1.3-正方形的性质与判定-练习(含答案)

11．3正方形的性质与判定正方形的性质1．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是()A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．对角线互相垂直且相等2．如图，四边形ABCD，AEFG都是正方形，点E、G分别在AB、AD上，连接FC，过点E作EH∥FC交BC于点H.若AB＝4，AE＝1，则BH的长为()A．1B．2C．3D．323．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH.若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是()A．3B．4C．5D．64．如图，将正方形纸片按如图折叠，AM为折痕，点B落在对角线AC上的点E处，则∠CME＝________．5．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点D，B作DE⊥a于点E，BF⊥a于点F，若DE＝4，BF＝3，则EF的长为________.6.如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF＝3，△EFC的周长为12，则EC的长为________．7．如图，过正方形ABCD的顶点D作DE∥AC交BC的延长线于点E.(1)判断四边形ACED的形状，并说明理由；(2)若BD＝8cm，求线段BE的长．28．如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为()A．6cm2B．8cm2C．16cm2D．不能确定9．如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF.其中正确的有()A．4个B．3个C．2个D．1个10．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为________．11．如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF＝90°，EF交正方形外角的平分线CF于点F.求证：AE＝EF.12．如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE＝PB.(1)求证：△BCP≌△DCP；(2)求证：∠DPE＝∠ABC；(3)把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变(如图②)，若∠ABC＝58°，则∠DPE＝________度．13.如图,四边形ABCD、DEFG都是正方形,连接AE、CG.(1)求证：AE=CG；(2)观察图形,猜想AE与CG之间的位置关系,并证明你的猜想.314、如图,四边形ABCD是正方形,BE⊥BF,BE=BF,EF与BC交于点G．（1）求证：AE=CF；（2）若∠ABE=55°,求∠EGC的大小．15.正方形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,E为BD上一点,延长AE到点N,使AE=EN,连接CN、CE．（1）求证：AE=CE．（2）求证：△CAN为直角三角形．（3）若AN=4，正方形的边长为6，求BE的长．1.A2.C3.B4.45°5.76.57.(1)四边形ACED是平行四边形．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，即AD∥CE，∵DE∥AC，∴四边形ACED是平行四边形．(2)由(1)知，BC＝AD＝CE＝CD，在Rt△BCD中，令BC＝CD＝x，则x2＋x2＝82.解得x＝42，∴BE＝2x＝82(cm)．8.B9.B10.7211.如图，取AB的中点H，连接EH，∵∠AEF＝90°，∴∠2＋∠AEB＝90°，∵四边形ABCD是正方形，4∴∠1＋∠AEB＝90°，∴∠1＝∠2，∵点E是BC的中点，点H是AB的中点，∴BH＝BE，AH＝CE，∴∠BHE＝45°，∵CF是∠DCG的角平分线，∴∠FCG＝45°，∴∠AHE＝∠ECF＝135°，在△AHE和△ECF中，∠1＝∠2，AH＝EC，∠AHE＝∠ECF，∴△AHE≌△ECF(ASA)，∴AE＝EF.12.(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCP＝∠DCP＝45°，又∵CP＝CP，∴△BCP≌△DCP(SAS)．(2)证明：由(1)知，△BCP≌△DCP，∴∠CBP＝∠CDP，∵PE＝PB，∴∠CBP＝∠E，∴∠CDP＝∠E，∵∠1＝∠2(对顶角相等)，∴180°－∠1－∠CDP＝180°－∠2－∠E，即∠DPE＝∠DCE，∵AB∥CD，∴∠DCE＝∠ABC，∴∠DPE＝∠ABC.(3)58°13、（1）略；（2）AE⊥CG；14、【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC，∵BE⊥BF，∴∠FBE=90°，∵∠ABE+∠EBC=90°，∠CBF+∠EBC=90°，∴∠ABE=∠CBF，在△AEB和△CFB中，∴△AEB≌△CFB（SAS），∴AE=CF．（2）解：∵BE⊥BF，∴∠FBE=90°，又∵BE=BF，∴∠BEF=∠EFB=45°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，又∵∠ABE=55°，∴∠EBG=90°﹣55°=35°，∴∠EGC=∠EBG+∠BEF=45°+35°=80°．15、【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD=∠CBD=45°，AB=CB，在△ABE和∠CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE=CE；（2）证明：∵AE=CE，AE=EN，∴∠EAC=∠ECA，CE=EN，∴∠ECN=∠N，∵∠EAC+∠ECA+∠ECN+∠N=180°，∴∠ACE+∠ECN=90°，即∠ACN=90°，∴△CAN为直角三角形；（3）解：∵正方形的边长为6，∴AC=BD=6，∵∠ACN=90°，AN=4，∴CN==2，∵OA=OC，AE=EN，∴OE=CN=，∵OB=BD=3，∴BE=OB+OE=4．