2019-2020年江苏省高三模拟考试数学试卷

1高三年级第一次模拟考试数学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：锥体体积公式：V＝13Sh，其中S为底面积，h为高．圆锥侧面积公式：S＝πrl，其中r为底面半径，l为母线长．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1.已知集合A＝{0，1，2}，集合B＝{－1，0，2，3}，则A∩B＝________．2.函数f(x)＝lg（3－x）的定义域为________．3.从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为6的概率是________．4.根据如图所示的伪代码，最后输出的i的值为________．5.已知一个圆锥的底面积为π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为________．6.抛物线y2＝8x的焦点到双曲线x216－y29＝1渐近线的距离为________．7.设Sn是等比数列{an}的前n项的和，若a6a3＝－12，则S6S3＝________．8.已知函数f(x)＝12x－2x，则满足f(x2－5x)＋f(6)0的实数x的取值范围是________．9.若2cos2α＝sinπ4－α，α∈π2，π，则sin2α＝________．10.已知△ABC是边长为2的等边三角形，D，E分别是边AB，BC的中点，连结DE并延长到点F，使得DE＝3EF，则AF→·BC→的值为________．11.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，前n项和为Sn，且数列{Sn＋n}也为公差为d的等差数列，则d＝________．12.已知x0，y0，x＋y＝1x＋4y，则x＋y的最小值为________．13.已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－2)2＝2.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得PA⊥PB，则实数a的取值范围为________．14.设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a，b，c∈R，a≠0)．若不等式xf′(x)－af(x)≤2对一切x∈R恒成立，则b＋ca的取值范围为________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.(本小题满分14分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ccosB＋bcosC＝3acosB.(1)求cosB的值；2(2)若|CA→－CB→|＝2，△ABC的面积为22，求边b.16.(本小题满分14分)如图，在四棱锥VABCD中，底面ABCD是矩形，VD⊥平面ABCD，过AD的平面分别与VB，VC交于点M，N.(1)求证：BC⊥平面VCD；(2)求证：AD∥MN.17.(本小题满分14分)某房地产商建有三栋楼宇A，B，C，三楼宇间的距离都为2千米，拟准备在此三楼宇围成的区域ABC外建第四栋楼宇D，规划要求楼宇D对楼宇B，C的视角为120°，如图所示，假设楼宇大小高度忽略不计．(1)求四栋楼宇围成的四边形区域ABDC面积的最大值；(2)当楼宇D与楼宇B，C间距离相等时，拟在楼宇A，B间建休息亭E，在休息亭E和楼宇A，D间分别铺设鹅卵石路EA和防腐木路ED，如图．已知铺设鹅卵石路、防腐木路的单价分别为a，2a(单位：元/千米，a为常数)．记∠BDE＝θ，求铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值．18.(本小题满分16分)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的长轴长为4，两准线间距离为42.设A为椭圆C的左顶点，直线l过点D(1，0)，且与椭圆C相交于E，F两点．(1)求椭圆C的方程；(2)若△AEF的面积为10，求直线l的方程；(3)已知直线AE，AF分别交直线x＝3于点M，N，线段MN的中点为Q，设直线l和QD的斜率分别为k(k≠0)，k′.求证：k·k′为定值．19.(本小题满分16分)设数列{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a2a4＝64，数列{bn}3满足：对任意的正整数n，都有a1b1＋a1b2＋…＋anbn＝(n－1)·2n＋1＋2.(1)分别求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)若不等式λ1－12b11－12b2…1－12bn12bn＋1对一切正整数n都成立，求实数λ的取值范围；(3)已知k∈N*，对于数列{bn}，若在bk与bk＋1之间插入ak个2，得到一个新数列{cn}．设数列{cn}的前m项的和为Tm，试问：是否存在正整数m.使得Tm＝2019？如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由．20.(本小题满分16分)已知函数f(x)＝alnx－bx(a，b∈R)．(1)若a＝1，b＝1，求函数y＝f(x)的图象在x＝1处的切线方程；(2)若a＝1，求函数y＝f(x)的单调区间；(3)若b＝1，已知函数y＝f(x)在其定义域内有两个不同的零点x1，x2，且x1x2.不等式a(1－m)x1＋mx2(m0)恒成立，求实数m的取值范围.2019届高三年级第一次模拟考试(二)数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21.(本小题满分10分)求函数y＝3cos2x－π3的图象在x＝5π12处的切线方程．22.(本小题满分10分)已知定点A(－2，0)，点B是圆x2＋y2－8x＋12＝0上一动点，求AB中点M的轨迹方程.23.(本小题满分10分)在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB⊥AC，AB＝2，AC＝4，AA1＝3，D是BC的中点．(1)求直线DC1与平面A1B1D所成角的正弦值；(2)求二面角B1DC1A1的余弦值．424.(本小题满分10分)已知x，y为整数，且xy0，θ∈0，π2，n为正整数，cosθ＝x2－y2x2＋y2，sinθ＝2xyx2＋y2，记An＝(x2＋y2)ncosnθ，Bn＝(x2＋y2)nsinnθ.(1)试用x，y分别表示A1，B1；(2)用数学归纳法证明：对一切正整数n，An均为整数．2019届高三年级第一次模拟考试(二)(镇江)数学参考答案1.{0，2}2.{x|x≤2}3.154.85.3π36.657.128.(2，3)9.－7810.1311.1212.313.[－2，2]14.－16，＋∞15.(1)由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC，(1分)且ccosB＋bcosC＝3acosB，得sinCcosB＋sinBcosC＝3sinAcosB，(3分)则3sinAcosB＝sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sinA，(5分)又A∈(0，π)，则sinA0，(6分)则cosB＝13.(7分)(2)因为B∈(0，π)，则sinB0，sinB＝1－cos2B＝1－132＝223.(9分)因为|CA→－CB→|＝|BA→|＝c＝2，(10分)5又S＝12acsinB＝12a×2×223＝22，解得a＝3.(12分)由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accosB＝9＋4－2×3×2×13＝9，则b＝3.(14分)故边b的值为3.16.(1)在四棱锥VABCD中，因为VD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以VD⊥BC.(3分)因为底面ABCD是矩形，所以BC⊥CD.(4分)又CD⊂平面VCD，VD⊂平面VCD，CD∩VD＝D，则BC⊥平面VCD.(7分)(2)因为底面ABCD是矩形，所以AD∥BC，(8分)又AD⊄平面VBC，BC⊂平面VBC，则AD∥平面VBC，(11分)又平面ADNM∩平面VBC＝MN，AD⊂平面ADNM，则AD∥MN.(14分)17.(1)因为三楼宇间的距离都为2千米，所以AB＝AC＝BC＝2，(1分)因为楼宇D对楼宇B，C的视角为120°，所以∠BDC＝120°，(2分)在△BDC中，因为BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC，(3分)所以22＝BD2＋CD2－2BD·CD·cos120o＝BD2＋CD2＋BD·CD≥2BD·CD＋BD·CD＝3BD·CD，则BD·CD≤43，(4分)当且仅当BD＝CD时等号成立，此时∠DBC＝∠DCB＝30°，BD＝CD＝1cos30°＝233.区域最大面积S＝S△ABC＋S△BCD＝12×2×2×sin60°＋12BD·CD·sin120°＝433(平方千米)．(7分)(或者：因为直角三角形△ABD，△ACD全等，区域最大面积S＝S△ABD＋S△ACD＝2S△ABD＝2×12AB·BD＝433(平方千米)．(7分))(2)设铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用为y元，在Rt△BDE中，由(1)知，∠BDE＝θ∈0，π3，(8分)则DE＝233cosθ，BE＝233tanθ，AE＝AB－BE＝2－233tanθ，(9分)所以y＝2a·ED＋a·AE＝2a233cosθ＋a·2－233tanθ＝23a32－sinθcosθ＋2a，θ∈0，π3.(10分)6记f(θ)＝2－sinθcosθ，令f′(θ)＝－1＋2sinθcos2θ＝0，解得θ＝π6∈0，π3.(11分)当θ∈0，π6时，f′(θ)0，函数f(θ)为减函数；当θ∈π6，π3时，f′(θ)0，函数f(θ)为增函数．所以当θ＝π6时，f(θ)取最小值，此时ymin＝4a(元)．(12分)答：(1)四栋楼宇围成的四边形区域ABDC面积的最大值为433平方千米；(2)铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值为4a元．(14分)18.(1)由长轴长2a＝4，准线间距离2×a2c＝42，解得a＝2，c＝2，(2分)则b2＝a2－c2＝2，即椭圆方程为x24＋y22＝1.①(4分)(2)若直线l的斜率不存在，则EF＝6，△AEF的面积S＝12AD·EF＝362不合题意；(5分)若直线l的斜率存在，设直线l：y＝k(x－1)，②代入①得，(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0，③因为点D(1，0)在椭圆内，所以Δ0恒成立．设点E(x1，y1)，F(x2，y2)，则x1，2＝4k2±223k2＋22（1＋2k2），④(6分)EF＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·223k2＋21＋2k2.(7分)点A到直线l的距离d为3|k|1＋k2，(8分)则△AEF的面积S＝12d·EF＝12·3|k|1＋k2·1＋k2·223k2＋21＋2k2＝323k4＋2k21＋2k2＝10，(9分)解得k＝±1.综上，直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.(10分)(3)设直线AE：y＝y1x1＋2(x＋2)，令x＝3，得点M3，5y1x1＋2，7同理可得点N3，5y2x2＋2，所以点Q的坐标为3，5y12（x1＋2）＋5y22（x2＋2）.(12分)所以直线QD的斜率为k′＝54y1x1＋2＋y2x2＋2，(13分)而y1x1＋2＋y2x2＋2＝k（x1－1）x1＋2＋k（x2－1）x2＋2＝k2x1x2＋x1＋x2－4x1x2＋2（x1＋x2）＋4.(14分)由(2)中③得，x1＋x2＝4k21＋2k2，x1x2＝2k2－41＋2k2，代入上式得，(15分)y1x1＋2＋y2x2＋2＝k4k2－8＋4k2－4（1＋2k2）2k2－4＋8k2＋4＋8k2＝－12k18k2＝－23k.则k′＝－56k，所以k·k′＝－56为定值．(16分)19.(1)设等比数列{an}的公比为q(q0)，因为a1＝2，a2a4＝a1q·a1q3＝64，解得q＝2，则an＝2n.(1分)当n＝1时，a1b1＝2，则b1＝1，(2分)当n≥2时，a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝(n－1)·2n＋1＋2，①a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1＝(n－2)·2n＋2，②由①－②得，anbn＝n·2n，则bn＝n.综上，bn＝n.(4分)(2)不等式λ1－12b11－12b2…1－12bn12bn＋1对一切正整数n都成立，即λ1－121－14…1－12n