第10章-期权定价模型与数值方法

《金融数量分析——基于MATLAB编程》10.1期权基础概念1．期权的定义期权分为买入期权（calloption）和卖出期权（putoption）。买入期权:又称看涨期权（或敲入期权），它是赋予期权持有者在给定时间（或在此时间之前任一时刻）按规定价格买入一定数量某种资产的权利的一种法律合同。卖出期权:又称看跌期权（或敲出期权），它是赋予期权持有者在给定时间（或在此时间之前任一时刻）按规定价格卖出一定数量某种资产的权利的一种法律合同。2．期权的要素期权的四个要素：行权价（exerciseprice或strikingprice）、到期日（maturingdata）、标的资产（underlyingasset）、期权费（optionpremium）。对于期权的购买者（持有者）而言，付出期权费后，只有权利没有义务；对期权的出售者而言，接受期权费后，只有义务没有权利。10.1.1期权及其有关概念3．期权的内在价值买入期权在执行日的价值CT为CT=max(ST－E,0)式中:E表示行权价；ST表示标的资产的市场价。卖出期权在执行日的价值PT为PT=max(E－ST,0)根据期权的行权价与标的资产市场价之间的关系，期权可分为价内期权（inthemoney）(SE)、平价期权（atthemoney）(S=E)和价外期权（outofthemoney）(SE)。10.1.1期权及其有关概念说明期权价格与股票价格相关10.2.4Black-Scholes方程求解BlackScholes微分方程的风险中性定价。在风险中性事件中，以下两个结论称为风险中性定价原则:任何可交易的基础金融资产的瞬时期望收益率均为无风险利率，即恒有μ=r;任何一种衍生工具当前t时刻的价值均等于未来T时刻其价值的期望值按无风险利率贴现的现值。BlackScholes期权定价公式，欧式买权或卖权解的表达式为式中：MATLAB中计算期权价格的函数为blsprice函数，语法为\[Call,Put\]=blsprice(Price,Strike,Rate,Time,Volatility,Yield)输入参数：Price：标的资产市场价格；Strike：执行价格；Rate：无风险利率；Time：距离到期时间；Volatility：标的资产价格波动率；Yield：（可选）资产连续贴现利率，默认为0。输出参数：Call:Calloption价格；Put：Putoption价格。10.2.4Black-Scholes方程求解例10.2假设欧式股票期权,三个月后到期,执行价格95元,现价为100元,无股利支付,股价年化波动率为50%,无风险利率为10%,计算期权价格。代码如下:10.2.4Black-Scholes方程求解%标底资产价格Price=100;%执行价格Strike=95;%无风险收益率（年化）10%Rate=0.1%剩余时间Time=3/12;%年化波动率Volatility=0.5[Call,Put]=blsprice(100,95,0.1,0.25,0.5)Call=13.70%买入期权Put=6.35%卖出期权10.2.5影响期权价格的因素分析期权价格受到当前价格S、执行价格E、期权的期限T、股票价格方差率σ2及无风险利率r五个因素的影响。下面以欧式看涨期权为例来分析。期权对这五个因素的敏感程度称为期权的Greeks，其计算公式与计算函数如下。1.德尔塔（Delta）δ期权δ是考察期权价格随标的资产价格变化的关系，从数学角度看，δ是期权价格相对于标的资产价格的偏导数,有计算函数为blsdelta.m,函数语法如下：10.2.5影响期权价格的因素分析[CallDelta,PutDelta]=blsdelta(Price,Strike,Rate,Time,Volatility,Yield)输入参数：Price：标的资产市场价格；Strike：执行价格；Rate：无风险利率；Time：距离到期时间；Volatility：标的资产价格波动率；Yield：（可选）资产连续贴现利率，默认为0。输出参数：CallDelta:看涨期权的δ；PutDelta：看跌期权的δ。•例10.2假设欧式股票期权,三个月后到期,执行价格95元,现价为100元,无股利支付,股价年化波动率为50%,无风险利率为10%,计算期权δ。•代码如下:Price=60:1:100;%标底资产价格Strike=95;%执行价格Rate=0.1;%无风险收益率（年化）Time=(1:1:12)/12;%剩余时间Volatility=0.5;%年化波动率[CallDelta,PutDelta]=blsdelta(Price,Strike,Rate,Time,Volatility)•若要分析期权δ与标的资产价格、剩余期限的关系，即不同的Price与Time计算不同的δ三维关系，可以编写如下代码：Price=60:1:100;%标底资产价格Strike=95;%执行价格Rate=0.1;%无风险收益率（年化）Time=(1:1:12)/12;%剩余时间Volatility=0.5;%年化波动率[Price,Time]=meshgrid(Price,Time);[Calldelta,Putdelta]=blsdelta(Price,Strike,Rate,Time,Volatility);%mesh(Price,Time,Calldelta);mesh(Price,Time,Putdelta);xlabel('StockPrice');ylabel('Time(year)');zlabel('Delta');10.2.5影响期权价格的因素分析2.西塔（Theta）θθ表示期权价格对于到期日的敏感度，称为期权的时间损耗。3.维伽（Vega）νν表示方差率对期权价格的影响。4.珞（Rho）ρρ为期权的价值随利率波动的敏感度，利率增加，使期权价值变大。5.伽玛（Gamma）ΓΓ表示δ与标的资产价格变动的关系。10.2.5影响期权价格的因素分析10.3B－S公式隐含波动率计算BlackScholes期权定价公式，欧式期权理论价格的表达式：式中：隐含波动率是将市场上的期权交易价格代入权证理论价格BlackScholes模型反推出来的波动率数值。由于期权定价BS模型给出了期权价格与五个基本参数之间的定量关系，只要将其中前4个基本参数及期权的实际市场价格作为已知量代入定价公式，就可以从中解出惟一的未知量，其大小就是隐含波动率。10.3.1隐含波动率概念10.3.2隐含波动率计算方法隐含波动率是把权证的价格代入BS模型中反算出来的，它反映了投资者对未来标的证券波动率的预期。BlackScholes期权定价公式中已知St(标的资产市场价格)、X(执行价格)、r(无风险利率)、T－t(距离到期时间)、看涨期权ct或者看跌期权pt,根据B－S公式计算出与其相应的隐含波动率σyin。数学模型为式中:求解方程fc(σyin)=0,fp(σyin)=0的根。本质上是非线性方程10.3.3隐含波动率计算程序利用fsolve函数计算隐含波动率，fsolve是MATLAB最主要内置的求解方程组的函数，具体fsolve的使用方法可以参看相关函数说明。例10.4假设欧式股票期权，3个月后到期，执行价格95元，现价为100元，无股利支付，股价年化波动率为50%，无风险利率为10%，计算期权价格。计算结果如下：假设目前其期权交易价格为Call=15.00元，Put=7.00元，分别计算其相对应的隐含波动率。[Call,Put]=blsprice(100,95,0.1,0.25,0.5)Call=13.6953Put=6.3497步骤1：建立方程函数。看涨期权隐含波动率方程的M文件ImpliedVolatitityCallObj.M，其语法如下：f=ImpliedVolatitityCallObj(Volatility,Price,Strike,Rate,Time,Callprice)程序代码如下:functionf=ImpliedVolatitityCallObj(Volatility,Price,Strike,Rate,Time,Callprice)[e-mail]2009-8-3[Call,Put]=blsprice(Price,Strike,Rate,Time,Volatility);%存在一个波动率使得下列等式成立%fc(ImpliedVolatitity)=Call-Callprice=0f=Call-Callprice;10.3.3隐含波动率计算程序看跌期权隐含波动率方程的M文件为ImpliedVolatitityPutObj.m,其语法如下:f=ImpliedVolatitityPutObj(Volatility,Price,Strike,Rate,Time,Putprice)程序代码如下:functionf=ImpliedVolatitityPutObj(Volatility,Price,Strike,Rate,Time,Putprice)[e-mail]2009-8-3%根据参数，使用blsprice计算期权价格[Call,Put]=blsprice(Price,Strike,Rate,Time,Volatility);%fp(ImpliedVolatitity)=Put-Putprice=0%目标使得寻找X使得目标函数为0f=Put-Putprice;10.3.3隐含波动率计算程序步骤2：求解方程函数。求解方程函数的M文件为ImpliedVolatility.m,其语法如下：\[Vc,Vp,Cfval,Pfval\]=ImpliedVolatility(Price,Strike,Rate,Time,CallPrice,PutPrice)function[Vc,Vp,Cfval,Pfval]=ImpliedVolatility(Price,Strike,Rate,Time,CallPrice,PutPrice)[e-mail]2009-8-3Volatility0=1.0;%优化算法初始迭代点;%CallPrice对应的隐含波动率[Vc,Cfval]=fsolve(@(Volatility)ImpliedVolatitityCallObj(Volatility,Price,Strike,Rate,Time,CallPrice),Volatility0);%CallPrice对应的隐含波动率[Vp,Pfval]=fsolve(@(Volatility)ImpliedVolatitityPutObj(Volatility,Price,Strike,Rate,Time,PutPrice),Volatility0);10.3.3隐含波动率计算程序步骤3：函数求解。M文件TestImpliedVolatility.M代码如下：%TestImpliedVolatility%市场价格Price=100;%执行价格Strike=95;%无风险利率Rate=0.10;%时间（年）Time=0.25;CallPrice=15.0;%看涨期权交易价格PutPrice=7.0;%看跌期权交易价格%调用ImpliedVolatility函数[Vc,Vp,Cfval,Pfval]=ImpliedVolatility(Price,Strike,Rate,Time,CallPrice,PutPrice)10.3.3隐含波动率计算程序隐含波动率与期权价格关系图Price=100;Strike=95;Rate=0.10;Time=1.0;Volatility=0:0.1:2.0