千米）时能够互相通话”这一条件的理解，此小问更加深入的考查了学生对函数意义与性质的理解和运用。以上4题将行程问题巧妙的融入一次函数图像中，很具特色。同时对学生从函数图像中捕获信息的能力，综合运用数学知识分析、加工、提炼的能力提出了很高的要求，教师在平时教学中也应当有意识的培养学生逐步形成用函数知识认识问题和解决问题的能力，促使他们形成深入而牢固的函数思想。