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第一节我们研究了无界空间中的电磁波。在无界空间中，电磁波最基本的存在形式为平面电磁波，这种波的电场和磁场都作横向振荡。这种类型的波称为横电磁（TEM）波。一、有界空间中的电磁波§4.4谐振腔对于理想导体（电导率σ→∞）,电磁波全部被导体反射，穿透深度趋于零，因此，导体表面自然构成电磁波存在的边界。从电磁波与导体的相互作用可知，电磁波主要是在导体以外的空间或绝缘介质内传播的，只有很小部分电磁能量透入导体表层内。1这种有界空间中传播的电磁波有其本身的特点，而且广泛应用在许多无线电技术的实际问题中。例如:在微波技术中，常用波导来传输电磁能量。波导是中空的金属管，电磁波在波导管内空间中传播，而金属管壁作为电磁场存在的边界制约着管内电磁波的存在形式。又如：在高频技术中常用谐振腔来产生一定频率的电磁振荡。谐振腔是中空的金属腔，电磁波在腔内以某些特定频率振荡。这类有界空间中的电磁波传播问题属于边值问题，在这类问题中导体表面边界条件起着重要作用。因此下面先对导体界面边界条件作一般讨论。2实际导体虽然不是理想导体，但是对于大多数金属导体而言，无线电波透入其内而损耗的电磁能量很小，接近于理想导体。因此，分析实际问题时，在第一级近似下，把金属看作理想导体，把问题解出来，然后在第二级近似下，再考虑有限电导率引起的能量损失。二、理想导体边界条件对于一定频率的电磁波，两不同介质（包括导体）界面上的边值关系可以归结为：0)(12=−×EEnαHHn=−×)(123σ=−⋅)(12DDn0)(12=−⋅BBn式中n为由介质1指向介质2的法线。这两等式成立后，另外两个关于法向分量的关系：自然能够满足。取角标1代表理想导体，角标2代表真空或绝缘介质。取法线由导体指向介质中。在理想导体情况下，导体内部没有电磁场，因此，E1=H1=0。导体表面边界条件：略去角标2，以E和H表示介质一侧的场强，有边界条件：0=×EnαHn=×注意：E和H表示介质一侧的场强，n是从界面指向介质中。4在实际问题中，方程，再加上022=+∇EEk，0=⋅∇E，0=×EnαHn=×就可以得到该边值问题的解。其中n×H=α反映介质中电磁波的磁场强度与导体表面上高频电流的相互关系，其用途主要是在解出介质中电磁波后，由它计算导体表面电流的分布，以便计算第二级近似时求能量损耗，所以，真正制约电磁波存在形式的是，0=×En022=+∇EEk0=⋅∇E0=×En理想导体界面边界条件可以形象地表述为，在导体表面上，电场线与界面正交，磁感应线与界面相切。5实际求解时，先看方程∇·E=0对边界电场的限制往往能够带来方便。0=∂∂nEn在边界面上，若取x，y轴在切面上，z轴沿法线方向，由于该处Ex=Ey=0，因此方程∇·E=0在靠近边界上为∂Ez/∂z＝0，即0=∂∂nE综上所述，以理想导体为边界的电磁波，满足：022=+∇EEk0=tEµεω=k0=∂∂nEn6两无穷大的平面导体平行放置，则其间只能传播y方向偏振的TEM电磁波。例：设两导体板与y轴垂直。边界条件为：在两导体平面上，证：Ex=Ez=0,Hy=0电磁波的电场沿y轴方向偏振，则此平面波满足导体板上的边界条件，因此可以在导体板之间传播。若沿z轴传播的平面7注意：H是无散场，H场线闭合或延伸至无穷远。另一种偏振的平面电磁波(E与导体面相切)不满足边界条件，因而不能在导体面间存在。所以在两导体板之间只能传播一种偏振的TEM平面波。EH8实践上电磁波是用具有特定谐振频率的线路或元件激发。低频无线电波采用LC回路产生振荡。在LC回路中，集中分布于电容内部的电场和集中分布于电感线圈内部的磁场交替激发，以一定频率振荡LCπω21=三、谐振腔如果要提高谐振频率，必须减小L或C的值。频率提高到一定限度后，具有很小的C和L值的电容和电感不能再使电场和磁场集中分布于它们内部，这时向外辐射的损耗随频率提高而增大。9另一方面由于趋肤效应，焦耳损耗亦增大。因此LC回路不能有效地产生高频振荡。在微波范围，通常采用具有金属壁面的谐振腔来产生高频振荡。在光学中，也采用由反射镜组成的光学谐振腔来产生近单色的激光束。如图，取金属壁的内表面分别为x＝0和L1，y=0和L2,z＝0和L3面。腔内电磁波的电场和磁场任一直角分量都满足亥姆霍兹方程。1.矩形谐振腔内的电磁振荡10设u(x,y,z)为E或H的任一直角分量，有022=+∇uku用分离变量法,令)()()(),,(zZyYxXzyxu=代入方程：022=+∇uku0dddddd2222222=+++XYZkXYzZXZyYYZxX0dd1dd1dd12222222=+++kzZZyYYxXX11可以得到三个方程，0dd222=+XkxXxµεω2222=++zyxkkk其中解出X，Y，Z后，便可得到u的通解。解得u(x,y,z)的通解为：，0dyd222=+YkYy0dd222=+ZkzZz)sincos()sincos()sincos(),,(332211zkDzkCykDykCxkDxkCzyxuzzyyxx+++=式中Ci，Di为任意常数。把u(x,y,z)具体化为E的各分量时，考虑边界条件可得对这些常数的一些限制。12例如考虑Ex，通解为：)sincos()sincos()sincos(),,(332211zkDzkCykDykCxkDxkCzyxEzzyyxxx+++=对x＝0壁面来说，Ex是法向分量，当x＝0时，∂Ex/∂x＝0得到D1=0。Ex对y=0和z＝0面来说是切向分量，当y＝0和z=0时,Ex=0，得到C2=0，C3=0。对Ey和Ez思路相同，便可得到：===.cossinsin,sincossin,sinsincos321zkykxkAEzkykxkAEzkykxkAEzyxzzyxyzyxx13再考虑x=L1，y=L2，z=L3面上的边界条件，得kxL1，kyL2和kzL3必须为π的整数倍，即,,,321LpkLnkLmkzyxπππ===m，n，p分别代表沿矩形三边所含的半波数目。.2,1,0,,=pnm式中含三个任意常数A1、A2和A3。由方程∇·E=0，它们之间应满足关系0321=++AkAkAkzyx因此A1,A2和A3中只有两个是独立的。通常使A1和A2独立变化，A3由A1和A2表示。例如三个振幅分别为：),0,(11zxkAkA−),,0(22zykAkA−或14由数学知识可知，这两个向量线性无关。所以任何电场的三个分量的振幅组成的向量，均可由以上两个向量的线性组合来表示。2.讨论①矩形谐振腔中===.cossinsin,sincossin,sinsincos321zkykxkAEzkykxkAEzkykxkAEzyxzzyxyzyxx代表腔内的一种谐振波模，或称为腔内电磁场的一种本征振荡。对每一组（m，n，p）值，有两个独立偏振波模，即),0,(11zxkAkA−),,0(22zykAkA−和15②谐振频率由m,n,p决定232221++=LpLnLmmnpµεπωµεω2222=++zyxkkkωmnp称为谐振腔的本征频率。③由上式可知，有可能存在不同的m,n,p组合，其频率相等，这称为“模式简并”。===.sinsinsin,sincossin,sinsincos321zkykxkAEzkykxkAEzkykxkAEzyxzzyxyzyxx16④由E的表达式可知，若m，n，p中有两个为零，则场强E=0。所以频率有一个最低的极限。若L1＞L2＞L3，则最低频率的谐振波模为(1,1,0)，232221++=LpLnLmmnpµεπω其谐振频率为:22211101121LLf+=µε17相应的电磁波波长为:22212122211102112LLLLLL+=+=λ此波长与谐振腔的线度同一数量级。在微波技术中通常用谐振腔的最低波模来产生特定频率的电磁振荡。在更高频率情况下也用到谐振腔的一些较高波模。18一、高频电磁能量的传输近代无线电技术，都广泛地利用到高频电磁波，因此，需要研究高频电磁能量的传输问题。高频电磁能量的传输与低频相比有显著不同的特点。1.理论方面在所有情况下，包括恒定电流情况下，能量都是在场中传播的。在低频情况下，由于场与线路中电荷和电流的关系比较简单，因而场在线路中的作用往往可以通过线路的一些参数（电压、电流、电阻、电容和电感等）表示出来。在这情况下，我们可以用电路方程解决实际问题，而不必直接研究场的分布。§4.5波导19在高频情况下，场的波动性显著，集中的电容、电感等概念已不能适用，而且整个线路上的电流不再是一个与位置x无关的量，而是和电磁场相应地具有波动性质，此外，电压的概念亦失去确切的意义。因此，在高频情况下，电路方程逐渐失效，我们必须直接研究场和线路上的电荷电流的相互作用，解出电磁场，然后才能解决电磁能量传输问题。电报方程(传输线方程）∂∂−=∂∂∂∂−=∂∂tILxUtUCxI**就是高频电路的近似规律。联立即可得到波动方程。202.输能设备①直流电：必须将正负极与用电器连通，采用③随着频率的升高，平行双线演化为同轴电缆。②交流电：存在多种输电线路，最简单的是双④频率继续提高，同轴电缆演化为波导。⑤频率再提高，金属波导管演化为光缆。双线制。线制。21选一直角坐标系，如图，取波导内壁面为x＝0，x=a，y=0，y=b，z轴沿传播方向。二、矩形波导中的电磁波在一定频率下，管内电磁波是亥姆霍兹方程022=+∇EEkµεω=k满足条件∇·E=0的解。此解在管壁上还需满足边界条件n×E=0，即电场在管壁上的切向分量为零。22电磁波沿z轴方向传播，所以应有传播子：tizikzeω−zikzeyxzyx),(),,(EE=因此，电场E的解具有如下形式：代入亥姆霍兹方程，得0),()(),(222222=−+∂∂+∂∂yxkkyxyxzEE用直角坐标分离变量，设u(x,y)为电磁场的任一直角分量。将)()(),(yYxXyxu=代入上述方程，得0)(dyddd222222=−++XYkkXYYxXz0)(dyd1dd1222222=−++zkkYYxXX23分解为两个方程=+=+0dyd0dd222222YkYXkxXyx2222kkkkzyx=++u(x,y)的通解())sincos()sincos(,2211ykDykCxkDxkCyxuyyxx++=C1,D1,C2和D2是积分常数，由边界条件确定。当u(x,y)具体表示E的某特定分量时，还要考虑边界条件,0=tE0=∂∂nEn24本问题的边界条件是：,0,0=∂∂==xEEExzyx＝0及x=a时，y＝0及y=b时，0,0=∂∂==yEEEyzx由x=0和y＝0面上的边界条件可得===.sinsin,cossin,sincos321zikyxzzikyxyzikyxxzzzyekxkAEyekxkAEyekxkAE再考虑x=a和y=b面上的边界条件，得kx和ky必须为π的整数倍。25.2,1,0,,,===nmbnkamkyxππm和n分别代表沿矩形两边的半波数目。即：由于波导内∇·E＝0，所以0321=−+AikAkAkzyx因此，在A1，A2和A3中只有两个是独立的。即对于每一组(m,n)值，有两个独立波模。这就是说，所有可能的场量，其分量组成的向量，最多只有两个线性无关。26由此，对一定的（m，n），如果选一种波模具有Ez＝0，则该波模的A1/A2=-ky/kx就完全确定，因而另一种波模必须有Ez≠0。Ez＝0的波模称为横电波，这是因为，EH×∇−=ωµi0coscos)(12≠−=zikyxyxzzyekxkkAkAH因此，在波导内传播的波有如下特点：电场E和磁场H不能同时为横波。通常选一种波模为Ez＝0的波，即横电波（TEW），另一种波模为Hz＝0的波，称横磁波（TMW）。所以每一组(m,n)值，可以选TEmn和TMmn波