2.3.1双曲线及其标准方程1.椭圆的定义是怎样的?和等于常数2a(2a|F1F2|0)的点的轨迹.平面内与两定点F1、F2的距离的1F2F0,c0,cXYOyxM,2.引入问题:差等于常数的点的轨迹是什么呢?平面内与两定点F1、F2的距离的新课引入|MF1|+|MF2|=2a(2a|F1F2|0)①如图(A),|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a②如图(B),由①②可得:||MF1|-|MF2||=2a(差的绝对值)|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a上面两条合起来叫做双曲线同学们:下面观看双曲线形成动画演示①两个定点F1、F2——双曲线的焦点;②|F1F2|=2c——焦距.(1)2a2c;oF2F1M平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.(2)2a0;双曲线定义思考:(1)若2a=2c,则轨迹是什么?(2)若2a2c,则轨迹是什么?说明(3)若2a=0,则轨迹是什么?||MF1|-|MF2||=2a(1)两条射线(2)不表示任何轨迹(3)线段F1F2的垂直平分线F2F1MxOy求曲线方程的步骤:双曲线的标准方程1.建系.以F1,F2所在的直线为x轴,线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系2.设点.设M(x,y),则F1(-c,0),F2(c,0)3.列式|MF1|-|MF2|=±2a4.化简aycxycx2)()(2222即aycxycx2)()(2222222222)(2)(ycxaycx222)(ycxaacx)()(22222222acayaxac222bac)0,0(12222babyax此即为焦点在x轴上的双曲线的标准方程12222byax12222bxayF2F1MxOyOMF2F1xy)00(ba,若建系时,焦点在y轴上呢?看前的系数,哪一个为正,则在哪一个轴上22,yx2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系?1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上?问题定义方程焦点a.b.c的关系F(±c,0)F(±c,0)a0,b0,但a不一定大于b,c2=a2+b2ab0,a2=b2+c2双曲线与椭圆之间的区别与联系||MF1|-|MF2||=2a|MF1|+|MF2|=2a椭圆双曲线F(0,±c)F(0,±c)22221(0)xyabab22221(0)yxabab22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab1.判断:(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)在双曲线标准方程中,a,b,c之间的关系同椭圆中a,b,c之间的关系相同.()(2)点A(1,0),B(-1,0),若|AC|-|BC|=2,则点C的轨迹是双曲线.()××小试牛刀2.双曲线方程为x2-y22=1,则它的右焦点坐标为()A.(22,0)B.(52,0)C.(62,0)D.(3,0)D3.双曲线的两焦点坐标是F1(3,0),F2(-3,0),2b=4,则双曲线的标准方程是()A.x25-y24=1B.y25-x24=1C.x23-y22=1D.x29-y216=14.设双曲线x216-y29=1的右支上点P到左焦点F1的距离是15,则P到右焦点F2的距离是________.A7据下列条件,求双曲线的标准方程.(1)两个焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上一点P到F1,F2距离差的绝对值等于6;(2)a=4,经过点A(1,-4103).(链接教材P54例1)[解](1)因为双曲线的焦点在x轴上,设它的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).因为2a=6,2c=10,所以a=3,c=5,所以b2=52-32=16.因此,双曲线的标准方程为x29-y216=1.(2)当焦点在x轴上时,设所求标准方程为x216-y2b2=1(b>0),把A点的坐标代入,得b2=-1615×1609<0,不符合题意;当焦点在y轴上时,设所求标准方程为y216-x2b2=1(b>0),把A点的坐标代入,得b2=9,所以所求双曲线的标准方程为y216-x29=1.方法归纳求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似,可以先根据其焦点位置设出标准方程的形式,(先定位再定量)然后用待定系数法求出a,b的值.若焦点位置不确定,可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解,此方法思路清晰,但过程复杂,注意到双曲线过两定点,可设其方程为mx2+ny2=1(mn<0),通过解方程组即可确定m、n,避免了讨论,实为一种好方法.1.求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)焦点分别为F1(-10,0),F2(10,0),且经过点(35,-4);(2)经过点(3,0),(-6,-3).解:(1)由题设知双曲线的焦点在x轴上,且c=10.所以可设它的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).从而将双曲线的标准方程化为x2100-b2-y2b2=1,将点(35,-4)代入并化简整理,得b4-39b2-1600=0,解得b2=64或b2=-25(舍去),故所求双曲线的标准方程为x236-y264=1.变式训练(2)设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),∵双曲线经过点(3,0),(-6,-3),∴9m+0=1,36m+9n=1,解得m=19,n=-13.故所求双曲线的标准方程为x29-y23=1.曲线x2-y212=1上的一点,F1,F2是该双曲线的两个焦点,若|PF1|∶|PF2|=3∶2,求△PF1F2的面积.[解]已知得2a=2,又由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2,∵|PF1|∶|PF2|=3∶2,∴|PF1|=6,|PF2|=4.又|F1F2|=2c=213,由余弦定理,得cos∠F1PF2=62+42-522×6×4=0,∴三角形F1PF2为直角三角形.S△PF1F2=12×6×4=12.变式训练2.设双曲线x24-y29=1,F1、F2是其两个焦点,点M在双曲线上.(1)若∠F1MF2=90°,求△F1MF2的面积;(2)若∠F1MF2=60°时,△F1MF2的面积是多少?解:(1)由双曲线方程知a=2,b=3,c=13,设|MF1|=r1,|MF2|=r2(r1>r2).由双曲线定义得r1-r2=2a=4,两边平方得r21+r22-2r1·r2=16,即|F1F2|2-4S△F1MF2=16,即4S△F1MF2=52-16,∴S△F1MF2=9.(2)若∠F1MF2=60°,在△F1MF2中,由余弦定理得|F1F2|2=r21+r22-2r1r2cos60°,|F1F2|2=(r1-r2)2+r1r2,∴r1r2=36,则S△F1MF2=12r1r2sin60°=93.方法归纳双曲线的定义是解决与双曲线有关的问题的主要依据,在应用时,一是注意条件||PF1|-|PF2||=2a(02a|F1F2|)的使用,二是注意与三角形知识相结合,经常利用正、余弦定理,同时要注意整体运算思想的应用.课后作业作业:课本第60页1、2、3、作业:练习册第66页1、2、此课件下载可自行编辑修改,此课件供参考!部分内容来源于网络,如有侵权请与我联系删除!