【电动力学课件】0-0-预备知识

电动力学Electrodynamics主讲：刘新国1引言Introduction电动力学研究对象：电磁场的基本性质、运动规律以及它和带电物质之间的相互作用。研究内容：是阐述宏观电磁场理论，主要从实验定律中总结电磁场的普遍规律，建立Maxwell’sequations。讨论稳恒电磁场、电磁波传播、电磁波辐射及电动力学的参考系问题。2学习电动力学课程的主要目标：1）掌握电磁场的基本规律，加深对电磁场性质和时空概念的理解；2）获得本课程领域内分析和处理一些基本问题的初步能力，为以后解决实际问题打下基础；3）通过电磁场运动规律和狭义相对论的学习，更深刻领会电磁场的物质性。3以电动力学为基础的应用领域：在生产实践和科学技术领域内，存在着大量和电磁场有关的问题。例如电力系统、凝聚态物理、天体物理、粒子加速器等，都涉及到不少宏观电磁场的理论问题。在迅变情况下，电磁场以电磁波的形式存在，其应用更为广泛。无线电波、热辐射、光波、X射线和γ射线等都是在不同波长范围内的电磁波，它们都有共同的规律。因此，掌握电磁场的基本理论对于生产实践和科学实验都有重大的意义。4本课程特点(1)数学运算形式相对较复杂，尤其是矢量运算多，同时运用数学物理方程(2)初次接触《狭义相对论》时相对比较抽象5要想学好电动力学，必须树立严谨的学习态度和刻苦的学习作风。电动力学比电磁学难学，主要体现在思维抽象、习题难解等。为此，在学习时要注意掌握好概念、原理、结构和方法，这些在听课、阅读、复习、小结和总复习时都要注意做到，既见树木，更见森林。要在数学与物理结合上下硬功夫，培养物理与数学间相互“翻译”的能力，能熟练地运用数学独立地对教材内容进行推导，并明确它们的物理意义和图象。6电动力学课程的基本内容1.电磁现象的普遍规律2.与时间无关的电磁问题，静电，静磁（相对于观察者来说，静止不动）3.电磁波的传播和辐射（与时间有关，我们研究的只是这两个方面）4.狭义相对论的基础7其它说明1.课前预习，课后复习2.课中认真听讲，及时沟通，记笔记3.按时完成作业8学习参考书：1、《电动力学》(第三版）郭硕鸿编著，高等教育出版社，2008.2、《电动力学》汪德新编著，科学出版社，2005。3、《电动力学》(第二版)尹真编著，科学出版社，2005。4、《经典电动力学》(第二版),蔡圣善,朱耘,徐建军编著，复旦大学出版社，2002。5、JohnDavidJackson：《经典电动力学》(ClassicalElectrodynamics，ThirdEdition)，高等教育出版社，2004年9课程安排课堂教学:76学时作业:活页纸做，每周交一次.考试：平时成绩+期中+期末.10预备知识Preliminarynowledge主要内容：一、矢量代数二、矢量分析基础（梯度、散度、旋度）三、几个重要定理及公式11一、矢量代数1.矢量的加、减:矢量的加、减，满足平行四边形法则。以两矢量为邻边作平行四边形，则平行四边形的对角线就是这两个矢量的和或差。如果已知两矢量在直角坐标系中的分量，则这两个矢量的和(差)的分量等于这两个矢量对应分量的和(差)。设123aaa=++aijk，123bbb=++bijk，则112233()()()ababab±=±+±+±abijk本书中直角坐标的三个单位矢量分别用êx,êy,êz表示，通用方法是ê再加上表示坐标轴名称的角标。122.矢量的乘法:（1）两个矢量的点乘两个矢量的点乘，乘积是一个标量，称为标积或内积。设cos(,)cos(,)ab⋅==abababab，123ˆˆˆxyzbebebe=++b，则123123112233ˆˆˆˆˆˆ()()xyzxyzaeaeaebebebeababab⋅=++⋅++=++ab如果已知两矢量在直角坐标系中的分量，则这两个矢量的标积等于这两个矢量对应分量的乘积之和。123ˆˆˆxyzaeaeae=++a一、矢量代数13（2）两个矢量的叉乘两个矢量的叉乘，乘积是一个矢量，称为矢积或外积。其大小等于以两矢量为邻边所作平行四边形的面积，方向满足右手螺旋法则。sin(,)×=ababababa×b一、矢量代数14则123123123123ˆˆˆˆˆˆ()()ˆˆˆxyzxyzxyzaeaeaebebebeeeeaaabbb×=++×++=ab设123ˆˆˆxyzbebebe=++b123ˆˆˆxyzaeaeae=++a，，由以上计算公式可以得到：×=−×abba一、矢量代数153.三个矢量的乘积:（1）三个矢量的混合积三个矢量的混合积是一个标量，其绝对值等于以这三个矢量为棱的平行六面体的体积。，则三矢量的混合积一定是先叉乘，后点乘。否则无意义。123ˆˆˆxyzcecece=++c123123123()aaabbbccc⋅×=abc注意:设123ˆˆˆxyzbebebe=++b123ˆˆˆxyzaeaeae=++a，，()⋅×abc一、矢量代数16利用行列式的性质，可以证明以下结论：()()()()()()⋅×=⋅×=⋅×=−⋅×=−⋅×=−⋅×abcbcacabacbbaccba（混合积）（2）三个矢量的叉乘()?××=abc()××abc，必定处于a和垂直于矢量()×abb所决定的平面内，可以用a和b的线性组合来表示。acba×b一、矢量代数17一、矢量代数计算公式为：()()()××=cabab（三个矢量的叉乘）注意：()()××=−××abccab()()()××=⋅−⋅abccabbca即：三个矢量的叉乘，可以表示为括号内两矢量的线性组合，括号外的矢量与括号内距离较远的矢量点乘作为系数的一项为正，与较近的矢量点乘作为系数的一项为负。“远交近攻”形象地记做：⋅⋅cbca−18在自然界中，许多问题是定义在确定空间区域上的，在任何时刻，该区域上每一点都有确定的量与之对应，我们称在该区域上定义了一个场。如电荷在其周围空间激发的电场，电流在周围空间激发的磁场等。二、矢量分析基础场的概念：（梯度、散度和旋度的概念）撇开物理含义，若一个量是空间坐标和时间的函数，则这个量叫做场。19如果某个物理量是标量，空间每一点都对应着该物理量的一个确定数值，则称此空间为标量场。如电势场、温度场等。如果某物理量是矢量，空间每一点都存在着它的大小和方向，则称此空间为矢量场。如电场、速度场等。若场中各点处的物理量与时间无关，就称为恒定场。若物理量与坐标无关，就称为均匀场。二、矢量分析基础20（1）方向导数方向导数是标量函数变化率，它的数值与所取()ϕx在一点处沿某方向ˆle的方向有关。在不同的方向上/lϕ∂∂的值是不同的。1.标量场的梯度:(GradientofScalarField)的空间ˆle/lϕ∂∂由于从一点出发，有无穷多个方向，即标量场在一点处的（2）梯度方向导数有无穷多个。二、矢量分析基础21ˆne设等势面的法线方向为，由几何关系可知，电势沿等势面的法线方向的方向导数最大，等于/nϕ∂∂。由此引入梯度的概念。记作：ˆgradnenϕϕ∂=∂注意：梯度是一个矢量，其大小为最大的空间变化率，方向指向标量增pp1p2ˆneˆle等值面等值面1c=ϕ2c=ϕθ加最快的方向。所以说，标量场的梯度是一个矢量场。二、矢量分析基础22增加的方向。它指向（3）任意方向的方向导数与梯度的关系：是等值面ˆne1c=ϕ上p点法线方向单位矢量。ϕˆle表示过p2点的任一方向。显见，当210,0pppp→→.cosnlθ∆∆=时，所以coslnϕϕθ∂∂=∂∂pp1p2ˆneˆle等值面等值面1c=ϕ2c=ϕθ二、矢量分析基础23该式表明：ˆˆˆcosgradnlleeelnnϕϕϕθϕ∂∂∂==⋅=⋅∂∂∂ˆdgraddgraddlelϕϕϕ=⋅=⋅l由此不难得到：——这是标量场微分的计算公式。即：ˆle方向上的方向导数等于梯度在该方向上的投影。（4）在直角坐标系中梯度的计算公式：ˆˆˆgradxyzeeexyzϕϕϕϕ∂∂∂=++∂∂∂二、矢量分析基础242.矢量场的散度:（DivergenceofVectorField）设闭合面S所包围的体积为V∆表示平均单位体积内所发出的场线的条数。0V∆→只包围一点时，上式的极限称为矢量场f在该点的散度。，则而可见，散度就是空间某点处单位体积所发出的场线的条数。（1）概念：当V∆⋅∫SdSf二、矢量分析基础25（2）在直角坐标系中散度的计算公式：divyxzfffxyz∂∂∂=++∂∂∂f（3）积分变换式——高斯定理（Gauss’sTheorem）它能把一个闭合曲面的面积分转为对该曲面所包围体积的体积分，反之亦然。∫∫=⋅VVddivdSfSf二、矢量分析基础263.矢量场的旋度:设闭合曲线L所围面积为S∆，则矢量场f沿有向闭合曲线（1）概念：（RotationofVectorField）L的环流为，设想将闭合曲线缩小到空间某一点附近，那么以闭合曲线L为界的面积逐渐缩小，S∆也将逐渐减小，一般说来，这两者的比值有一极限值，记作∫⋅LdlfSS∆⋅∫→∆L0dlimlf二、矢量分析基础∫⋅Ldlf27即单位面积平均环流的极限。它与闭合曲线的形状无关，但显然依赖于以闭合曲线为界的面积法线方向，ˆne为矢量场f的旋度。且规定矢量场的旋度是矢量，其方向与dl的环绕方向构成右手螺旋关系。ˆne的方向与dl的环绕方向构成右手螺旋关系。为此定义所以：nSeSˆdlimrotL0∆⋅=∫→∆lff二、矢量分析基础28（2）在直角坐标系中旋度的计算公式：（3）积分变换式—斯托克斯定理（Stoke’sTheorem）rotxyzxyzeeexyzfff∂∂∂=∂∂∂f它能把对任意闭合曲线边界的线积分转换为该闭合曲线为界的任意曲面的面积分，反之亦然。∫∫⋅=⋅SLd)(rotdSflf二、矢量分析基础294.▽算符:在直角坐标系中，ˆˆˆxyzeeexyz∂∂∂∇=++∂∂∂▽算符是一个矢性微分算符，在不同坐标系中形式不同。所以，有ˆˆˆ()xyzeeexyzϕϕ∂∂∂∇=++∂∂∂同样，div∇⋅=ffrot∇×=ffˆˆˆgradxyzeeexyzϕϕϕϕ∂∂∂=++=∂∂∂二、矢量分析基础301.定理:三、定理及公式（1）标量场的梯度必为无旋场-----梯度无旋()0ϕ∇×∇≡（2）矢量场的旋度必为无散场----旋度无散()0∇⋅∇×≡f（梯度的旋度恒等于0）（旋度的散度恒等于0）31，则必存在一个矢量场A，（4）无散场可由一个矢量场的旋度来表示。即：0∇⋅=f=∇×fA成立。（3）无旋场可由一个标量场的梯度来表示。即：0∇×=fϕ，则必存在一个标量场ϕ=∇f使成立。如果如果使三、定理及公式32(5)格林定理(Green’stheorem)由Gauss’stheorem得到:将上式交换位置，得到以上两式相减，得到∫∫∫∫∇⋅∇+∇=∇⋅∇=⋅∇svvdvdvsd)()(2ψϕψϕψϕψϕψϕ与∫∫∫∇⋅∇+∇=⋅∇svdvsdI)()(2定理ψϕϕψϕψ∫∫∫∇−∇=⋅∇−∇svdvsdII)()()(22定理ψϕϕψψϕϕψ33(6)矢量场的唯一性定理位于某一区域中的矢量场，当其散度、旋度以及边界上场量的切向分量或法向分量给定后，则该区域中的矢量场被惟一地确定。已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见唯一性定理表明，矢量场被其源及边界条件共同决定的。342.公式:（附录P.277）()ϕψψϕϕψ∇=∇+∇()()ϕϕϕ∇⋅=∇⋅+∇⋅fff()()ϕϕϕ∇×=∇×+∇×fff（1）先根据▽算符的微分特性，依次将它作用到每一个场量上，并标上角标。即：将表达式写成几项微分之和。……()()()ϕψϕψϕψϕψ∇=∇+∇三、定理及公式35（2）将各项中的▽算符作用到所选定的场量上，将其余场量移到▽算符的作用范围之外，同时根据▽算符的矢量特性，检查每一项的矢量性。（3）将▽算符的角标去掉。()ϕψϕψψϕϕψ∇==∇+∇()ϕψψϕϕψ∇===∇+∇三、定理及公式36再如：()()()fϕϕϕϕ∇⋅=∇⋅+∇⋅f