矩阵在经济领域中的应用

07121001古国宝矩阵在经济领域中的应用西安电子科技大学矩阵论大作业论文题目：矩阵在经济领域中的应用所在院系数学与统计学院姓名古国宝学号07121001指导教师尹小艳结课时间2014年10月31日07121001古国宝矩阵在经济领域中的应用论文摘要在社会科学中，数学的首要应用领域无疑是经济学领域。经济学在上世纪的飞速发展无疑与其对数学模型和数学工具的广泛和深入的应用有密切的关系。矩阵是数学中最重要的概念之一，也是一种重要的数学工具，它广泛地应用于自然和社会科学的各个分支。本文侧重点在于研究矩阵在经济领域中的一些应用，开篇首先介绍了矩阵的一些基本概念、分类及性质，给出了它的加减法、数乘、方阵的行列式、矩阵的求逆和分块等运算方法和运算规律，以方便读者对后续知识的理解；紧接着通过查阅相关文献资料给出了一些典型的跟矩阵相关的经济学背景和模型；最后再给出具体的经济学实例借以说明矩阵这一线性代数工具的实用价值。【关键词】矩阵、运算规律、经济领域、数学模型、应用07121001古国宝矩阵在经济领域中的应用【Abstract】Inthesocialsciences,theprimaryapplicationsofmathematicsisundoubtedlyineconomics.Thereisnodoubtthattherapiddevelopmentofeconomicsinthelastcenturyhasacloserelationshipwithitsbreadthanddepthofapplicationofmathematicalmodelsandmathematicaltools.Matrixisoneofthemostimportantmathematicalconceptsanditisalsoanimportantmathematicaltoolanditiswidelyusedinvariousbranchesofthenaturalandsocialsciences.Inthispaper,thefocusisonsomematrixapplicationsresearchintheeconomic.Inordertofacilitatethereader'sunderstandingofthesubsequentknowledge,theopeningintroducessomebasicconceptsofthematrix,classificationandpropertiesanditsadditionandsubtraction,multiplication,squaredeterminant,matrixinversionandsub-blocksandotheroperationalmethodsandcalculationrules,followedbysometypicalbackgroundineconomicsandmodelsassociatedwiththematrixathroughareviewoftherelevantliterature.Andfinallyinordertoillustratethepracticalvalueofthismatrixlinearalgebratools,thispaperalsogivesaspecificeconomicsexamples.【Keywords】Matrix，computationrule,theeconomy,mathematicalmodel,application07121001古国宝矩阵在经济领域中的应用目录第1章导论..........................................1第2章矩阵基础知识...................................22.1矩阵的概念........................................22.2矩阵的基本运算....................................32.2.1矩阵加法...............................................32.2.2矩阵数乘和相乘........................................42.3矩阵的逆...........................................5第3章经济模型中的矩阵...............................63.1商品交换基础模型..................................63.2最优化模型........................................93.3投入与产出模型....................................9第4章矩阵在经济模型中应用实例......................104.1矩阵在生产成本计算上的应用........................104.2矩阵在最优规划上的应用.............................124.3矩阵在投入产出分析上的应用........................13参考文献...............................................1507121001古国宝矩阵在经济领域中的应用-1-第一章导论近几十年来，数学的应用不仅在它的传统领域如工程技术、经济建设中发挥着越来越重要的作用，而且不断地向一些新的领域渗透，形成了许多交叉学科如计量经济学、人口控制论、生物数学、地质数学等等。不论是用数学方法解决哪类实际问题，建立数学模型都是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步，建立数学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程，要通过观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住事物的本质，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题，这就需要深厚扎实的数学基础。在数学名词中，矩阵（英文名Matrix）是用来表示统计数据等方面的各种有关联的数据。这个定义很好地解释了Matrix代码是制造世界的数学逻辑基础。数学上，矩阵就是方程组的系数及常数所构成的方阵。把它用在解线性方程组上既方便，又直观。例如对于方程组1111axbyczd2222axbyczd3333axbyczd我们可以构成一个增广矩阵：333322221111dcbadcbadcba因为这些数字是有规则地排列在一起，形状像矩形，所以数学家们称之为矩阵。矩阵在数学建模中也被广泛的使用，如在数学规划模型，线性代数模型、微分方程模型、数学拟合等中都要用到矩阵。矩阵是一个数表，可以对表中的数据运用代数的方法进行运算和变换，它可以把复杂和抽象的实际问题进行简化，这样便有利于我们看清实际问题的本质，所以在解决实际问题时使用矩阵往往会起到事半功倍的效果。为此，本文主要对矩阵在经济模型中的应用进行分析和研究，并通过案例加以说明。07121001古国宝矩阵在经济领域中的应用-2-第2章矩阵基础知识2.1矩阵的概念已知n元线性方程组：mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111的系数及常数项可以排成m行，n+1列的有序数表：mmnmmnnbaaabaaabaaa21222221111211这个有序矩阵数表完全确定了该线性方程组，对它的研究可以判断它的解的情况。定义:设mn个数),,2,1;,,2,1(njmiaij排成m行n列的数表mnmmnnaaaaaaaaa212222111211用括号将其括起来,称为nm矩阵,并用大写字母表示,即mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211记为nmijaA)(.下面给出一些特殊矩阵：（1）行矩阵：m=1),,,(21naaaA；07121001古国宝矩阵在经济领域中的应用-3-（2）列矩阵：n=1TaaaA),,,(m21；（3）零矩阵nmA)0((不同型的零矩阵是不同的)；（4）方阵m=nnijaAn)(，称为n阶方阵；（5）单位矩阵100010001nE；对角矩阵n00000021.2.2矩阵的基本运算2.2.1矩阵加法定义:设有两个m×n矩阵nmijnijbBaA)(,)(m，矩阵mnmnmmmmnnnnbababababababababa221122222221211112121111BA称为矩阵A与B的和，记为A+B．注：①同型矩阵之间才能进行加法运算．②称矩阵-A=nijam)(为矩阵A的负阵，利用复矩阵的概念可定义矩阵的减法运算：)(BABA．运算规律：①交换律:ABBA；②结合律:)()(CBACBA；③OAA)(；④A+O=A．07121001古国宝矩阵在经济领域中的应用-4-2.2.2矩阵数乘和相乘1.矩阵数乘：定义:矩阵mnmmnnaaaaaaaaa212222111211AA称为数与矩阵A的乘积，记为A，或A．运算规律：①结合律：)()()(AAA；②矩阵关于数加法的分配律：AAA)(；③数关于矩阵加法的分配律：BABA)(．注：利用数乘也可以定义负阵和减法．2.矩阵相乘：定义:设是A一个ms矩阵，B是一个sn矩阵，记矩阵A与B的乘积nijcCABm)(，其中C是一个mn矩阵，skjkikjssijijiijbabababac12211),,2,1;,,2,1(njmi运算规律：①结合律：)()(BCACAB；②数乘结合律：)()()(BABAAB；③分配律：左分配律：ACABCBA)(；右分配律：CABAACB)(；④乘单位阵不变：nmnnmnmnmmAEAAAE,；注：左矩阵的列数=右矩阵的行数．07121001古国宝矩阵在经济领域中的应用-5-3.矩阵的幂：定义:设A是n阶方阵，定义AkkkAAAAAAAAAAAAA个1111121,,,，k为正整数．注：（1）只有方阵的幂才有意义．（2）乘方的性质：lklkAAA；lklkAA)(．2.3矩阵的逆定义:对于n阶方阵A，若存在n阶方阵B，使得EBAAB，则称矩阵A是可逆的，称矩阵B是A的逆矩阵，记A的逆阵为1A．定理:n阶方阵A可逆的充要条件是0A，且可逆时AAA11其中由行列式A各元素的代数余子式ijA构成的矩阵nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111称为A的伴随矩阵.可以得到：EAAAAA．逆矩阵的运算性质：①可逆阵A的逆矩阵仍可逆，且AA11)(；②0时，可逆阵的数乘A仍可逆，且111)(AA；③若A、B为同阶可逆矩阵，则AB仍可逆，且111)(ABAB；④可逆阵A的乘方仍可逆，且mmAA)()(11；⑤可逆阵A的转置仍可逆，且TTAA)()(11.07121001古国宝矩阵在经济领域中的应用-6-逆矩阵的求法举例例1设612132015A,530212C满足XCAX2,求X．解：并项：CXEA)2(CE