2.6对数与对数函数讲义

§2.6对数与对数函数2014高考会这样考1.考查对数函数的图象、性质；2.对数方程或不等式的求解；3.考查和对数函数有关的复合函数．复习备考要这样做1.注意函数定义域的限制以及底数和1的大小关系对函数性质的影响；2.熟练掌握对数函数的图象、性质，搞清复合函数的结构以及和对数函数的关系．1．对数的概念如果ax＝N(a0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中__a__叫做对数的底数，__N__叫做真数．2．对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a0且a≠1，M0，N0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaMN＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝nmlogaM.(2)对数的性质①alogaN＝__N__；②logaaN＝__N__(a0且a≠1)．(3)对数的重要公式①换底公式：logbN＝logaNlogab(a，b均大于零且不等于1)；②logab＝1logba，推广logab·logbc·logcd＝logad.3．对数函数的图象与性质a10a1图象性质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0(4)当x1时，y0当0x1时，y0(5)当x1时，y0当0x1时，y0(6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线__y＝x__对称．[难点正本疑点清源]1．对数值取正、负值的规律当a1且b1或0a且0b1时，logab0；当a1且0b1或0a1且b1时，logab0.2．对数函数的定义域及单调性对数函数y＝logax的定义域应为{x|x0}．对数函数的单调性和a的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0a1和a1进行分类讨论．3．关于对数值的大小比较(1)化同底后利用函数的单调性；(2)作差或作商法；(3)利用中间量(0或1)；(4)化同真数后利用图象比较．1．(2011·江苏)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是__________．答案－12，＋∞解析函数f(x)的定义域为－12，＋∞，令t＝2x＋1(t0)．因为y＝log5t在t∈(0，＋∞)上为增函数，t＝2x＋1在－12，＋∞上为增函数，所以函数y＝log5(2x＋1)的单调增区间为－12，＋∞.2．函数y＝loga(x＋3)－1(a0且a≠1)的图象恒过点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上(其中mn0)，则1m＋2n的最小值为________．答案8解析y＝loga(x＋3)－1(a0且a≠1)的图象恒过点A(－2，－1)，A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，即2m＋n＝1.∴1m＋2n＝1m＋2n(2m＋n)＝4＋nm＋4mn≥4＋24＝8，当且仅当4m2＝n2时取等号．3．(2012·安徽)(log29)·(log34)等于()A.14B.12C．2D．4答案D解析方法一原式＝lg9lg2·lg4lg3＝2lg3·2lg2lg2·lg3＝4.方法二原式＝2log23·log24log23＝2×2＝4.4．(2012·重庆)已知a＝log23＋log23，b＝log29－log23，c＝log32，则a，b，c的大小关系是()A．a＝bcB．a＝bcC．abcD．abc答案B解析∵a＝log23＋log23＝log233，b＝log29－log23＝log233，∴a＝b.又∵函数y＝logax(a1)为增函数，∴a＝log233log22＝1，c＝log32log33＝1，∴a＝bc.5．(2011·安徽)若点(a，b)在y＝lgx图象上，a≠1，则下列点也在此图象上的是()A.1a，bB．(10a,1－b)C.10a，b＋1D．(a2,2b)答案D解析由点(a，b)在y＝lgx图象上，知b＝lga.对于A，点1a，b，当x＝1a时，y＝lg1a＝－lga＝－b≠b，∴不在图象上．对于B，点(10a,1－b)，当x＝10a时，y＝lg(10a)＝lg10＋lga＝1＋b≠1－b，∴不在图象上．对于C，点10a，b＋1，当x＝10a时，y＝lg10a＝1－lga＝1－b≠b＋1，∴不在图象上．对于D，点(a2,2b)，当x＝a2时，y＝lga2＝2lga＝2b，∴该点在此图象上.题型一对数式的运算例1计算下列各式：(1)lg25＋lg2·lg50＋(lg2)2；(2)lg32－lg9＋1·lg27＋lg8－lg1000lg0.3·lg1.2；(3)(log32＋log92)·(log43＋log83)．思维启迪：(1)lg2·lg50没有办法直接化简，可考虑提取公因数lg2.(2)将根号下配成完全平方的形式，开根号．(3)利用换底公式，是本题的切入口．解(1)原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52＝(lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5＝(1＋1)lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2.(2)原式＝lg32－2lg3＋1·32lg3＋3lg2－32lg3－1·lg3＋2lg2－1＝1－lg3·32lg3＋2lg2－1lg3－1·lg3＋2lg2－1＝－32.(3)原式＝lg2lg3＋lg2lg9·lg3lg4＋lg3lg8＝lg2lg3＋lg22lg3·lg32lg2＋lg33lg2＝3lg22lg3·5lg36lg2＝54.探究提高(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底或指数与对数互化．(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧．求值：(1)log89log23；(2)(lg5)2＋lg50·lg2；(3)12lg3249－43lg8＋lg245.解(1)原式＝log2332log23＝23.(2)原式＝(lg5)2＋lg(10×5)lg105＝(lg5)2＋(1＋lg5)(1－lg5)＝(lg5)2＋1－(lg5)2＝1.(3)原式＝lg427－lg4＋lg(75)＝lg42×757×4＝lg10＝12.题型二对数函数的图象与性质例2已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a＝f(log47)，b＝f(log123)，c＝f(0.2－0.6)，则a，b，c的大小关系是()A．cabB．cbaC．bcaD．abc思维启迪：比较大小可充分利用函数的单调性或找中间值；利用函数图象可以直观地得到各自变量的大小关系．答案B解析log123＝－log23＝－log49，b＝f(log123)＝f(－log49)＝f(log49)，log47log49,0.2－0.6＝15－35＝5125532＝2log49，又f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，故f(x)在[0，＋∞)上是单调递减的，∴f(0.2－0.6)f(log123)f(log47)，即cba.探究提高(1)函数的单调性是函数最重要的性质，可以用来比较函数值的大小，解不等式等；(2)函数图象可以直观表示函数的所有关系，充分利用函数图象解题也体现了数形结合的思想．(1)(2012·天津)已知a＝21.2，b＝12－0.8，c＝2log52，则a，b，c的大小关系为()A．cbaB．cabC．bacD．bca答案A解析b＝12－0.8＝20.821.2＝a，c＝2log52＝log522log55＝120.8＝b，故cba.(2)已知函数f(x)＝loga(x＋b)(a0且a≠1)的图象过两点(－1，0)和(0,1)，则a＝________，b＝________.答案22解析f(x)的图象过两点(－1,0)和(0,1)．则f(－1)＝loga(－1＋b)＝0且f(0)＝loga(0＋b)＝1，∴b－1＝1b＝a，即b＝2a＝2.题型三对数函数的综合应用例3已知函数f(x)＝loga(3－ax)．(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．思维启迪：f(x)恒有意义转化为“恒成立”问题，分离实数a来解决；探究a是否存在，可从单调性入手．解(1)∵a0且a≠1，设y＝3－ax，则y＝3－ax为减函数，x∈[0,2]时，t最小值为3－2a，当x∈[0,2]，f(x)恒有意义，即x∈[0,2]时，3－ax0恒成立．∴3－2a0.∴a32又a0且a≠1，∴a∈(0,1)∪1，32.(2)t＝3－ax，∵a0，∴函数t(x)为减函数，∵f(x)在区间[1,2]上为减函数，∴y＝logat为增函数，∴a1，x∈[1,2]时，t(x)最小值为3－2a，f(x)最大值为f(1)＝loga(3－a)，∴3－2a0loga3－a＝1，即a32a＝32，故不存在．探究提高解决对数函数综合问题的方法无论讨论函数的性质，还是利用函数的性质(1)要分清函数的底数a∈(0,1)，还是a∈(1，＋∞)；(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误．已知f(x)＝log4(4x－1)．(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的单调性；(3)求f(x)在区间12，2上的值域．解(1)由4x－10，得x0.∴f(x)的定义域为{x|x0}．(2)设0x1x2，则04x1－14x2－1，∴log4(4x1－1)log4(4x2－1)，∴f(x1)f(x2)．故f(x)＝log4(4x－1)在(0，＋∞)上为增函数．(3)∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，f12＝log4412－1＝0，f(2)＝log4(42－1)＝log415.∴f(x)在12，2上的值域为[0，log415]．4.数形结合思想在对数函数中的应用典例：(12分)已知函数f(x)＝loga(ax－1)(a0且a≠1)．求证：(1)函数f(x)的图象总在y轴的一侧；(2)函数f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于0.审题视角(1)要证明f(x)的图象总在y轴的一侧，说明f(x)的自变量只能在(0，＋∞)或(－∞，0)内取值．(2)可以在f(x)上任取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，证明k＝y2－y1x2－x10即可．规范解答证明(1)由ax－10，得ax1，[1分]∴当a1时，x0，即函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，此时函数f(x)的图象总在y轴的右侧；[3分]当0a1时，x0，即函数f(x)的定义域为(－∞，0)，此时函数f(x)的图象总在y轴的左侧．[5分]∴函数f(x)的图象总在y轴的一侧．[6分](2)设A(x1，y1)、B(x2，y2)是函数f(x)图象上的任意两点，且x1x2，则直线AB的斜率k＝y1－y2x1－x2.[7分]y1－y2＝loga(ax1－1)－loga(ax2－1)＝logaax1－1ax2－1，[8分]当a1时，由(1)知0x1x2，∴1ax1ax2，∴0ax1－1ax2－1.∴0ax1－1ax2－11，∴y1－y20.又x1－x20，∴k0.[9分]当0a1时，由(1)知x1x2