10.材料力学-压杆稳定解析

12目录10.1压杆稳定的概念10.2细长压杆的临界力10.3压杆的临界应力及临界应力总图10.4压杆的稳定计算10.5提高压杆稳定性的措施3§10.1压杆稳定性的概念构件的承载能力：①强度②刚度③稳定性工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安全可靠地工作。4P5一、稳定平衡与不稳定平衡：1.不稳定平衡62.稳定平衡73.稳定平衡和不稳定平衡8二、压杆失稳与临界压力1.理想压杆：材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。2.压杆的稳定平衡与不稳定平衡：稳定平衡不稳定平衡93.压杆失稳：4.压杆的临界压力稳定平衡不稳定平衡临界状态临界压力:Pcr过渡对应的压力10§10.2细长压杆的临界力PyyxM),(假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状态，如图，从挠曲线入手，求临界力。yEIPEIMy①弯矩：②挠曲线近似微分方程：02ykyyEIPyEIPk2:其中PxLPxyPM一、两端铰支细长压杆临界力11③微分方程的解：④确定积分常数：xBxAycossin0)()0(Lyy0cossin00:kLBkLABA即0cossin10kLkL0sinkLEIPLnk临界力Pcr是微弯下的最小压力，故，只能取n=1；且杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。两端铰支压杆临界力的欧拉公式2min2LEIPcr12—长度系数（或约束系数）。压杆临界力欧拉公式的一般形式2min2)(LEIPcr各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式见表9.1。二、其它支座条件下细长压杆临界力130.5l表10.1各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式支承情况两端铰支一端固定另端铰支两端固定一端固定另端自由两端固定但可沿横向相对移动失稳时挠曲线形状PcrABl临界力Pcr欧拉公式长度系数μ22lEIPcr22)7.0(lEIPcr22)5.0(lEIPcr22)2(lEIPcr22lEIPcr=10.7=0.5=2=1PcrABlPcrABl0.7lCCDC—挠曲线拐点C、D—挠曲线拐点0.5lPcrPcrl2llC—挠曲线拐点14[例1]如图所示压杆由14号工字钢制成，其上端自由，下端固定。已知钢材的弹性模量E＝210GPa，屈服点＝240MPa，杆长l＝3000mm。试求该杆的临界力FPcr和屈服载荷Fs。s解(1)计算临界力对14号工字钢，查型钢表得压杆应在刚度较小的平面内失稳，故取查表得=2。将有关数据代入公式即得该杆的临界力221.510mmA44minmm104.64yII4444mm104.64,mm10712yzII15229412Pcr223.142101064.4101037.1kN()(23)EIFl(2)计算屈服载荷(3)讨论FPcr∶Fs＝37.1∶516=1∶13.9，即屈服载荷是临界力的近14倍。可见细长压杆的失效形式主要是稳定性不够，而不是强度不足。46ss21.51024010516kNFA16PMkyky22MPyxMyEI)(EIPk2:令0,;0,0yyLxyyx解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：边界条件为:[例2]试由挠曲线近似微分方程，导出下述细长压杆的临界力公式。PLxPM0PM0PM0xPM0PMkxdkxcysincoskxckxdysincos17nkLnkLdPMc2,0,并2222)2/(4LEILEIPcr2kL为求最小临界力，“k”应取除零以外的最小值，即取：所以，临界力为：2nkL=0.518③压杆的临界力[例3]求下列细长压杆的临界力。,123hbIy=1.0，解：①绕y轴，两端铰支：222LEIPycry,123bhIz=0.7，②绕z轴，左端固定，右端铰支：212)7.0(LEIPzcrz),min(crzcrycrPPPyzL1L2yzhbx1949123minm1017.410121050I21min2)(lEIPcr48minm1089.3zII22min2)(lEIPcr[例4]求下列细长压杆的临界力。已知：L=0.5m,E=200GPa。图(a)图(b)解：图(a)图(b)kN14.67)5.07.0(20017.422kN8.76)5.02(200389.0225010PLPL(45456)等边角钢yz20§10.3压杆的临界应力及临界应力总图APcrcr一、基本概念1.临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。3.柔度：222222)/()(EiLEALEIAPcrcr2.细长压杆的临界应力：—惯性半径。—AIi）—杆的柔度（或长细比—iL22Ecr即：214.大柔度杆的分界：PcrE22。其临界力用欧拉公式求或长细杆的杆称为大柔度杆满足),(PPPE2求。临界力不能用欧拉公式的杆为中小柔度杆，其P二、中小柔度杆的临界应力计算1.直线型经验公式①PS时：scrbassba界应力用经验公式求。的杆为中柔度杆，其临Psbacr22iLcr界应力为屈服极限。的杆为小柔度杆，其临S22Ecr③临界应力总图②S时：scrbacrPSsbasPPE2232.抛物线型经验公式211bacrScEAA56.043.016253，锰钢：钢和钢、对于。时，由此式求临界应力c我国建筑业常用：①Ps时：21cscr②s时：scr24§10.4压杆的稳定计算压杆的稳定计算常用安全系数法。要使杆件不丧失稳定，不仅要求压杆的工作应力(或压力)不大于临界应力(或临界力)，而且还需要有稳定安全储备。临界应力(或临界力)与压杆的工作应力(或压力)之比，即为压杆的工作稳定安全系数n，它应大于或等于规定的稳定安全系数[n]st即stPPcrcrnFFn考虑到压杆存在初曲率和不可避免的载荷偏心等不利因素，规定的稳定安全系数[n]st比强度安全系数要大。25[例5]某机器连杆如图10.6所示，截面为工字形，其Iy＝1.42×104mm4，Iz＝7.42×104mm4，A＝552mm2。材料为Q275钢，连杆所受的最大轴向压力FP＝30kN，取规定的稳定安全系数[n]st＝4。试校核压杆的稳定性。解连杆失稳时，可能在x-y平面内发生弯曲，这时两端可视为铰支；也可能在x-z平面内发生弯曲，这时两端可视为固定。此外，在上述两平面内弯曲时，连杆的有效长度和惯性矩也不同。故应先计算出这两个弯曲平面内的柔度，以确定失稳平面，再进行稳定校核。26(1)柔度计算在x-y平面内失稳时，截面以z轴为中性轴，柔度在x-z平面内失稳时，截面以y轴为中性轴，柔度因，表明连杆在x-y平面内稳定性较差，故只需校核连杆在此平面内的稳定性。64552/1042.77501/41111AIlilzzz58552/1042.15805.0/42222AIlilyyyyz27(2)稳定性校核工作压力FP＝30kN临界力由于，属中长杆，需用经验公式。现按抛物线公式算得临界应力为则临界力为代入公式得[n]st故连杆的稳定性足够。P64z(MPa)2406400853.027500853.027522cr(kN)5.132105521024066crPcrAF4.4305.132PPcrFFn28[例6]托架受力和尺寸如图a)所示，已知撑杆AB的直径d＝40mm，材料为Q235钢，两端可视为铰支。规定稳定安全系数[n]st＝2。试据撑杆AB的稳定条件求托架载荷的最大值。解(1)求撑杆的许可压力属中长杆，现用直线公式计算临界应力和临界力。查表得a＝304MPa，b＝1.12MPa，则mm104dAIi80108001ilPs29由公式可得其许可压力(2)求托架载荷的最大值FQmax据三角形ABC求得作CD杆的受力图，如图b)所示，由平衡方程得(kN)cr3041.1280214.4(MPa)ab266Pcrcrπ4010214.410269.4(kN)4FAPcrPst269.4134.7(kN)[]2FFn330.53sinh0.610sin0.410(mm)0.8，PQmax0CMFhFCD3Qmax3134.70.41059.870.910PFhFCD30§10.5提高压杆稳定性的措施提高压杆的稳定性，就是要提高压杆的临界应力或临界力。1．材料方面对于细长杆，临界应力为。压杆材料的E愈大，其临界应力愈大。故选用弹性模量较大的材料，可以提高压杆的稳定性。2．柔度方面当材料选定时，压杆的临界应力随柔度的减小而增大。故在可能的条件下，可采用下列措施来减小压杆的柔度。31(1)改善杆端约束情况压杆两端约束愈强，值就愈小，柔度也就愈小，临界应力就愈大。因此，尽可能加强杆端约束的刚性，可提高压杆的稳定性。(2)减小压杆的长度减小压杆长度l是提高其稳定性的有效措施。如图a)所示两端铰支的细长压杆，若在杆的中点增加一铰支座，变为如图b)所示的情形，相当于计算长度减小一半，则其临界应力将增加为原来的4倍。32(3)选择合理的截面形状由欧拉公式可知，截面的惯性矩I愈大，其临界力愈大，则稳定性愈好。因此，压杆截面的合理形状应是使材料尽量远离形心轴。例如：在面积基本不变的情况下，空心的圆截面(图a))比实心的(图b))稳定性要好。334141021cm6.25,cm3.198,cm52.1,cm74.12yzIIzA41cm6.3963.19822zzII])2/([22011azAIIyy])2/52.1(74.126.25[22a时合理即2)2/52.1(74.126.253.198:a[例7]图示立柱，L=6m，由两根10号槽钢组成，材料为A3钢E=200GPa，，下端固定，上端为球铰支座，试问a=？时，立柱的临界压力最大，值为多少？解：对于单个10号槽钢，形心在C1点。两根槽钢图示组合之后，cm32.4ay1PLz0yz1C1aMPa200p345.1061074.122106.39667.0267.0481AIiLz3.9910200102006922PpEkN8.443)67.0(106.396200)(22222lEIPcr求临界力：大柔度杆，由欧拉公式求临界力。35