因式分解应用例析

1/5因式分解应用例析一、用于计算例1计算)1011)(911()411)(311)(211(22222.【分析】若按常规思路从左到右逐个运算，比较麻烦；设法进行简便运算.观察整个算式,不难看出每一个因式都是两数的平方差,于是可以将每个因式分解,得以求解.个人收集整理勿做商业用途解:)1011)(911()411)(311)(211(22222=)1011)(1011)(911)(911()411)(411)(311)(311)(211)(211(=109101198910434532342123=)10998433221)(1011910453423(=2011101211.【点评】本题如果按照常规思路来解,比较困难,通过分析认真分析式子的结构、发散思维，运用所学知识，利用因式分解，使问题得以简捷解决.个人收集整理勿做商业用途例2计算.【分析】仔细观察算式发现：最后两项10922可分解因式，提公因式2后得92，再依次和前一项进行类似计算.解：=)22(222222229108765432=)12(22222222298765432=98765432222222222＝……=6.【点评】本题逆向思考，从最高的两项进行因式分解，逐次提取公因式，达到消项的目的.例3阅读下面的解题过程，然后回答问题：（1）分解因式：8)4)(3)(2)(1(xxxx.解：原式=8)3)(2)(4)(1(xxxx=8)65)(45(22xxxx.设mxx)45(2，则原式=)4)(2(828)2(2mmmmmm.（2）计算：12345671234568123456622/5解：设1234567=x，则原式=1)1()1)(1(222xxxxx.利用（1）、（2）的解法计算：2200412006200520042003.【分析】本题是属于阅读理解的题目，可仿照（1）、（2）用换元法，使问题变得简单些.解:设2004=a,maa2,则2200412006200520042003=21)2)(1()1(aaaaa=2221)2)((aaaaa=22221)(2)(aaaaa=2212amm=22)1(am=21am=2003120041122aaaa.【点评】解决阅读理解这类题目的要点：要认真仔细阅读题目中的语言文字信息、观察式子的特点，找出内在联系，写出求解过程.本题运用字母代数的特点，将被开方数转化为完全平方数，体现特殊与一般的思想方法.个人收集整理勿做商业用途二、用于求值例4已知实数ba、满足1)2()1(2baaa,求bababa424422的值.【分析】本题对已知条件进行化简，并将bababa424422分解因式，代入求值.解：∵1)2()1(2baaa，∴1222baaa，即：12ba.∴bababa424422=121)2(2)2(22baba.例5已知32,01232xxxx求的值.【分析】本题要充分利用“012xx”这个条件,经过变式来求值.这里可将22x拆成两项,变为)(22xx,再添加()xx.解:∵012xx，∴)3()(3222323xxxxxxx)41()1(22xxxxx=4.【点评】将多项式变形或拆项，整体运用已知条件，体现“整体”与“分解”思想的有机统一.例6已知a=x201+20，b=x201+19，c=x201+21，那么代数式acbcabcba222的值是（）A.4B.3C.2D.1【分析】因本题所求代数式中含有a、b、c的平方项与二次乘积项与完全平方展开式所含的项基本相同，所以应想办法，如何造型利用公式法分解因式进行化简.个人收集整理勿做商业用途解：原式=22221cacbba3/5当a=x201+20，b=x201+19，c=x201+21时，有：a－b=1，b－c=－2，a－c=－1，∴原式=31412112121222.故应选B.【点评】本题通过配成完全平方式，将条件代入，整体消元，方便简洁.三、用于判断数的整除性例7已知1248可以被在60到70之间的两个数整除,则它们是（）A．61、63B．61、65C．63、65D．63、67【分析】由1248联想到运用平方差公式进行因式分解，从而做出判断.因为1248=)12)(12)(12()12)(12(1212242424=)12)(12)(12)(12(661224=)12)(12)(12)(12)(12(3361224,而65)12(6,)12)(12(33=9×7=63,所以选择C.【点评】利用因式分解判断数的整除性，大大的简化运算量.从而体现公式方便快捷.例8已知ba、是正整数，且4522ba，那么数对（ba，）为____________.【解析】将4522ba变形分解，a2-b2=45分解得(a+b)(a-b)=1×45=5×9=3×15构造方程组，解得(23,22),(9,6),(7,2).四·证明不等分式例9设cba、、是三角形的三边长,求证:02222bccba.【分析】本题是证明一个不等问题,想办法利用三角形三边的关系以及因式分解来证明.证明:∵22222)(2cbabccba=))((cbacba,又∵cba、、是三角形的三边长,∴0cba,cba，即0))((cbacba，∴02222bccba.【点评】本题借助因式分解，将左边的多项式分解成一次因式的积，再根据三角形的三边的关系进行判断因式的符号.个人收集整理勿做商业用途五、用于判断三角形的形状例10已知cba、、是三角形的三边长,且满足,0222acbcabcba试判断△ABC的形状,并说明理由.【解析】∵,0222acbcabcba∴,0222222222acbcabcba即：0)()()(222accbba，∴0,0,0accbba，∴cba.4/5又cba、、是三角形的三边长,∴△ABC是等边三角形.六、用于实际应用例11在半径为R的圆形钢板上，冲去4个半径为r小圆，如图所示，利用因式分解计算，当R=85cm，r=15cm时剩余部分的面积（结果用表示）.【分析】剩余部分的面积可以看成是大圆的面积减去4个小圆的面积，在运算过程中，利用因式分解有时可以使运算简化.个人收集整理勿做商业用途解：剩余部分的面积为:R2-4r2=)2)(2()4(22rRrRrR=)5.7285)(5.7285(=700070100()2cm.【点评】本题巧妙的运用因式分解，避免了半径的平方运算，减小了运算量，使计算变得简便,迅速.例12如图所示,把321,,RRR三个电阻串联起来,线路AB上的电流为I,电压为V,则,321IRIRIRV当1R=34.9,2R=20.8,3R=32.3,I=2.5时,求V的值.个人收集整理勿做商业用途【研析】将因式分解的知识运用到物理学的运算当中,可减少运算量,使运算简化.解：当1R=34.9,2R=20.8,3R=32.3,I=2.5时,321IRIRIRV=)(321RRRI=2.5(34.9+20.8+32.3)=220.【点评】根据物理学的知识，串联线路电压等于各部分电压之和，构造数学模型，运用因式分解中的提取公因式，使运算得以简化.例13校园内有一个环形花坛，它的外圆半径R=7.5米,内圆半径r=2.5米,请问:该花坛的占地面积是多少?(取3.14)个人收集整理勿做商业用途【分析】由于花坛是环形的,所以花坛的占地面积是外圆的面积减去内圆的面积.解:22rRSSS内圆外圆环)(22rR=))((rRrR=(7.5+2.5)(7.5-2.5)=×50≈155(米2).答:该花坛的占地面积约是155米2.小试牛刀1、如果22()()4abab，则一定成立的是（）（A）a是b的相反数（B）a是b的相反数（C）a是b的倒数（D）a是b的倒数2、填空:已知22,4,6xyyxxyyx则的值为_________.3、求证:N=212222111个个nn是一个完全平方数4、小学生李亮和他的妹妹李娇的年龄分别是x岁和y岁，且xyx2=117，请问：学生李亮和他的妹妹李娇的年龄分别是多少岁？个人收集整理勿做商业用途1、解：∵22()()4abab，∴4))((babababa，即:242ba，∴1ba.5/5故选择C.2、解:∵,4,6xyyx∴2464)(22yxxyxyyx.3、.证明:N=)110210(91)110(91)110(91)999(92)999(9122992nnnnnn个个=322)333(3110)110(91个nnn，∴N是一个完全平方数.4、解9岁、4岁；提示：∵xyx2=)(yxx=117，而117=3×39=9×13=117×1，又因为李亮和他的妹妹李娇都是小学生，所以,13,9yxx即4y.个人收集整理勿做商业用途