2020年中考数学专题复习—二次函数

2020年中考数学专题复习—二次函数一、考点分布及分值设置附：近三年中考数学压轴题(二次函数)2017年1.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过A(-1,0),B(4,0),C(0,2)三点.(1)求该二次函数的解析式；(2)点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO(O是坐标原点)，求点D的坐标；(3)点P是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接PA分别交BC,y轴于点E,F,若△PEB,△CEF的面积分别为S1,S2,求S1-S2的最大值.二、考情分析与预测近三年的中考压轴题都与二次函数有关，是一个12分的综合题，由易至难均设置3个小问，第一问通常是求二次函数的解析式，大多数同学都能得分，第二、第三小问较难，往往出现动点，同时与几何图形结合在一起，进行条件或结论探索，有时也将相似三角形与线段长或图形面积的最值问题结合在一起进行考查，考生的得分率普遍不高.预计2020年中考压轴题仍然是与二次函数有关的综合题，设置3个小问题，难度不会有太大变化，解题方法与思路常与高中衔接，在这个题中同学们容易得一点分，但不容易得高分.考法示例类型1抛物线与相似三角形示例1如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x-2交于B，C两点.（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）求证：△ABC是直角三角形；（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.1.(2019·陕西)在平面直角坐标系中，已知抛物线L:y=ax2+(c-a)x+c经过点A（-3,0）和点B（0,-6），L关于原点O对称的抛物线为L′.（1）求抛物线L的解析式；（2）点P在抛物线L′上，且位于第一象限，过点P作PD⊥y轴，垂足为D，若△POD与△AOB相似，求符合条件的点P的坐标.变式训练∴抛物线L′的解析式为y=x2-5x+6,A(-3,0),(0,-6),∴AO=3,OB=6,设P（m,m2-5m+6）(m0),∵PD⊥y轴，∴点D的坐标为(0,m2-5m+6),∵PD=m,OD=m2-5m+6,Rt△POD与Rt△AOB相似，类型2图形形状探索问题②由点M在直线PD上，且P(-1，6)，可设M(-1，y)，则AM2=(-1+2)2+(y-6)2=1+(y-6)2，BM2=(1+1)2+y2=4+y2，AB2=(1+2)2+62=45.分三种情况：当∠AMB=90°时，有AM2+BM2=AB2，变式训练(3)在(2)的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒(t＞0).过点P向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC于点F，问：以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形?若能，请求出t的值；若不能，请说明理由.类型3最值问题示例3如图1，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t.(1)求抛物线的表达式；(2)设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D.在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.(3)如图2，连接BC、PB、PC，设△PBC的面积为S.①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标.当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形.∵抛物线的表达式为y=-x2+2x+3，∴点C的坐标为(0，3)，点P的坐标为(2，3)，∴点M的坐标为(1，6)；当t≠2时，不存在，理由如下：若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE.∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为1，∴点P的横坐标t=2.又t≠2，∴不存在.即满足条件的点M的坐标为（1，6）.［点评］本题考查了待定系数法求一次(二次)函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次(二次)函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：(1)由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；(2)分t=2和t≠2两种情况考虑；(3)①利用三角形的面积公式找出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质结合面积法求出P点到直线BC的距离的最大值.变式训练4.(2019·凉山)如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3).(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明理由；(3)在(2)的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M(不与C点重合)，使得S△PAM＝S△PAC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)∵抛物线与x轴交于点A(－1，0)、B(3，0),∴可设交点式y＝a(x+1)(x－3),把点C(0，3)代入,得－3a＝3,∴a＝－1,∴y＝－(x+1)(x－3)＝－x2+2x+3,∴抛物线解析式为y＝－x2+2x+3.(2)在抛物线的对称轴上存在一点P，使得△PAC的周长最小.如图1，连接PB、BC.∵点P在抛物线对称轴直线x＝1上，点A、B关于对称轴对称,∴PA＝PB,∴△PAC的周长为AC+PC+PA＝AC+PC+PB.