【电动力学课件】3-1-矢势及其微分方程

本章内容：电磁场的基本理论应用到静磁场的情况，即研究恒定电流激发的磁场。在恒定电流情况下，电场也同时存在，电源及导线表面上都带有一定的电荷，但由于电场和磁场与时间无关，因而电场和磁场可以分开研究。根据麦克斯韦方程组，恒定电流激发的磁场满足：=⋅∇=×∇0BJH与静电场的标势相对应，静磁场的矢势是一个重要概念。第三章静磁场1一、矢势1.矢势的概念恒定电流磁场的基本方程是上两式结合物质的电磁性质方程是解磁场问题的基础。磁场的特点和电场不同：静电场是有源无旋场，电场线从正电荷出发而止于负电荷，静电场线永不闭合，可以引入标势来描述。静磁场是有旋无源场，磁感应线总是闭合曲线。一般情况下不能用标势描述。JΗ=×∇0=⋅∇B§3.1矢势及其微分方程2但由于,所以B可以表为另一矢量场的旋度，即A称为磁场的矢势。0=⋅∇BAB×∇=2.矢势A的物理意义为了看出矢势A的意义，我们考察上式的积分形式。把B对任一个以回路L为边界的曲面S积分，得这就是通过曲面S的磁通量。.ddd∫∫∫⋅=⋅×∇=⋅LSSlASASB设S1和S2是两个有共同边界L的曲面，则.ddd21L∫∫∫⋅=⋅=⋅SSSBlASB这正是B的无源性的表现。3因为是无源的，在S1和S2所包围的区域内没有磁感应线发出，也没有磁感应线终止，B线连续地通过该区域，因而通过曲面S1的磁通量必须等于通过曲面S2的磁通量。这磁通量由矢势A对S1或S2的边界的环量表示。因此，矢势A的物理意义是它沿任一闭合回路的环量代表通过以该回路为界的任一曲面的磁通量。只有A的环量才有物理意义，而每点上的值没有直接的物理意义。由矢势A可以确定磁场B，但是由磁场B并不能唯一地确定矢势A。例如：有沿Z轴方向的均匀磁场:其中B0为常量。,00BBBBzyx===4由定义式:0,0=∂∂−∂∂=∂∂−∂∂=∂∂−∂∂xAzAzAyAByAxAzxyzxy我们不难看出有解：,00yBAAAxyz−===同时还可以看出有另一解：xBAAAyxz0,0===53.确定A的辅助条件A的这种任意性是由于只有A的环量才有物理意义，而每点上的A本身没有直接的物理意义。因为任意函数，其梯度的旋度恒为零，故有ψ.)(AA×∇=∇+×∇ψψ∇+A即与A对应于同一个磁场B。由于A的这种任意性，要确定A，必须加一个辅助条件。最常用的办法就是令0=⋅∇A6证明：在所有的可以描述磁场的矢势中，必存在一个矢势A，满足证：设有一个A，满足我们另取一个矢势显然A’可以描述磁场，即0=⋅∇AAB×∇=，但0≠=⋅∇uAψ∇+=′AAAB′×∇=ψψ22∇+=∇+⋅∇=′⋅∇uAA现在的一个解，问题得证。取为泊松方程ψu−=∇ψ2当加上辅助条件以后，A就可以确定下来。对A所加的辅助条件称为规范条件。A⋅∇7二、矢势微分方程1.A的微分方程在均匀线性介质内。B=∇×A=μH，代入方程JAµ=×∇×∇)(得矢势A的微分方程∇×H=J由矢量分析公式.)()(2AAA∇−⋅∇∇=×∇×∇得JAAµ=∇−⋅∇∇2)(若取A满足规范条件∇⋅A=0，得矢势的微分方程0)(2=⋅∇−=∇AJAµA的每个直角分量Ai满足泊松方程)3,2,1(,2=−=∇iJAiiµ82.若J已知，求A对比ερϕ−=∇2的解.d)(41)(∫′′=rVxxρπεϕ)3,2,1(,2=−=∇iJAiiµ方程的解应为：.d)(4)(∫′′=rVJAiixxπµJAµ−=∇2所以方程的解为：.d)(4)(∫′′=rVxJxAπµ可以证明上式满足规范条件，因此，该式确实是微分方程的解。式中x’是源点,x为场点，r为由x’到x的距离。若讨论真空情形，令μ=μ0即可。93.根据A求B∫′′×∇=×∇=rVd)(4xJABπµ∫′′×∇=Vrd)()1(4xJπµ∫′×=Vrd43rJπµ对于线电流情形，设I为导线上的电流强度，作代换JdV→Idl，得这就是毕奥－萨伐尔定律给出的结果。∫×=3d4rIrlBπµ10三、矢势边值关系由前面知，当全空间的电流分布J给定时，可以计算磁场。对于电流和磁场互相制约的问题，则必须解矢势微分方程的边值问题必然要用到矢势的边值关系。在两介质分界面上磁场的边值关系为将场量用矢势A表示出来，即可得到矢势的边值关系。0)(12=−⋅BBnαHHn=−×)(12矢势的边值关系为0)(12=×∇−×∇⋅AAnαAAn=×∇−×∇×)11(1122µµ11四、静磁场的能量1.磁场的总能量静磁场的总能量为由于∫∞⋅=VWd21HB总)()()(HAHAHAHB×∇⋅+×⋅∇=⋅×∇=⋅JAHA⋅+×⋅∇=)(所以∫∫∞∞⋅+×⋅∇=VVWd21d)(21JAHA总∫∫⋅+⋅×=∞VVd21d)(21JASHA∫⋅=VVd21JA若取规范∇⋅A=0，可以证明0)(12=×∇−×∇⋅AAn可以用较简单的形式A1=A2代替。12仅对总能量有意义，不能把(A⋅J)/2看作能量密度，因为我们知道能量分布于磁场内，而不仅仅存在于电流分布区域内。和静电情形一样，公式：∫⋅=VVWd21JA总在上式中，矢势A是电流分布J本身激发的。某电流分布J在给定外磁场中的相互作用能量又如何呢？2.电流与外磁场的相互作用能如果我们要计算某电流分布J在给定外磁场中的相互作用能量，以Ae表示外磁场的矢势，Je表示产生该外磁场的电流分布，则总电流分布为J+Je，总磁场矢势为A+Ae，13所以，电流J在外场中的相互作用能为：∫+⋅+=VWeed)()(21AAJJ总∫⋅+⋅+⋅+⋅=Veeeed)(21AJAJAJAJ∫⋅+⋅=VWeeid)(21AJAJ磁场的的总能量为由于∫=rVd)(4xJAπµ,d)(4∫=rVeexJAπµ积分表达式中两项相等，因此电流J在外场Ae中的相互作用能量为∫⋅=VWeidAJ14ozdzRP↑I例1无穷长直导线载电流I，求磁场的矢势和磁感应强度。解：设P点到导线的垂直距离为R,电流元利用得积分是发散的。计算两点的矢势差值可以免除发散。22zR+.d)(4)(∫′′=rVxJxAπµ.d422∫∞∞−+=zRzIAzπµIdz到P点的距离为MMMzzRzzRzzIRARA−∞→++++=−202220ln4lim)()(πµ15若取R0点的矢势为零，计算可得++−++−⋅++++=∞→222202202211111111ln4limMRMRMRMRIMπµ0220ln2ln4RRIRRIAπµπµ−==取A的旋度得磁感应强度)ˆln2(0zeRRIπµ×−∇=×∇=ABzeRRIˆ)ln2(0×−∇=πµzReeRIˆˆ2×−=πµ.ˆ2θπµeRI=16∫=rIlxAd4)(0πµ解：线圈电流产生的矢势为例2半径为a的导线园环载电流I，求矢势和磁感应强度。用球坐标(R,θ,φ)，由对称性可知A只有φ分量，Aφ只依赖于R,θ,而与φ无关。因此我们可以选定在xz面上的一点P来计算，在该点上Aφ=Ay。取y分量。由于φθφφ′−+=′⋅−+=′−=′′=cossin22dcosd2222RaaRaRralyxxxx17∫′−+′′=πϕφθφφπµθ20220cossin2dcos4),(RaaRIaRA则上式的积分可用椭园积分表示。当时，可以较简单的计算出近似结果。把根式对22sin2aRRa+θ)/(cossin222aRRa+′φθ展开。在积分表达式中展开式的偶次项对φ’积分为零，因此只需保留奇次项。若我们要计算B(R,θ)到二级近似。则Aφ需要算到三级项。])(cossin25cossin[cosd4),(322333322220aRaRaRRaaRIaRA+′++′′′+=∫φθφθφφπµθφ18])(sin815)(sin[42/7223332/3220aRaRaRRaIa+++=θθµ,包括远场22sin2aRRa+θaRaRθsin此式的适用范围是和近轴场我们计算近轴场。这种情况下用柱坐标(ρ,φ,z)较为方便。展开式实际上是对)/(222az+ρ+++−+=222222222/52220)(815)(231)(4),(azaazazIazAρρρµρϕ取至ρ3项，有的展开式。19取A的旋度，得+++=∂∂−=2222/522201)(43azOazzIazABρρµφρ++−++++=∂∂=22222222222/322203)(4151)(4)(1azOazaazazaIABZρρµρρρφ上式对任意z处的近轴场成立。若求近原点处的场(ρ,za)，可把上式再对z/a展开，得3043azIBρµρ=−−=)2(4312220ρµzaaIBZ20