方程与不等式

1§2方程与不等式板块教学目标A级目标B级目标C级目标方程知道方程是刻画数量关系的一个有效的数学模型能够根据具体问题中的数量关系，列出方程能运用方程解决有关问题方程的解了解方程的解的概念会用观察、画图等手段估计方程的解一元一次方程了解一元一次方程的有关概念会根据具体问题列出一元一次方程一元一次方程的解法理解一元一次方程解法中的各个步骤能熟练掌握一元一次方程的解法；会求含有字母系数（无需讨论）的一元一次方程的解会运用一元一次方程解决简单的实际问题二元一次方程（组）了解二元一次方程（组）的有关概念能根据实际问题列出二元一次方程组二元一次方程组的解知道代入消元法和加减消元法的意义掌握代入消元法和加减消元法；能选用恰当的方法解二元一次方程组会运用二元一次方程组解决实际问题分式方程及其应用了解分式方程的有关概念能将分式方程转化为整式方程求解会运用分式方程解决实际问题不等式(组)能根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义．能根据具体问题中的数量关系列出不等式(组)．不等式的性质理解不等式的基本性质．会利用不等式的性质比较两个实数的大小．解一元一次不等式(组)了解一元一次不等式(组)的解的意义，会在数轴上表示(确定)其解集．会解一元一次不等式和由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会根据条件求整数解．能根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式解决简单问题．一元二次方程了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数；了解一元二次方程的根的意义能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值一元二次方程的解法理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据能选择恰当的方法解一元二次方程；会用方程的根的判别式判别方程根的情况能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会用配方法对代数式做简单的变形；会应用一元二次方程解决简单的实际问题教学目标2一、一元一次方程1、一元一次方程的认识及解法板块一等式的概念和性质1．等式的概念用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式．在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边．等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是用式子表示的运算律、运算法则．2．等式的类型（1）矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式总能成立．如：数字算式123．（2）条件等式：只能用某些数值代替等式中的字母，等式才能成立．方程56x需要1x才成立．（3）矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式都不能成立．如125，11xx．注意：等式由代数式构成，但不是代数式．代数式没有等号．3．等式的性质等式的性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式．若ab，则ambm；等式的性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0）或同一个整式，所得结果仍是等式．若ab，则ambm，abmm(0)m．注意：（1）在对等式变形过程中，等式两边必须同时进行．即：同时加或同时减，同时乘以或同时除以，不能漏掉某一边．（2）等式变形过程中，两边同加或同减，同乘或同除以的数或整式必须相同．（3）在等式变形中，以下两个性质也经常用到：①等式具有对称性，即：如果ab，那么ba．②等式具有传递性，即：如果ab，bc，那么ac．板块二方程的相关概念1．方程含有未知数的等式叫作方程．注意：定义中含有两层含义，即：方程必定是等式，即是用等号连接而成的式子；方程中必定有一个待确定的数即未知的字母．二者缺一不可．学习内容知识梳理32．方程的次和元方程中未知数的最高次数称为方程的次，方程中不同未知数的个数称为元．3．方程的已知数和未知数已知数：一般是具体的数值，如50x中（x的系数是1，是已知数．但可以不说）．5和0是已知数，如果方程中的已知数需要用字母表示的话，习惯上有a、b、c、m、n等表示．未知数：是指要求的数，未知数通常用x、y、z等字母表示．如：关于x、y的方程2axbyc中，a、2b、c是已知数，x、y是未知数．4．方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解．5．解方程求得方程的解的过程．注意：解方程与方程的解是两个不同的概念，后者是求得的结果，前者是求出这个结果的过程．6．方程解的检验要验证某个数是不是一个方程的解，只需将这个数分别代入方程的左边和右边，如果左、右两边数值相等，那么这个数就是方程的解，否则就不是．板块三一元一次方程的定义1．一元一次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程，这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．2．一元一次方程的形式标准形式：0axb（其中0a，a，b是已知数）的形式叫一元一次方程的标准形式．最简形式：方程axb（0a，a，b为已知数）叫一元一次方程的最简形式．注意：（1）任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形为最简形式或标准形式来验证．如方程22216xxx是一元一次方程．如果不变形，直接判断就出会现错误．（2）方程axb与方程(0)axba是不同的，方程axb的解需要分类讨论完成．板块四一元一次方程的解法1．解一元一次方程的一般步骤（1）去分母：在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数．注意：不要漏乘不含分母的项，分子是个整体，含有多项式时应加上括号．（2）去括号：一般地，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．注意：不要漏乘括号里的项，不要弄错符号．4（3）移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，不含未知数的项移到方程的另一边．注意：①移项要变号；②不要丢项．（4）合并同类项：把方程化成axb的形式．注意：字母和其指数不变．（5）系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数a（0a），得到方程的解bxa．注意：不要把分子、分母搞颠倒．2．解一元一次方程常用的方法技巧解一元一次方程常用的方法技巧有：整体思想、换元法、裂项、拆添项以及运用分式的恒等变形等．2、含字母系数的一次方程板块一含字母系数的一次方程1．含字母系数的一次方程的概念当方程中的系数用字母表示时，这样的方程叫做含字母系数的方程，也叫含参数的方程．2．含字母系数的一次方程的解法含字母系数的一元一次方程总可以化为axb的形式，方程的解由a、b的取值范围确定．(1)当0a时，bxa，原方程有唯一解；(2)当0a且0b时，解是任意数，原方程有无数解；(3)当0a且0b时，原方程无解．板块二同解方程及方程的同解原理1．方程的解使方程左边和右边相等的未知数的值称为方程的解．注意：方程的解是方程理论中的一个重要概念，对于方程解的概念，要学会从两个方面去运用：（1）求解：通过解方程，求出方程的解进而解决问题．（2）代解：将方程的解代入原方程进行解题．2．同解方程如果方程①的解都是方程②的解，并且方程②的解都是方程①的解，那么这两个方程是同解方程．3．方程的同解原理方程同解原理1：方程两边同时加上或减去同一个数或同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程．方程同解原理2：方程两边同时乘以或除以同一个不为零的数，所得的方程与原方程是同解方程．方程同解原理3：方程()()0fxgx与()0fx或()0gx是同解方程．53、含绝对值的一次方程含绝对值的一次方程的解法（1）形如(0)axbca型的绝对值方程的解法：①当0c时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解；②当0c时，原方程变为0axb，即0axb，解得bxa；③当0c时，原方程变为axbc或axbc，解得cbxa或cbxa．（2）形如(0)axbcxdac型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的非负性可知0cxd，求出x的取值范围；②根据绝对值的定义将原方程化为两个方程axbcxd和()axbcxd；③分别解方程axbcxd和()axbcxd；④将求得的解代入0cxd检验，舍去不合条件的解．（3）形如(0)axbcxdac型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的定义将原方程化为两个方程axbcxd或()axbcxd；②分别解方程axbcxd和()axbcxd．（4）形如()xaxbcab型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的几何意义可知xaxbab；②当cab时，此时方程无解；当cab时，此时方程的解为axb；当cab时，分两种情况：①当xa时，原方程的解为2abcx；②当xb时，原方程的解为2abcx．（5）形如(0)axbcxdexfac型的绝对值方程的解法：①找绝对值零点：令0axb，得1xx，令0cxd得2xx；②零点分段讨论：不妨设12xx，将数轴分为三个区段，即①1xx；②12xxx；③2xx；③分段求解方程：在每一个区段内去掉绝对值符号，求解方程并检验，舍去不在区段内的解．（6）形如(0)axbcxdexfa型的绝对值方程的解法：解法一：由内而外去绝对值符号：按照零点分段讨论的方式，由内而外逐层去掉绝对值符号，解方程并检验，舍去不符合条件的解．解法二：由外而内去绝对值符号：①根据绝对值的非负性可知0exf，求出x的取值范围；②根据绝对值的定义将原方程化为两个绝对值方程()axbexfcxd和()()axbexfcxd；③解②中的两个绝对值方程．4、一元一次方程的应用应用题是中学数学中的一类重要问题，一般通过对问题中的数量关系进行分析，适当的设未知数，找出等量关系列出方程加以解决．很多同学见到应用题就发怵，觉得题目长，文字多，关系复杂，难以把握．其实应用题关键在于读题，弄懂题意．一些常见的问题，比如行程问题、工程问题、利率问题、浓度问题等等，其中的基本关系一定要深刻理解．板块一设未知数的三种方法1．直接设未知数6直接设未知数指题目问什么就设什么，它多适用于要求的未知数只有一个的情况．2．间接设未知数设间接未知数，是指所设的不是所求的，而解得的间接未知数对确定所求的量起中介作用．3．引入辅助未知数设辅助未知数，就是为了使题目中的数量关系更加明确，可以引进辅助未知数帮助建立方程．辅助未知数往往不需要求出，可以在解题时消去．注意：解应用题的方法多种多样，除此之外，还有运用逆推法解应用题、运用整体思想解应用题、运用图形图表法解应用题等等，单纯的背这些方法是没有意义的，关键还在于提高理解能力，大量练习，从而学会快速读懂题意，综合运用各种方法去求解问题．板块二列方程解应用题的步骤1．审：分析好问题中的已知量和未知量，明确各数量之间的关系，从中找出能够表示实际问题全部含义的相等关系．要注意题中的相等关系有些是明显的，有些是不明显的，需要结合生活实际来发现；2．设：设未知数，一般求什么，就设什么为x，若有几个未知数，应恰当地选择其中的一个，用字母x表示出来．有时直接设不容易设得话，可采用间接设；3．找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系；4．列：根据这个相等关系列出方程；5．解：解所列出的方程，求出未知数的值；6．验：检验所求得的解是否符合题意；7．答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）．注意：（1）审题是很重要的，应反复阅读题目，用笔画出关键的语句，再找出数量之间的关系；（2）一般求解的几个未知量可直接设几个未知数，也可多设或少设．除直接设未知数外，也可以间接设未知数；（3）所设未知数的单位可以与题目中要求的不同，但所列各方程的同一未知数的单位要一致，每个方程两边单位要一致，答与问的单位要一致；（4）检验包含两方面的含义：首先要检验未知数的值是不是原方程（组）的解；其二是检验未知数的值是否符合实际意